B组
1.若直线y=ax+b经过第二、三、四象限,则圆A.第一象限 答案:A B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
(θ为参数)的圆心在( )
解析:因为直线y=ax+b经过第二、三、四象限,所以a<0,b<0,所以圆心(a,b)在第三象限.
2.已知椭圆A.π
(θ为参数),若θ∈[0,2π),则椭圆上的点(-a,0)对应的θ=( ) B.
C.2π
D.
解析:由答案:A 所以θ=π.
3.如图,若以过原点的直线的倾斜角θ为参数,则圆x+y-x=0的参数方程为 .
22
解析:由三角函数定义知=tan θ(x≠0),y=xtan θ,由x+y-x=0,得x+xtanθ-2
2
2
2
2
x=0,x==cos2θ,则y=xtan θ=cos2θtan θ=sin θcos θ,又θ=时,x=0,y=0也适合题意,
故参数方程为(θ为参数).
答案:(θ为参数)
2
2
4.若点P(x,y)在椭圆4x+y=4上,则x+y的最大值为 ,最小值为 .
解析:∵点P在椭圆x+=1上,
2
∴可以设点P的坐标为(cos θ,2sin θ),
即x=cos θ,y=2sin θ,
5
∴x+y=cos θ+2sin θ=∵sin (θ+φ)∈[-1,1], ∴x+y的最大值为
答案:sin(θ+φ),其中tan φ=.
,最小值为-.
-
5.导学号73144033已知曲线C的参数方程为(t为参数),C在点(1,1)处
的切线为l,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l的极坐标方程为 .
解析:∵曲线C的参数方程为(t为参数),
∴其普通方程为x2+y2=2.
又点(1,1)在曲线C上,∴切线l的斜率k=-1.
故l的方程为x+y-2=0,化为极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ=2,即ρsin答案:ρsin
.
6.设方程
(1)当t=1时,θ为参数,此时方程表示什么曲线? (2)当θ=时,t为参数,此时方程表示什么曲线? 解(1)当t=1时,θ为参数,原方程化为
消去参数θ,
得
-(y-2)2=1,即-(y-2)2=1,这是一个焦点在x轴的双曲线.
(2)当θ=时,t为参数,原方程化为
,这是一条直线.
消去参数t,得y=2x+1-4
6
7.已知直线l:x-y+9=0和椭圆C:(1)求椭圆C的左右焦点F1,F2的坐标;
(θ为参数).
(2)求以F1,F2为焦点,且与直线l有公共点M的椭圆中长轴最短的椭圆的方程.
解(1)由椭圆的参数方程消去参数θ,得椭圆的标准方程为
得a=12,b=3,c=a-b=9,则c=3. 故F1(-3,0),F2(3,0). (2)∵2a=|MF1|+|MF2|,
2
2
2
2
2
=1,
∴只需在直线l:x-y+9=0上找到点M,使得|MF1|+|MF2|最小即可.
点F1(-3,0)关于直线l的对称点是F'1(-9,6),
∴点M为F2F'1与直线l的交点,则 |MF1|+|MF2|=|MF'1|+|MF2|=|F'1F2| =∴a=3
2
=6
.
2
2
,
又∵c=3,b=a-c=36,
∴所求椭圆的方程为=1.
8.导学号73144034已知曲线C的方程为
当t是非零常数,θ为参数时,C是什么曲线?当θ为不等于(k∈Z)的常数,t为参数时,C是什么曲线?两曲线有何共同特征?
分析研究曲线的参数方程首先要明确哪个量是参变量. 解当θ为参数时,将原参数方程记为①,
将参数方程①化为
平方相加消去θ,得=1.②
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∵(et+e-t)2>(et-e-t)2>0, ∴方程②表示的曲线为椭圆.
当t为参数时,将方程①化为
平方相减,消去t,得=1.③
∴方程③表示的曲线为双曲线,
即C为双曲线.
∵在方程②中=1,
∴c=1,椭圆的焦点为(-1,0),(1,0). ∵在方程③中cos2θ+sin2θ=1, ∴c'=1,
∴双曲线的焦点也为(-1,0),(1,0).
因此椭圆和双曲线有共同的焦点.
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