【高中数学】数学《三角函数与解三角形》复习资料
一、选择题
1．函数f?x??（ ） A．1?sinx?cosx1?sinx?cosx1?????tanx?0?x??的最小值为
1?sinx?cosx1?sinx?cosx32??53 32?43 343 31?62 3B．C．D．【答案】B 【解析】 【分析】
利用二倍角公式化简函数f?x?，求导数，利用导数求函数的最小值即可. 【详解】
xxxxxx?2sincos2cos2?2sincos1?sinx?cosx1?sinx?cosx222?222 ??1?sinx?cosx1?sinx?cosx2cos2x?2sinxcosx2sin2x?2sinxcosx2222222sin2x?xx?x?xx?2sin?sin?cos?2cos?sin?cos?sinxcosx2?22?2?22?2?2?2， ???xxsinxx?xx?x?xx?cossin2cos?sin?cos?2sin?sin?cos?222?22?2?22?则f?x??21????tanx?0?x??， sinx32????2cosx1?6cos3x?cos2x?1?2?1?sinx?. f(x)??????????2222sinx3cosx3sinxcosx?sinx?3?cosx???1?32gt?cosx?0,1gt??6t?t?1令为减函数，且???0， ??，???2?所以当0?x?当
?3时，
1?t?1,g?t??0，从而f'?x??0； 21,g?t??0，从而f'?x??0. 2?3?x??2时，0?t?故f?x?min?f?故选：A 【点睛】
???53. ??3?3?本题主要考查了三角函数的恒等变换，利用导数求函数的最小值，换元法，属于中档题.
2．在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c满足，b2?c2?a2?bc，
uuruuuur3，则b?c的取值范围是( ) AB?BC?0，a?2?3?A．?1,?
?2??33?B．??2,2??
???13?C．?,?
?22??3?D．?1,?
?2?【答案】B 【解析】 【分析】
?b2?c2?a2利用余弦定理cosA?，可得A?，由
32bcuuuruuuruuruuuurAB?BC?|AB|?|BC|cos(??B)?0，可得B为钝角，由正弦定理可得
?b?c?sinB?sin(120o?B)?3sin(B?30o)，结合B的范围，可得解
【详解】
b2?c2?a2由余弦定理有：cosA?，又b2?c2?a2?bc
2bcb2?c2?a2bc1故cosA???
2bc2bc2又A为三角形的内角，故A??3
3c3?2=b?c? 又a?osinBsinCsin(120?B)322uuuruuuruuruuuur又AB?BC?|AB|?|BC|cos(??B)?0
故cosB?0?B为钝角
33?b?c?sinB?sin(120o?B)?sinB?cosB?3sin(B?30o)
22QB?(90o,120o)，可得
13B?30o?(120o，150o)?sin(B?30o)?(,)
22?b?c?3sin(B?30o)?(故选：B 【点睛】
本题考查了正弦定理、余弦定理和向量的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题
33,) 22
?acosx?2,x?0?gx?3．已知函数f（x）＝2，???2（a∈R），若对任意x1∈[1，＋
x?2a,x?0?∞），总存在x2∈R，使f（x1）＝g（x2），则实数a的取值范围是（）
x－1
A．???,??1?? 2?B．??2?,??? ?3?C．???,??1??3??7?U1,21,?U?,2? D??．??2??2??4?【答案】C 【解析】 【分析】
对a分a=0,a＜0和a＞0讨论，a＞0时分两种情况讨论，比较两个函数的值域的关系，即得实数a的取值范围. 【详解】
当a=0时，函数f（x）＝2x－1的值域为[1,+∞），函数g?x?的值域为[0,++∞），满足题意. 当a＜0时，y=x?2a(x?0)的值域为（2a,+∞）, y=acosx?2?x?0?的值域为[a+2,-a+2],
2因为a+2-2a=2-a>0,所以a+2＞2a, 所以此时函数g(x)的值域为（2a,+∞）, 由题得2a＜1，即a＜
21，即a＜0. 2当a＞0时，y=x?2a(x?0)的值域为（2a,+∞）,y=acosx?2?x?0?的值域为[-a+2,a+2], 当a≥
??a?2?12,?1?a?2. 时，-a+2≤2a,由题得?a?2?2a3?211时，-a+2＞2a，由题得2a＜1，所以a＜.所以0＜a＜. 3221或1≤a≤2， 2当0＜a＜
综合得a的范围为a＜故选C. 【点睛】
本题主要考查函数的图象和性质，考查指数函数和三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
4．在△ABC中，b?7，c?5，?B?A．3 【答案】D 【解析】 【分析】
根据题中所给的条件两边一角，由余弦定理可得b2?a2?c2?2accosB，代入计算即可得到所求的值.
B．4
?3，则a的值为 C．7
D．8
【详解】
因为b?7,c?5,?B?2?3，由余弦定理可得b2?a2?c2?2accosB，
即49?a?25?2?5a?1，整理得a2?5a?24?0， 2解得a?8或a??5（舍去），故选D. 【点睛】
该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有余弦定理，解三角形所用的就是正弦定理和余弦定理，结合题中的条件，选择适当的方法求得结果.
π???5．将函数f?x??sin??x??????0,???的图象向右平移个单位长度后，所得图象关
2?6?1?π?于y轴对称，且f????，则当?取最小值时，函数f?x?的解析式为（ ）
2???A．f?x??sin?2x?????6??
π??B．f?x??sin?2x??
6??π??D．f?x??sin?4x??
6??π??C．f?x??sin?4x??
6??【答案】C 【解析】 【分析】
由题意利用函数y?Asin??x???的图象变换规律，可得所得函数的解析式，由
1???f????，求出?，再根据所得图象关于y轴对称求出?，可得f?x?的解析式．
2???【详解】
解：将函数f?x??sin??x???(??0,???2)的图象向右平移
?个单位长度后，可得6????y?sin??x????的图象；
6??∵所得图象关于y轴对称，∴?∵f?∴???6???k???2，k?Z．
11????????sin?????sin?sin????，????. ，即，??2226??，???6k?2?0, 63则当?取最小值时，取k??1，可得??4， ∴函数f?x?的解析式为f?x??sin?4x????k????????. 6?故选C． 【点睛】
本题主要考查函数y?Asin??x???的图象变换规律，正弦函数的性质，属于中档题．
6．已知函数f?x??sin?x?3cos?x???0?，若集合x??0,??f?x???1含有4个元素，则实数?的取值范围是（ ）
???35?A．?,?
?22?【答案】D 【解析】 【分析】
?35?B．?,?
?22??725?C．?,?
?26??725?D．?,?
?26?化简f（x）的解析式，作出f（x）的函数图象，利用三角函数的性质求出直线y=﹣1与y=f（x）在（0，+∞）上的交点坐标，则π介于第4和第5个交点横坐标之间． 【详解】 f（x）=2sin（ωx﹣
?）， 3作出f（x）的函数图象如图所示：
????7?+2kπ， ）=﹣1得ωx﹣=﹣+2kπ，或ωx﹣=
33636?2k?3?2k?++∴x=，或x=，k∈Z， 6??2??令2sin（ωx﹣
设直线y=﹣1与y=f（x）在（0，+∞）上从左到右的第4个交点为A，第5个交点为B， 则xA=
3?2??4???，xB=， 2??6??∵方程f（x）=﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根， ∴xA＜π≤xB，
3?2??4?725??＜π≤，解得＜??． 2??6??26故选B． 【点睛】
即
本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的图象与性质，属于中档题．
7．在?ABC中，?A?600,BC?10,D是边AB上的一点，CD?2,?CBD的面积为
1，
则BD的长为（ ）
3A． B．4 C．2
2【答案】C 【解析】 11?2?10?sin?BCD?1?sin?BCD? 25?BD?2?10?2?2?10?222D．1
2?4?BD?2,选C 5
8．如图，在等腰直角?ABC中，D，E分别为斜边BC的三等分点（D靠近点B），过
E作AD的垂线，垂足为F，则AF?（ ）
uuuv
v1uuuv3uuuAB?AC 55v8uuuv4uuuAB?AC C．1515【答案】D 【解析】 【分析】
A．
v1uuuv2uuuAB?AC 55v4uuuv8uuuAB?AC D．1515B．
设出等腰直角三角形ABC的斜边长，由此结合余弦定理求得各边长，并求得
uuur4uuurcos?DAE，由此得到AF?AD，进而利用平面向量加法和减法的线性运算，将
5uuur4uuuruuuruuurAF?AD表示为以AB,AC为基底来表示的形式.
5【详解】
设BC?6，则AB?AC?32,BD?DE?EC?2，
AD?AE?BD2?BA2?2BD?BA?cos10?10?44π?， ?10，cos?DAE?2?1054uuur4uuurAFAF4??，所以AF?AD. 所以
ADAE55uuuruuur1uuuruuur1uuuruuurr1uuur2uuuAC?AB?AB?AC， 因为AD?AB?BC?AB?3333uuur4?2uuur1uuur?8uuur4uuurAB?AC. 所以AF???AB?AC??5?3315?15??故选：D 【点睛】
本小题主要考查余弦定理解三角形，考查利用基底表示向量，属于中档题.
9．在?ABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c，已知bcosC?ccosB?2b，则
a?( ) bA．23 【答案】B 【解析】 【分析】
由正弦定理及题设可知，sinBcosC?sinCcosB?2sinB，即sin(B?C)?2sinB，又
B．2
C．2
D．1
A?B?C??，可得sinA?2sinB，再由正弦定理，可得解
【详解】
bc??2R，又bcosC?ccosB?2b sinBsinC得到sinBcosC?sinCcosB?2sinB，即sin(B?C)?2sinB
由正弦定理：
在?ABC中，A?B?C??
故sin(??A)?2sinB，即sinA?2sinB
asinA??2 bsinB故选：B 【点睛】
故
本题考查了正弦定理在边角互化中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题
10．已知函数f（x）＝sin2x+sin2（x??），则f（x）的最小值为（ ） 3A．
1 2B．
1 4C．
3 4D．
2 2【答案】A 【解析】 【分析】
先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为f?x??1?【详解】
已知函数f（x）＝sin2x+sin2（x?1???cos?2x??，再求最值. 23???）， 32??1?cos?2x?=1?cos2x3??22??， ?1?cos2x3sin2x?1?????1?cos2x?=1?????， ?2?2223????因为cos?2x?????????1,1?， 3?所以f（x）的最小值为故选：A 【点睛】
1. 2本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
11．已知tan??A．
1??4,则sin2(??)?（ ）
4tan?B．
1 51 4C．
1 2D．
3 4【答案】D 【解析】 【分析】
根据同角三角函数的关系化简tan??诱导公式化简sin(??【详解】
21?4成关于正余弦的关系式,再利用降幂公式与tan??4)求解即可.
1sin?cos?sin2??cos2??4,则由题, tan????4??4?4sin?cos??1, tan?cos?sin?sin?cos?故sin2??1. 2???1?cos2??2???1?sin2??3. 所以sin(??)?2??4242故选：D 【点睛】
?本题主要考查了三角函数的公式运用,在有正切函数时可考虑转化为正余弦的关系进行化简,属于基础题.
?π?112．已知cos?????，则cos2??( )
?2?5A．
7 25B．?7 25C．
23 25D．?23 25【答案】C 【解析】 【分析】
由已知根据三角函数的诱导公式，求得sinα，再由余弦二倍角，即可求解． 【详解】 由cos?1123?π?1?α??，得sinα?，又由cos2α?1?2sin2α?1?2??． 2552525??故选C． 【点睛】
本题主要考查了本题考查三角函数的化简求值，其中解答中熟记三角函数的诱导公式及余弦二倍角公式的应用是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．
13．已知3sin?A．????24???3????????5cos????，则tan?????（ ）
14??7??7??B．-5 33 5C．
3 5D．
5 3【答案】B 【解析】 【分析】
根据诱导公式计算得到tan?答案. 【详解】
????3??3??5????????，故tan?????tan???????，解得
14??7?3??2???7由诱导公式可知3sin?又3sin???24???3????3??????3sin?3?????????3sin????， ?7??7???7???24???3???3???3???????5cos????得?3sin??????5cos????， ?7??7??7??7?????3?13??????????????3??5tan?????tan??????，所以tan?14?5. ?3????2???7tan?????7?3?7?故选：B. 【点睛】
本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和转化能力.
14．函数f?x??2sinx?3cosx?2，x???2?2???,?的值域为（ ） ?36??5???D．?0,?
4A．?0,?
3【答案】A 【解析】 【分析】
?4???B．?1,?
3?4???C．?1,?
4?5???化简得到f?x???3sinx?2sinx?1，设t?sinx，利用二次函数性质得到答案. 【详解】
2?2???x??,?， 根据sinx?cosx?1，得f?x???3sinx?2sinx?1，??36?222令t?sinx，由x????1??2???,?，得sinx???1,?， ?36??2?2故t??0,1?，有y??3t?2t?1，t??0,1?，二次函数对称轴为t?1， 3当t?41时，最大值y?；当t?1时，最小值y?0， 33
?4???综上，函数f?x?的值域为?0,?. 3故选：A. 【点睛】
本题考查了三角函数值域，换元可以简化运算，是解题的关键.
x2y215．已知双曲线2?2?1?a?0,b?0?的左右焦点分别为F1,F2,M为双曲线上一点,若
abcos?F1MF2?1,MF1?2MF2,则此双曲线渐近线方程为( ) 4A．y??3x 【答案】A 【解析】 【分析】
B．y??3x 3C．y??x D．y??2x
因为M为双曲线上一点,可得MF1?MF2?2a,在?F1MF2使用余弦定理,结合已知条件即可求得答案. 【详解】
22xyQ 双曲线2?2?1?a?0,b?0?的左右焦点分别为F1,F2,M为双曲线上一点 ab?MF1?MF2?2a?? ?,解得:MF1?4a,MF2?2a ??MF1?2MF2在?F1MF2中,根据余弦定理可得:
222? F1F2?MF1?MF2?2MF1?MF2?cos?F1MF2
可得:(2c)?(4a)?(2a)?2?4a?2a?化简可得:c?2a
由双曲线性质可得:b2?c2?a2?4a2?a2?3a2 可得:b?3a
2221 4Q 双曲线渐近线方程为:y??bx a则双曲线渐近线方程为: y??3x 故选:A. 【点睛】
本题考查了求双曲线渐近线方程问题,解题关键是掌握双曲线的基本知识,数形结合,考查分析能力和计算能力,属于中档题.
16．函数f(x)?a2sinx?acosx?2cosx的图象关于直线x??值为（ ） A．2或2 【答案】D 【解析】 【分析】
根据函数f(x)?asinx?acosx?2cosx的图象关于直线x??2π对称，则f(x)的最大4D．2或42 B．2 C．42 π对称，则有4f(?)?f(0)，解得a，得到函数再求最值. 2?【详解】
因为函数f(x)?asinx?acosx?2cosx的图象关于直线x??所以f(?)?f(0)，
2即a2?a?2?0， 解得a??2或a?1，
当a??2时，f(x)?4sinx?2cosx?2cosx?42sin?x?2π对称， 4??????，此时f(x)的最大值为4?42；
当a?1时，f(x)?sinx?cosx?2cosx?综上f(x)的最大值为2或42. 故选：D 【点睛】
本题主要考查三角函数的性质，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.
???2sin?x??，此时f(x)的最大值为2；
4??
17．在三角形ABC中，给出命题p:“ab?c2”，命题q:“C?A．充分不必要条件 C．充分必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】
由余弦定理将c2化为a2?b2?2abcosC，整理后利用基本不等式求得1?2cosC?2，求出C范围，即可判断充分性，取a?4，b?7，c?6，则可判断必要性不成立，两者结合可得正确的选项. 【详解】
充分性：由余弦定理，c2?a2?b2?2abcosC， 所以ab?c2，即ab?a2?b2?2abcosC，
?3”，则p是q的（ ）
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
a2?b2整理得，1?2cosC?，
aba2?b22a2b2由基本不等式，??2，
abab当且仅当a?b时等号成立，
此时，1?2cosC?2，即cosC?充分性得证；
?1，解得C?， 2316?49?36291??，
2?4?7562必要性：取a?4，b?7，c?6，则cosC?故C??3，但ab?28?c2，故C??3推不出ab?c2.
故必要性不成立； 故p是q的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】
本题主要考查充分必要条件的判断、余弦定理的应用和基本不等式的应用，考查学生分析转化能力，属于中档题.
18．若θ是第二象限角，则下列选项中能确定为正值的是( ) A．sin 【答案】C 【解析】 【分析】
直接利用三角函数象限角的三角函数的符号判断即可． 【详解】
由θ是第二象限角可得为第一或第三象限角，所以tan＞0.故选C 【点睛】
本题考查三角函数值的符号的判断，是基础题．
B．cos
C．tan
D．cos2θ
19．化简
sin235??sin20?12=（ ）
B．?A．
1 21 2C．?1 D．1
【答案】B 【解析】 【分析】
利用降次公式和诱导公式化简所求表达式，由此求得正确结论. 【详解】
1?cos70o1?oo1cos701sin201，故选B. 依题意，原式22?????????sin20o2sin20o2sin20o2【点睛】
本小题主要考查三角函数降次公式，考查三角函数诱导公式，属于基础题.
20．关于函数f?x??sin?tanx??cos?tanx?有下述四个结论： ①f?x?是奇函数； ②f?x?在区间?0,????单调递增； 4??③?是f?x?的周期； ④f?x?的最大值为2.
其中所有正确结论的个数是（ ） A．4 【答案】C 【解析】 【分析】
计算f??x???sin?tanx??cos?tanx?得到①错误，根据复合函数单调性判断法则判断②正确，f?x????f?x?③正确，假设f?x?的最大值为2，取f?a??2，得到矛盾，④错误，得到答案. 【详解】
B．3
C．2
D．1
f?x??sin?tanx??cos?tanx?，
f??x??sin??tan??x????cos??tan??x?????sin?tanx??cos?tanx?，
所以f?x?为非奇非偶函数，①错误； 当x??0,?????时，令t?tanx，t??0,1?， 4?又t??0,1?时y?sint单调递增，y?cost单调递减，根据复合函数单调性判断法则， 当x??0,?????时，y?sin?tanx?，y??cos?tanx?均为增函数， 4?????单调递增，所以②正确； ?4?所以f?x?在区间?0,f?x????sin??tan?x??????cos??tan?x??????sin?tanx??cos?tanx??f?x?，
所以?是f?x?的周期，所以③正确；
假设f?x?的最大值为2，取f?a??2，必然sin?tana??1，cos?tana???1， 则tana??2?2k?，k?Z与tana???2k?，k?Z矛盾，所以f?x?的最大值小于
2，所以④错误.
故选：C. 【点睛】
本题考查了三角函数奇偶性，单调性，周期，最值，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.
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