6.某次数学测验，共有六道试题，均是是非题。正确的画“√”，错误的画“×”。每题答对得2分，不答得1分，答错得0分。甲、乙、丙、丁的答案及前三人的得分如下表，求丁得了多少分。
第29讲 抽屉原理(一) 我们在四年级已经学过抽屉原理，并能够解答一些简单的 抽屉原理问题。这两讲先复习一下抽屉原理的概念，然后结合一些较复杂的抽屉原理问题，讨论如何构造抽屉。 抽屉原理1将多于n件物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件。 抽屉原理2将多于m×n件物品任意放到到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于（m+1）件。 理解抽屉原理要注意几点：(1)抽屉原理是讨论物品与抽屉的关系，要求物品数比抽屉数或抽屉数的倍数多，至于多多少，这倒无妨。 （2）“任意放”的意思是不限制把物品放进抽屉里的方法，不规定每个抽屉中都要放物品，即有些抽屉可以是空的，也不限制每个抽屉放物品的个数。 （3）抽屉原理只能用来解决存在性问题，“至少有一个”的意思就是存在，满足要求的抽屉可能有多个，但这里只需保证存在一个达到要求的抽屉就够了。 （4）将a件物品放入n个抽屉中，如果a÷n= m……b，其中b是自然数，那么由抽屉原理小学奥数基础教程（五年级） 2就可得到，至少有一个抽屉中的物品数不少于（m+1）件。 例1 五年级有47名学生参加一次数学竞赛，成绩都是整数，满分是100分。已知3名学生的成绩在60分以下，其余学生的成绩均在75～95分之间。问：至少有几名学生的成绩相同？
分析与解：关键是构造合适的抽屉。既然是问“至少有几名学生的成绩相同”，说明应以成绩为抽屉，学生为物品。除3名成绩在60分以下的学生外，其
余成绩均在75～95分之间，75～95共有21个不同分数，将这21个分数作为21个抽屉，把47-3=44（个）学生作为物品。 44÷21= 2……2， 根据抽屉原理2，至少有1个抽屉至少有3件物品，即这47名学生中至少有3名学生的成绩是相同的。 例2 夏令营组织2000名营员活动，其中有爬山、参观博物馆和到海滩游玩三个项目。规定每人必须参加一项或两项活动。那么至少有几名营员参加的活动项目完全相同？ 分析与解：本题的抽屉不是那么明显，因为问的是“至少有几名营员参加的活动项目完全相同”，所以应该把活动项目当成抽屉，营员当成物品。营员数已经有了，现在的问题是应当搞清有多少个抽屉。 因为“每人必须参加一项或两项活动”，共有3项活动，所以只参加一项活动的有3种情况，参加两项活动的有爬山与参观、爬山与海滩游玩、参观与海滩游玩3种情况，所以共有3+3=6（个）抽屉。 2000÷6=333……2， 根据抽屉原理2，至少有一个抽屉中有333+1=334（件）物品，即至少有334名营员参加的活动项目是相同的。 - 41 -
例3把125本书分给五（2）
班学生，如果其中至少有1人分到至少4本书，那么，这个班最多有多少人？
分析与解：这道题一下子不容易理解，我们将它变变形式。因为是把书分给学生，所以学生是抽屉，书是物品。本题可以变为：125件物品放入若干个抽屉，无论怎样放，至少有一个抽屉中放有4件物品，求最多有几个抽屉。这个问题的条件与结论与抽屉原理2正好相反，所以反着用抽屉原理2即可。由 1255÷（4-1）＝41……2知，125件物品放入41个抽屉，至少有一个抽屉有不少于4件物品。也就是说这个班最多有41人。
同学们想一想，如果有42个人，还能保证至少有一人分到至少4本书吗？
例4五（1）班张老师在一次数学课上出了两道题，规定每道题做对得2分，没做得1分，做错得0分。张老师说：可以肯定全班同学中至少有6名学生各题的得分都相同。那么，这个班最少有多少人？
分析与解：由“至少有6名学生各题的得分都相同”看出，应该以各题得分情况为抽屉，学生为物品。
如果用（a，b）表示各题的得分情况，其中a，b分别表示第一、二题的得分，那么有 （2，2），（2，1），（2，0），（1，2），（1，1）， （1，0），（0，2），（0，1），（0，0）
9种情况，即有9个抽屉。 本题变为：已知9个抽屉中至少有一个抽屉至少有6件物品，求至少有多少件物品。反着用抽屉原理2，得到至少有9×（6－1）+1=46(人)。
例3与例4尽管都是求学生人数，但因为问题不同，所以构造的抽屉也不同，例3中将学生
作为抽屉，例4中则将学生作为物品。可见利用抽屉原理解题，应根据问题灵活构造抽屉。一般地，当问“最少有多少××”时，应将××作为物品，如例1，2，4；当问“最多有多少××时，应将××作为抽屉，如例3。 例5任意将若干个小朋友分为五组。证明：一定有这样的两组，两组中的男孩总数与女孩总数都是偶数。
分析与解：因为一组中的男孩人数与女孩人数的奇偶性只有下面四种情况： （奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶）。
将这四种情况作为4个抽屉，五组作为5件物品，由抽屉原理1知，至少有一个抽屉中有两件物品。即这五组中至少有两组的情况相同，将这两组人数相加，男孩人数与女孩人数都是偶数。
练习29
1.某单位购进92箱桔子，每箱至少110个，至多138个，现将桔子数相同的作为一组，箱子数最多的一组至少有几箱？ 2.幼儿园小朋友分200块饼干，无论怎样分都有人至少分到8块饼干，这群小朋友至多有多少名？
3.有若干堆分币，每堆分币中没有币值相同的分币。任意挑选多少堆分币，才能保证一定有两堆分币的组成是相同的？ 4.图书馆有甲、乙、丙、丁四类图书，规定每个同学最多可以借两本不同类的图书，至少有多少个同学借书，才能保证有两个人所借的图书类别相同？ 5.我国人口已超过12亿，如果人均寿命不超过75岁，那么我国至少有两个人出生的时间相差不会超过2秒钟。这个结论是否正确？
6.红光小学五（2）班选两名班长。投票时，每个同学只能从
小学奥数基础教程（五年级） 4名候选人中挑选2名。这个班至少应有多少个同学，才能保证有8个或8个以上的同学投了相同的2名候选人的票？
7.把135块饼干分给16个小朋友，若每个小朋友至少要分到一块饼干，那么不管怎样分，一定会有两个小朋友得到的饼干数目相同。为什么？
第30讲 抽屉原理（二）
例1把一个长方形画成3行9列共27个小方格，然后用红、蓝铅笔任意将每个小方格涂上红色或蓝色。是否一定有两列小方格涂色的方式相同？
分析与解：将9列小方格看成9件物品，每列小方格不同的涂色方式看成不同的抽屉。如果涂色方式少于9种，那么就可以得到肯定的答案。涂色方式共有下面8种：
9件物品放入8个抽屉，必有一个抽屉的物品数不少于2件，即一定有两列小方格涂色的方式相同。
例2在任意的四个自然数中，是否总能找到两个数，它们的差是3的倍数？
分析与解：这道题可以将4个自然数看成4件物品，可是却没有明显的抽屉，这就需要根据题目构造合适的抽屉。
因为题目要求两个数的差是3的倍数，当两个数除以3的余数相同时，这两个数的差一定是3的倍数，所以将自然数按除以3的余数分类，可以分为整除、余1、余2三类，将这三类看成3个抽屉。4件物品放入3个抽屉，必有一个抽屉中至少有2件物品，即4个自然数中至少有2个数除以3的余数相同，它们的差是3的倍数。
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所以，任意的四个自然数中，总能找到两个数，它们的差是3的倍数。
例3 从1，3，5，7，…，47，49这25个奇数中至少任意取出多少个数，才能保证有两个数的和是52。
分析与解：首先要根据题意构造合适的抽屉。在这25个奇数中，两两之和是52的有12种搭配：
｛3，49｝，｛5，47｝，｛7，45｝，｛9，43｝， ｛11,41｝，｛13，39｝，｛15，37｝，｛17，35｝， ｛19，33｝，｛21，31｝，｛23，29｝，｛25，27｝。
将这12种搭配看成12个抽屉，每个抽屉中有两个数，还剩下一个数1，单独作为一个抽屉。这样就把25个奇数分别放在13个抽屉中了。因为一共有13个抽屉，所以任意取出14个数，无论怎样取，至少有一个抽屉被取出2个数，这两个数的和是52。所以本题的答案是取出14个数。 例4在下图所示的8行8列的方格表中，每个空格分别填上1，2，3这三个数字中的任一个，使得每行、每列及两条对角线上的各个数字的和互不相等，能不能做到？
分析与解：在8行8列的方格表中，8行有8个和，8列也有8个和，2条对角线有2个和，所以一共有8+8+2=18（个）和。因为题目问的是，这18个和能否互不相等，所以这18个和是物品，而和的不同数值是抽屉。 按题目要求，每个和都是由1，2，3三个数中任意选8个相加而得到的。这些和中最小的是8个都是1的数相加，和是8；最大的是8个都是3的数相加，
和是24。在8至24之间，不同的和只有24-8+1=17(个)。将这17个不同的和的数值作为抽屉，把各行、列、对角线的18个和作为物品。把18件物品放入17个抽屉，至少有一个抽屉中的物品数不少于2件。也就是说，这18个和不可能互不相等。
例5用1，2，3，4这4个数字任意写出一个10000位数，从这个10000位数中任意截取相邻的4个数字，可以组成许许多多的四位数。这些四位数中至少有多少个是相同的？
分析与解：猛一看，谁是物品，谁是抽屉，都不清楚。因为问题是求相邻的4个数字组成的四位数有多少个是相同的，所以物品应是截取出的所有四位数，而将不同的四位数作为抽屉。 在10000位数中，共能截取出相邻的四位数10000-3=9997（个），
即物品数是9997个。
用1，2，3，4这四种数字可以组成的不同四位数，根据乘法原理有4×4×4×4=256（种）， 这就是说有256个抽屉。 9997÷256=39……13， 所以这些四位数中，至少有40个是相同的。 练习30
1.红光小学每周星期一、三、五、六各举办一种课外活动，问：至少要有多少学生报名参加，才能保证其中至少有3位学生所参加的课外活动完全一样？
2.任意取多少个自然数，才能保证至少有两个数的差是7的倍数？
3.在前10个自然数中，至少取多少个数，才能保证其中有两个数的和是10？
4.右图是一个5行5列的方格表，能否在每个方格中分别填上1，2，3中的一个数，使得每行、每列及两条对角线上的五个
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方格中的数字之和互不相同？
是336，商的第一位是8或9。 练习2
1.（1）4285；（2）461538。
5.要把85个球放入若干个
7×(1000A+ B)= 6×(1000B＋A)， 盒子中，每个盒子中最多放7个。 化简后得538A=461B，由于问：至少有几个盒子中放球的数538与461互质，且A，B均为三目相同？
位数，所以A=461，B= 538。所 6.至少取出多少个真分数，求六位数是461538。
才可以保证其中必有两个真分
2.（1）124×81=10044；（2）117684÷12= 9807。 数之差小于
提示：（1）设被乘数为a，由8a≤999，81a≥10000，推知 答案与提示： 练习1
1.6281。解：621819÷ 所以a=124。
（100-1）= 6281。 （2）根据竖式特点知，商 2.（1）由百位加法知，A=B+1；是9807。设除数是a，根据竖式再由十位加法A+ C=B+10，推知特点由8a＜100，9a≥100，推知 C=9，进而得到A=5，B=4（见左下式）。
所以a=12。
3.（1）先将竖式化为整数除
法竖式如左下式：
（2）由千位加法知B=A-1，再由个位减法知C=9。因为十位减法向百位借1，百位减法向千位借1，所以百位减法是（10+B-1）-A=A，
化简为9+B=2A，将B=A-1代 易知f=2，g=0；由g=0知b，入，得A=8， B=7（ 见右上式）。 d中有一个是5，另一个是偶数 3.1÷（2÷3÷4÷5÷6÷7而f= 2，所以b= 5，进而推知d= ÷8÷9）=90720。
6；再由d= 6，f= 2知a= 2或7， 4.1÷（2÷3）÷4÷（5÷6而e=3或4，所以a=7；最后求÷7÷8）÷9=2.8。
出c=5。见上页右下式。
（2）先将除法竖式化为整数除法竖式如左下式：
5. 46×79= 23×158= 3634。
提示：3634=2×23×79。 由竖式特点知b=c=0；因为除数 6.391344。提示：仿照例3。 与d的乘积是1000的倍数，d与 7.774888。
e都不为0，所以d与除数中必 提示：仿例4，商的后3位
分别含有因子23和52，故d=8，
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除数是125的奇数倍，因此e=5；又f≠0，e= 5，所以f=g=5；由g=5，d=8得到除数为5000÷8=625，再由625×a是三位数知a=1，所以被除数为625×1008=630000，所求竖式见右上式。 练习3
1.2。2.4。 3.0。
提示：新运算“”是：
于结果，所
从第一个数字起，求越来越大的连续几个自然数的乘积，因数个数是第二个数字。（4（3
4）÷
提示：由 2⊙3= （A×2-3）÷4=0.75，推知A=3。定义的运算是： m⊙n=（3m-n）÷4。 （5⊙7）×（2⊙2）÷（3⊙2） =[（3×5-7）÷4]×[(3×2- 2)÷4]÷[（3×3-2）÷4] =2×1÷7/4=8/7。 5.
3）= （4×5×6×7）÷
（3×4×5）=14。 练习
4
提示：（2）x◇（4◇1）= 7， x◇（4×3-1×2）= 7， x◇10=7， 3x-10×2=7， x=9。
6.（1）2，3，1；（2）7或14。
提示：（1）（5
4
19=3，5（19
5）= 5
4=
1。
（2）当x＜11时，x是7；当x＞11时，x是14。 7.（1）10；（2）4。 解：（1）f（g（6））- g（f（3）） = f(6÷2+1)- g（3×3-1）= f( 4)- g（8） = （4×4-1）（-8÷2+1）= 10；。 （2）由f( g（x）)= 8=3×3-1，推知g（x）= 3；再由x÷2+1=3，得x=4。
练习5
1.是。提示：7018和1392分别是4205与2813的和与差。 2.14。
2.7。 提示：已知这两个数的积可 解：原式=（0.5×3+0.8×2.5）以整除4875，说明这两个数都是÷(0.7×3-0.64×2.5)=7。 4875的因数。4875= 3×5×5×5 3.33。 ×13，用这些因子凑成两个数， 提示：从已知的四式发现，使它们的和是64，显然这两个数第一个数的4倍加上第二个数等是3×13=39和5×5=25。它们的
9）
19=
（2）相当于由1×2×3× …
×x=40320，求x。
40320÷2＝20160， 20160÷3= 6720， 6720÷4=1680， 1680÷5=336， ……
8÷8=1，
即1/40320=1×1/2×1/3×1/4×1/5×1/6×1/7×1/8。所以x=8。 7.4。
解：x☆（8☆5）= x☆（8×5÷4）= x☆10= x×10÷4，由x×10÷4=10，求得x=4。 8.0。
解： （4△3）△（2△6） = (4×3-3×3)△(4×2-6/2) = 3△5=3×5-3×5=0。 9.14。
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