1．下列结论中，正确的是( ) A．导数为零的点一定是极值点
B．如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么，f(x0)是极大值 C．如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么，f(x0)是极小值 D．如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么，f(x0)是极大值
解析：选B.导数为零的点不一定是极值点，“左正右负”有极大值，“左负右正”有极小值．故A，C，D项错．
3
2．函数y＝1＋3x－x有( ) A．极小值－1，极大值1 B．极小值－2，极大值3 C．极小值－2，极大值2 D．极小值－1，极大值3
32
解析：选D.由y＝1＋3x－x，得y′＝－3x＋3.
2
令y′＝0，即－3x＋3＝0，∴x＝±1. ∴当x＝1时，有y极大值＝1＋3－1＝3； 当x＝－1时，有y极小值＝1－3＋1＝－1.
3
3．函数f(x)＝ax＋bx在x＝1处有极值－2，则a，b的值分别为( ) A．1，－3 B．1,3 C．－1,3 D．－1，－3
2
解析：选A.∵f′(x)＝3ax＋b，∴f′(1)＝3a＋b＝0，① 又x＝1时有极值－2，f(1)＝a＋b＝－2，② 由①②联立解得a＝1，b＝－3.
x2＋a4．若函数f(x)＝在x＝1处取极值，则a＝________.
x＋1
2
2xx＋1－x＋ax2＋2x－a解析：f′(x)＝＝，
x＋12x＋12
3－a因为函数f(x)在x＝1处取极值，则f′(1)＝＝0，
4
解得a＝3. 答案：a＝3
一、选择题
23
1．函数y＝(x－1)＋1在x＝－1处( ) A．有极大值 B．有极小值 C．无极值 D．无法判断极值情况
22222
解析：选C.y′＝3(x－1)·(x－1)′＝6x(x－1)
22
＝6x(x－1)(x＋1)，
虽有y′|x＝－1＝0，但y′在x＝－1的附近不变号，∴函数在x＝－1处没有极值．
x2．(2020年诏安一中质检)设a∈R，若函数y＝e＋ax，有大于零的极值点，则( ) A．a<－1 B．a>－1
11
C．a<－ D．a>－
ee
xxxx解析：选A.y′＝e＋a.函数有极值点，则令e＋a＝0，得a＝－e，又x>0，则e>1，故a<－1.
2
3．设a 解析：选C.y′＝(x－a)(3x－2b－a)，由y′＝0得x＝a，或x＝ a＋2b3 ，∴当x＝a时， a＋2by取极大值0，当x＝时，y取极小值且极小值为负．故选C. 3 ax4．设a∈R，若函数y＝e＋3x，x∈R有大于零的极值点，则( ) A．a>－3 B．a<－3 11 C．a>－ D．a<－ 33 ?3?ln?－??a?ax解析：选B.y′＝ae＋3，令y′＝0得x＝， a即为极值点． ?3?ln?－??a? 由题意得>0，所以a<－3，故选B. a 5．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图像如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：选A.函数在极小值点附近的图像应有先减后增的特点，因此应该在导函数的图像上找从x轴下方变为x轴上方的点，这样的点只有1个，所以函数f(x)在开区间(a，b)内只有1个极小值点，故选A. x312 6．(2020年合肥市高三质检)已知函数f(x)＝＋ax＋2bx＋c的两个极值分别为 32 f(x1)，f(x2)，若x1，x2分别在区间(0,1)与(1,2)内，则b－2a的取值范围是( ) A．(－4，－2) B．(－∞，2)∪(7，＋∞) C．(2,7) D．(－5，－2) 2 解析：选C.由题意，求导可得f′(x)＝x＋ax＋2b，由题意可知 f′0＝2b＞0?? ?f′1＝1＋a＋2b＜0，所以a，??f′2＝4＋2a＋2b＞0 b满足的区域如图所示(不包括边界)，因为b－2a在B(－1,0)处取值为2，在C(－3,1)处取值为7，所以b－2a的取值范围是(2,7)． 二、填空题 32 7．函数y＝2x－15x＋36x－24的极大值为________，极小值为________． 解析：y′＝6x－30x＋36，即y′＝6(x－2)(x－3)， 令y′＝0，得x＝2或x＝3， 经判断极大值为f(2)＝4，极小值为f(3)＝3. 答案：4 3 x2 8．当a∈________时，函数f(x)＝e(x＋ax＋a＋1)没有极值点． x2xx2 解析：由已知可得f′(x)＝e(x＋ax＋a＋1)＋e(2x＋a)＝e[x＋(a＋2)x＋2a＋1]， 22 若函数不存在极值点，则在方程f′(x)＝0即x＋(a＋2)x＋2a＋1＝0中，有Δ＝(a＋2) 2 －4(2a＋1)＝a－4a≤0，解之得0≤a≤4. 答案：[0,4] 32 9．函数f(x)＝x－3ax＋a(a>0)的极大值为正数，极小值为负数，则a的取值范围是________． 22 解析：∵f′(x)＝3x－3a＝3(x＋a)(x－a)， ∴由f′(x)＝0得x1＝－a，x2＝a(a>0)． 根据x1，x2列表分析f′(x)的符号和f(x)的单调性和极值点. x (－∞，－a) －a (－a，a) a (a，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 3∴当x＝－a时，f(x)取极大值2a＋a， 3 当x＝a时，f(x)取极小值－2a＋a 2 ??2 根据题意得?－2a＋a<0，∴a>.2 ??a>0， 3 2a＋a>0， 3 答案：? ?2?，＋∞? ?2? 三、解答题 10．(2020年高考安徽卷)设函数f(x)＝sinx－cosx＋x＋1，0 解：由f(x)＝sinx－cosx＋x＋1,0 π 知f′(x)＝cosx＋sinx＋1＝1＋2sin(x＋)． 4π23π)＝－，得x＝π或x＝. 422 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： 3π?π，3π? ?3π，2π? x (0，π) π ??2?2?2????f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ ?3π?因此，由上表知f(x)的单调递增区间是(0，π)与?，2π?，单调递减区间是?2? ?π，3π?，极小值为f?3π?＝3π，极大值为f(π)＝π＋2. ??2?22????? 令f′(x)＝0，从而sin(x＋ 11．设函数f(x)＝x＋bx＋cx＋d(a>0)，且方程f′(x)－9x＝0的两个根分别为1,4. 3 若f(x)在(－∞，＋∞)内无极值点，求a的取值范围． 解：由于a>0，所以“f(x)＝x＋bx＋cx＋d在(－∞，＋∞)内无极值点”等价于 3 2 “f′(x)＝ax＋2bx＋c≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”． a32 a32 9－2b??a＝5 由f′(x)－9x＝0即ax＋(2b－9)x＋c＝0的两根为1,4可得?c??a＝4 2 2 2 ，即2b＝9－5a，c＝4a，所以一元二次方程ax＋2bx＋c＝0的判别式Δ＝(2b)－4ac＝9(a－1)(a2 －9)，不等式ax＋2bx＋c≥0在(－∞，＋∞)内恒成立等价于 ??a>0???Δ＝9 a－1a－9≤0 ，解得1≤a≤9，即a的取值范围是[1,9]． 132 12．已知函数f(x)＝x－mx(m＞0)． 3 (1)当f(x)在x＝1处取得极值时，求函数f(x)的解析式； 2 (2)当f(x)的极大值不小于时，求m的取值范围． 3132 解：(1)因为f(x)＝x－mx(m＞0)， 322 所以f′(x)＝x－m. 因为f(x)在x＝1处取得极值， 2 所以f′(1)＝1－m＝0(m＞0)， 13 所以m＝1，故f(x)＝x－x. 3 22 (2)f′(x)＝x－m.令f′(x)＝0，解得x＝±m. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，－m) －m (－m，m) m f′(x) ＋ 0 － 0 f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 由上表，得f(x)极大值＝f(－m)＝－＋m， 3 23 由题意知f(x)极大值≥，所以m≥1，解得m≥1. 3 故m的取值范围是[1，＋∞)． (m，＋∞) ＋ ↗ m33
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