。 。 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 2.2 直线和圆锥曲线的参数方程
2.2.2 圆的参数方程 2.2.3 椭圆的参数方程 2.2.4 双曲线的参数方程
课后篇巩固探究
A组
1.曲线(θ为参数)的左焦点的坐标是( )
A.(-4,0) B.(0,-4) C.(-2,0)
D.(0,2)
解析:由(θ为参数),
得=1,
故左焦点的坐标为(-4,0). 答案:A 2.圆锥曲线(θ为参数)的焦点坐标是( ) A.(-5,0) B.(5,0) C.(±5,0)
D.(0,±5)
解析:由(θ为参数),
得=1,
故它的焦点坐标为(±5,0). 答案:C 1
3.过点M(2,1)作曲线C:(θ为参数)的弦,使点M为弦的中点,则此弦所在直线方程为
( )
A.y-1=-(x-2) B.y-1=-2(x-2) C.y-2=-(x-1) D.y-2=-2(x-1)
解析:∵把曲线C的参数方程化为普通方程为x2+y2
=16,表示圆心在原点,半径为4的圆,
∴过点M的弦与线段OM垂直,又kOM=,
∴弦所在直线的斜率为-2, ∴直线方程为y-1=-2(x-2).
答案:B 4.已知P(x,y)是曲线(α为参数)上任意一点,则(x-5)2+(y+4)2
的最大值为( A.36
B.6
C.26
D.25
解析:由参数方程可知,(x-2)2
+y2
=1,圆心O(2,0),另一定点M(5,-4),
∴|OM|==5.
∴(x-5)2+(y+4)2的最大值为(5+1)2=62=36.
答案:A 5.导学号73144031对任意实数,直线y=x+b与椭圆(θ为参数,且
0≤θ≤2π)恒有公共点,则b的取值范围是 . 解析:将(2cos θ,4sin θ)代入y=x+b得
4sin θ=2cos θ+b.
∵恒有公共点, ∴以上方程有解.
令f(θ)=4sin θ-2cos θ=2
sin(θ-φ).
∴-2≤f(θ)≤2. ∴-2
≤b≤2.
答案:[-2
,2
]
) 2
6.在直角坐标系xOy中,直线l的方程为x-y+4=0,曲线C的参数方程为(α为参数).
(1)已知在极坐标(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,点P的极坐标为
,判断点P与直线l的位置关系;
(2)设点Q是曲线C上的一个动点,求它到直线l的距离的最小值. 解(1)把极坐标系下的点P化为直角坐标,得P(0,4).
因为点P的直角坐标(0,4)满足直线l的方程x-y+4=0,所以点P在直线l上. (2)因为点Q在曲线C上,故可设点Q的坐标为(cos α,sin α),
从而点Q到直线l的距离
d=
=
=cos
+2.
由此得,当cos
=-1时,d取得最小值,且最小值为
.
7.求椭圆=1的参数方程.
(1)设x=3cos φ,φ为参数; (2)设y=2t,t为参数.
解(1)把x=3cos φ代入椭圆方程,得
=1,
所以y2
=4(1-cos2
φ)=4sin2
φ,即y=±2sin φ. 由φ的任意性,可取y=2sin φ.
故=1的参数方程为(φ为参数).
(2)把y=2t代入椭圆方程,得=1.
3
即x=9(1-t),∴x=±3
22
.
故参数方程为
2
2
(t为参数)或(t为参数).
8.已知点P(x,y)是圆x+y=2y上的动点, (1)求2x+y的取值范围;
(2)若x+y+a≥0恒成立,求实数a的取值范围.
解(1)设圆的参数方程为
则2x+y=2cos θ+sin θ+1=故-(θ为参数), sin(θ+φ)+1,
+1≤2x+y≤+1.
(2)∵x+y+a=cos θ+sin θ+1+a≥0.
∴a≥-(cos θ+sin θ)-1=-∴a≥
-1.
sin-1,
9.导学号73144032已知点A,B是椭圆=1与坐标轴正半轴的两个交点,在第一
象限的椭圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大.
解椭圆的参数方程为(θ为参数).
,
设点P的坐标为(3cos θ,2sin θ),其中0≤θ<∵SOAPB=S△APB+S△AOB,其中S△AOB为定值, ∴只需S△APB最大即可.
又∵AB为定长,故只需点P到AB的距离最大即可.
AB的方程为2x+3y-6=0,点P到AB的距离为
d=.
∴当θ=时,d取最大值,从而SOAPB取最大值,这时点P的坐标为.
4
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