[A 基础达标]
1.直线l与平面α所成角θ的范围是( )
A．(0°，180°) B．(0°，90°) C．[0°，90°] D．(0°，90°] 解析：选C.根据定义可知选C.
2．如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是( )
①三角形的两边 ②梯形的两边 ③圆的两条直径 ④正六边形的两条边 A．①③ B．② C．②④ D．①②③
解析：选A.由线面垂直的判定定理可知①③是正确的，而②中线面可能平行、相交，也可能直线在平面内．④中由于正六边形的两边不一定相交，所以也无法判定线面垂直，故选A.
3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成的角的余弦值为( )
23A.3 B．3 26C.3 D．3
解析：选D.如图所示，连接BD交AC于点O，连接D1O，由于BB1∥DD1，所以DD1与平面ACD1所成的角就是BB1与平面ACD1所成的角．易知∠DD1O即
26
为所求．设正方体的棱长为1，则DD1＝1，DO＝2，D1O＝2，所以cos∠DD1ODD126＝DO＝＝3.
16
6
所以BB1与平面ACD1所成的角的余弦值为3. 4．如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，∠PBA＝θ1，∠PBC＝θ2，∠ABC＝θ3.
则下列关系一定成立的是( )
A．cos θ1cos θ2＝cos θ3 B．cos θ1cos θ3＝cos θ2 C．sin θ1sin θ2＝sin θ3 D．sin θ1sin θ3＝sin θ2
PA⊥平面ABC?
??解析：选B.
BC?平面ABC?
PA⊥BC
?
AC⊥BC? PA∩AC＝A?
?BC⊥平面PAC?BC⊥PC，
ABBCBC
所以cos θ1＝PB，cos θ2＝PB，cos θ3＝AB. 则有cos θ1cos θ3＝cos θ2. 5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总
保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是( )
A．线段B1C B．线段BC1
C．BB1中点与CC1中点连成的线段 D．BC中点与B1C1中点连成的线段
解析：选A.如图，由于BD1⊥平面AB1C，故点P一定位于B1C上．
6.在三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C
的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是________．
解析：
如图所示，取BC的中点E，连接DE，AE，则AE⊥平面BB1C1C. 所以AE⊥DE，因此AD与平面BB1C1C所成角即为∠ADE，
3a
设AB＝a，则AE＝2a，DE＝2，
即有tan∠ADE＝3，所以∠ADE＝60°. 答案：60°
7.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面
A1B1C1D1所成角的正弦值为________．
解析：连接A1C1(图略)，
因为AA1⊥平面A1B1C1D1，
所以∠AC1A1为AC1与平面A1B1C1D1所成的角． 又A1B1＝B1C1＝2，AA1＝1，所以AC1＝3.
AA11
在Rt△AA1C1中，sin∠AC1A1＝AC＝3.
1
1答案：3
8.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a＞0)，PA⊥平面AC，且PA＝1，若BC边上存在点Q，使得PQ⊥QD，则a的最小值为________．
解析：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥QD. 若BC边上存在一点Q，使得QD⊥PQ， 则有QD⊥平面PAQ，从而QD⊥AQ.
在矩形ABCD中，当AD＝a<2时，直线BC与以AD为直径的圆相离，故不存在点Q，使PQ⊥DQ.
所以当a≥2时，才存在点Q，使得PQ⊥QD.所以a的最小值为2. 答案：2
9.如图，在直棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC的中点，
点E在棱BB1上运动．证明：AD⊥C1E.
证明：因为AB＝AC，D是BC的中点， 所以AD⊥BC.① 又在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，
而AD?平面ABC，所以AD⊥BB1.② 由①②得AD⊥平面BB1C1C.
由点E在棱BB1上运动，得C1E?平面BB1C1C， 所以AD⊥C1E.
10.如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，BC＝2，CC1＝5，M是
棱CC1上一点．是否存在这样的点M，使得BM⊥平面A1B1M？若存在，求出C1M的长；若不存在，请说明理由．
解：假设存在点M使得BM⊥平面A1B1M，并设C1M＝x，则有Rt△B1C1M∽Rt△BMB1.
C1MB1M
所以BM＝BB，所以4＋x2＝5x，
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所以x＝4或x＝1.
当C1M＝1或4时，使得BM⊥平面A1B1M.
[B 能力提升]
1．已知三条相交于一点的线段PA、PB、PC两两垂直，且A、B、C在同一平面内，P在平面ABC外，PH⊥平面ABC于点H，则垂足H是△ABC的( )
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
解析：选C.易证AH⊥BC，BH⊥AC，CH⊥AB，故点H为△ABC的垂心． 2．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝6，则PC与平面ABCD所成角的大小为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
解析：选C.如图，连接AC. 因为PA⊥平面ABCD，
所以∠PCA就是PC与平面ABCD所成的角． 因为AC＝2，PA＝6，
PA6
所以tan∠PCA＝＝＝3.
AC2
所以∠PCA＝60°.
3.如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是________．(填序号)
①BD∥平面CB1D1； ②AC1⊥BD；
③AC1⊥平面CB1D1；
④异面直线AD与CB1所成的角为60°.
解析：由于BD∥B1D1，BD?平面CB1D1，B1D1?平面CB1D1，则BD∥平面CB1D1，所以①正确；
由于BD⊥AC，BD⊥CC1，AC∩CC1＝C，
所以BD⊥平面ACC1，所以AC1⊥BD.所以②正确； 可以证明AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C， 所以AC1⊥平面CB1D1，所以③正确；
由于AD∥BC，则∠BCB1＝45°是异面直线AD与CB1所成的角，所以④错误．
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