圆锥曲线的定点定值和最值问题

圆锥曲线的定点、定值、范围和最值问题

一、定值问题：

在几何问题中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题一种思路是进行一般计算推理求出其结果；另一种是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，然后再进行一般性证明或计算，即将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形式，证明该式是恒定的.如果试题以客观题形式出现，特殊方法往往比较奏效.

?6?x2y21、已知椭圆??1上的两个动点P,Q及定点M??1,2?? ，F为椭圆的左焦点，且42??PF，MF，QF成等差数列.?1?求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A；

?2?设点A关于原点O的对称点是B，求PB的最小值及相应的P点坐标.

A(1,0)

23 2

P(0?,2 )

2、已知抛物线y?4x，过点M（0，2）的直线l与抛物线交于A、B两点，且直线l与x轴交于点C.

（1）求证：|MA|，|MC|，|MB|成等比数列；

2????????????????（2）设MA??AC,MB??BC，试问:???是否为定值？若是，求出此定值；若不是，

请说明理由.

3、已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭

?????????圆于A、B两点，OA?OB与a?(3,?1)共线。

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

?????????????22（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且OM??OA??OB (?,??R)，证明???为定值.

4、已知抛物线y?4x和一点T（3，-2），过点T的动直线l与抛物线交于P、Q两点，证明：直线AP与直线AQ的斜率乘积为定值。

1

2二、定点问题

1、（07山东）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1． （Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）若直线l：y?kx?m与椭圆C相交于A，B两点（A,B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

????????2、直线l与抛物线y?4x相交于不同的A、B两点.如果OA?OB??4，证明直线l必过一

2定点，并求出该定点。

三、范围和最值问题

1、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y?x上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足

2AO?BO．

A （Ⅰ）求△AOB得重心G的轨迹方程；

（Ⅱ）△AOB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值； 若不存在，请说明理由．

y B

O x x2y22、已知椭圆2?2?1（a?b?0）的右焦点为F，过F作直线与椭圆相交于A、B两

ab点，若有BF?2AF，求椭圆离心率的取值范围.

2

3、已知抛物线y?12x?6，A、B及P（2，4）是抛物线上点，直线PA、PB的倾斜角互2补。

（1）证明直线AB的斜率为定值。

（2）若直线AB在y轴上的截距大于0，求△PAB面积的最大值。8

4、设P是椭圆x22a2?y?1最大值。

3?a?1?短轴的一个端点，Q为椭圆上的一个动点，求|PQ|的

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