在根据故
，可得
展开式的二项式系数和为
，求得，
，故选B．
点睛：本题主要考查二项式定理的通项与系数问题，属于简单题，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式
；（可以考查某一项，也可考查某一项
的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项式定理的应用． 12. 已知函数
为上的可导函数，其导函数为的解集为（ ）
A.
B.
C.
D.
，且满足
恒成立，
，则不等式
【答案】A 【解析】分析：设∴详解：设∵∵∵∴
，∴，即不等式
，即不等式
，则
恒成立， ∴， ∴
恒成立，则
，即， 的解集为
，故选A.
，则
，得的解集．
，
在上为减函数，
， 恒成立，则
在上为减函数，∵
，
点睛：利用导数研究不等式恒成立或解不等式问题，通常首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，总计20分。
13. 【答案】28 【解析】令设
，则
，令
，
，
，所以
.
，则
__________．
的展开式含有项，
14. 从1,2,3，…，9一共九个数中，任意取出三个数，则这三个数互不相邻的取法有__________种．（用数字作答） 【答案】35
【解析】分析：按照数字的大小，从小到大的排列，数字1开头的取法，数字2开头的取法，数字3开头的取法，数字4开头的取法，数字5开头的取法以及数字6开头的取法有一个，相加即的所求．
详解：按照数字的大小，从小到大排列： 数字1开头的取法有：数字2开头的取法有：数字3开头的取法有：数字4开头的取法有：数字5开头的取法有：综上所示，共计
，共6个；
，共3个；
，共1个；
个．
，共10个；
，共15个；
点睛：本题主要考查了分类计数原理和排列组合的应用，解题的关键是不遗漏不重复，着重考查了分类讨论数学思想，以及推理与运算能力．
15. 有10张纸币，其中有4张假币，从中取出两张，已知其中一张是假币，则另一张也是假币的概率________． 【答案】
【解析】分析：记“抽出的两张有一张是假币”为事件A，“抽出的两张都是假币”为事件B，利用条件概率计算公式能求出其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则另一张也是假钞的概率． 详解：记“抽出的两张有一张是假币”为事件A，“抽出的两张都是假币”为事件B， 则将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则另一张也是假钞的概率为：
.
点睛：本题主要考查了条件的求解以及组合数的应用，正确理解条件概率的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，以及转化与化归思想的应用，试题比较基础，属于基础题． 16. 已知函数
的图象在点
处的切线与直线
＝0垂直，且函数
在区间
上是单调递增，则b的最大值等于___________. 【答案】
【解析】分析：由在点在区间值． 详解：函数所以在点
的导数为
处的切线斜率为
，
,由切线与直线
处的切线斜率为
在区间
,由切线与直线上恒成立,即有
＝0垂直，得，由函数
上是单调递增可得的最小值,即可求解实数的最大
＝0垂直,
可得由函数即有即有
,即在区间的最小值,由,由
,
上是单调递增可得可得的最小值为.
.则的最大值为.
在区间
上恒成立,
,可得
点睛：利用导数研究不等式恒成立或解不等式问题，通常首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17. 某电视台的一个智力游戏节目中，有一道将中国四大名著《三国演义》、《水浒传》、《西游记》、《红楼梦》与它们的作者连线的题目，每本名著只能与一名作者连线，每名作者也只能与一本名著连线，每连对一个得2分，连错得－1分，某观众只知道《三国演义》的作者是罗贯中，其它不知道随意连线，将他的得分记作ξ.
(1)求该观众得分ξ为负数的概率； (2)求ξ的分布列． 【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】解：(1)当该观众只连对《三国演义》，其他全部连错时，得分为负数，此时ξ＝－1，故得分为负数的概率为P(ξ＝－1)＝
＝.
(2)ξ的可能取值为－1,2,8. P(ξ＝2)＝
＝，
P(ξ＝8)＝＝.
ξ的分布列为： ξ P －1 2 8
18. 设函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋1的导数
满足
，
，其中常数a，b∈R.
（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （2）设
，求函数g（x）的极值.
3
【答案】（1）6x＋2y－1＝0；（2）极小值g（0）＝－3，极大值g（3）＝15e－.
【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知条件解出a，b，得到函数f（x）的表达式，切线方程的斜率即为该点导数值，由点斜式即可写出切线方程；
（Ⅱ）求g（x）导函数g′（x）＝（－3x2＋9x）e－x，可得出单调区间，从而得到极值.
322
试题解析：（1）∵f（x）＝x＋ax＋bx＋1，∴f′（x）＝3x＋2ax＋b，
则解得
∴f（x）＝x3－x2－3x＋1，∴f（1）＝－，f′（1）＝－3， ∴y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程为 y－
＝－3（x－1），即6x＋2y－1＝0；
（2）由（1）知g（x）＝（3x2－3x－3）e－x， ∴g′（x）＝（－3x2＋9x）e－x，
2－x
令g′（x）＝0，即（－3x＋9x）e＝0，得x＝0或x＝3，
当x∈（－∞，0）时，g′（x）<0， 故g（x）在（－∞，0）上单调递减.
当x∈（0,3）时，g′（x）>0，故g（x）在（0,3）上单调递增. 当x∈（3，＋∞）时，g′（x）<0， 故g（x）在（3，＋∞）上单调递减.
从而函数g（x）在x＝0处取得极小值g（0）＝－3，
－3
在x＝3处取得极大值g（3）＝15e.
19. 某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料. (1)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率； (2)求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ. 【答案】（1）
；（2）见解析.
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