第55讲 电磁感应中的“杆＋轨”模型
热点概述 电磁感应“杆轨模型”中的杆有“单杆”和“双杆”等，有的回路中还接有电容器；电磁感应“杆轨模型”中的轨有“直轨”和“折轨”等，导轨有竖直的，也有水平的，还有放在斜面上的等各种情况。分析这类问题重在结合电动势的变化情况分析清楚其中的动力学过程，处理问题时经常涉及力学和电磁学中的几乎所有规律，综合性较强。
热点一 单杆模型
单杆模型的常见情况
[例1] (2018·广州毕业综合测试(一))如图甲，两根足够长的平行光滑金属导轨固定在水平面内，导轨间距为1.0 m，左端连接阻值R＝4.0 Ω的电阻；匀强磁场磁感应强度B＝0.5 T、方向垂直导轨所在平面向下；质量m＝0.2 kg、长度l＝1.0 m、电阻r＝1.0 Ω的金属杆置于导轨上，向右运动并与导轨始终保持垂直且接触良好。t＝0时对杆施加一平行于导轨方向的外力F，杆运动的v-t图象如图乙所示。其余电阻不计。求：
(1)从t＝0开始，金属杆运动距离为5 m时电阻R两端的电压； (2)在0～3.0 s内，外力F大小随时间t变化的关系式。
解析 (1)根据v-t图象可知金属杆做匀减速直线运动时间Δt＝3 s，t＝0时杆的速v0－0
度为v0＝6 m/s，由运动学公式得其加速度大小a＝Δt，①
2
设杆运动了s1＝5 m时速度为v1，则v1－v20＝－2as1，②
此时，金属杆产生的感应电动势E1＝Blv1，③ 回路中产生的电流I1＝
E1，④ R＋r
电阻R两端的电压U＝I1R，⑤
联立①～⑤式解得U＝1.6 V。⑥
(2)由t＝0时BIl＜ma，可分析判断出外力F的方向与v0反向。 金属杆做匀减速直线运动，由牛顿第二定律有 F＋BIl＝ma，⑦
设在t时刻金属杆的速度为v，杆的电动势为E，回路电流为I，则v＝v0－at，⑧ 又E＝Blv，⑨ EI＝，⑩ R＋r
联立①⑦⑧⑨⑩式解得F＝0.1＋0.1t。 答案 (1)1.6 V (2)F＝0.1＋0.1t 方法感悟
?1?若杆上施加的力为恒力，对杆做动力学分析可得出，其运动形式为变加速运动或匀速运动。
?2?若使杆做匀变速运动，在杆上施加的力与时间成一次函数关系才行。
[例2] (2018·衡阳模拟)如图所示，足够长的光滑平行金属导轨CD、EF倾斜放置，其所在平面与水平面间的夹角为θ＝30°，两导轨间距为L，导轨下端分别连着电容为C的电容器和阻值R＝2r的电阻。一根质量为m，电阻为r的金属棒放在导轨上，金属棒与导轨始终垂直并接触良好，一根不可伸长的绝缘轻绳一端拴在金属棒中间、另一端跨过定滑轮与质量M＝4m的重物相连。金属棒与定滑轮之间的轻绳始终在两导轨所在平面内且与两导轨平行，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨所在平面向上，导轨电阻不计，初始状态用手托住重物使轻绳恰处于伸长状态，由静止释放重物，求：(重力加速度大小为g，不计滑轮阻力)
(1)若S1闭合、S2断开，重物的最大速度。 (2)若S1和S2均闭合，电容器的最大带电量。
(3)若S1断开、S2闭合，重物的速度v随时间t变化的关系式。
解析 (1)S1闭合，S2断开时，M由静止释放后拉动金属棒沿导轨向上做加速运动，金属棒受到沿导轨向下的安培力作用，设最大速度为vm，根据法拉第电磁感应定律可得感应电动势E＝BLvm
根据闭合电路的欧姆定律可得感应电流 BLvmEI＝＝3r R＋r
当金属棒速度最大时有：Mg＝mgsin30°＋BIL 3r?4m－0.5m?g21mgr解得：vm＝＝2B2L2。
B2L2(2)S1，S2均闭合时，电容器两板间的最大电压 7mgr
U＝UR＝IR＝BL 7mgrC
电容器的最大带电量Q＝CU＝BL。
(3)S1断开、S2闭合时，设从释放M开始经时间t金属棒的速度大小为v，加速度大小为a，通过金属棒的电流为i，金属棒受到的安培力F＝BiL，方向沿导轨向下，设在时间t到(t＋Δt)内流经金属棒的电荷量为ΔQ，ΔQ也是平行板电容器在t到(t＋Δt)内增加的电荷量，ΔQ＝CBL·Δv，
ΔQ
根据运动学公式可得Δv＝aΔt，则i＝Δt＝CBLa， 设绳中拉力为T，由牛顿第二定律，对金属棒有： T－mgsin30°－BiL＝ma 对M有：Mg－T＝Ma 解得：a＝
7mg
10m＋2CB2L2可知M做初速度为零的匀加速直线运动 v＝at＝
7mg
·t
10m＋2CB2L221mgr7mgrC
答案 (1)2B2L2 (2)BL (3)v＝
7mg
·t
10m＋2CB2L2方法感悟
单杆＋电容器＋恒力模型可用微元法或动量定理分析，其运动形式恰好为匀变速直线运动，不同于其他单杆模型。
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