第三讲 柯西不等式与排序不等式
达标检测
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知a，b，c都是正数，且ab＋bc＋ca＝1，则下列不等式中正确的是( ) A．(a＋b＋c)2
≥3 B．a2＋b2＋c2
≥2 C.1a＋1b＋1
c≤23
D．a＋b＋c≤1
3abc
解析：用3(ab＋bc＋ca)≤(a＋b＋c)2
≤3(a2
＋b2
＋c2
)易得． 答案：A
2．已知2x＋3y＋4z＝10，则x2
＋y2
＋z2
取到最小值时的x，y，z的值为( A.51053，9，6 B．20304029，29，29 C．1，112，3
D．1，114，9
2解析：x2
＋y2
＋z2
＝x2＋y2＋z2
2＋32＋4
2
29
2x＋3y＋4z2
≥
29
＝10029
. ?x＝2k当且仅当?
?y＝3k??z＝4k
时，等号成立，
则4k＋9k＋16k＝29k＝10，解得k＝10
29
，
?20?x＝29
，∴?y＝30，?29?z＝4029.
选B.
答案：B
3．已知3x2
＋2y2
≤1，则3x＋2y的取值范围是( ) A．[0，5]
B．[－5，0]
) 1
C．[－5，5]
解析：|3x＋2y|≤3x＋2y·答案：C
2
2
D．[－5,5]
3
2
＋2
2
≤5，所以－5≤3x＋2y≤5.
123yz4．已知x，y，z∈R＋，且＋＋＝1，则x＋＋的最小值是( )
xyz23A．5 C．8
B．6 D．9
yz?yz??123?2xy3xz3y2z解析：x＋＋＝?x＋＋??＋＋?＝3＋＋＋＋＋＋ ≥3＋2＋2＋2＝9，选D.
23??xyz?23?y2xz3x2z3y答案：D
x2y2222
5．已知2＋2＝1(a>b>0)，设A＝a＋b，B＝(x＋y)，则A、B间的大小关系为( )
abA．A
2
2
2
2
2
2
B．A>B D．A≥B
y?2?xy?22?x2
解析：A＝a＋b＝1·(a＋b)＝?2＋2?(a＋b)≥?·a＋·b?＝(x＋y)＝B.即A≥B.
b??ab??a答案：D
6．已知a，b是给定的正数，则2＋2的最小值为( )
sinαcosαA．a＋b C．(a＋b)
2
2
2
a2b2
B．2ab D．4ab
b??a222
解析：2＋2＝?2＋2?(sinα＋cosα)≥(a＋b)，故应选C.
sinαcosα?sinαcosα?
答案：C
7．设a，b，c为正实数，a＋b＋4c＝1，则a＋b＋2c的最大值是( ) A.5 C．23
解析：1＝a＋b＋4c ＝(a)＋(b)＋(2c)
112222222
＝[(a)＋(b)＋(2c)]·(1＋1＋1)≥(a＋b＋2c)·， 33
1112
∴(a＋b＋2c)≤3，a＋b＋2c≤3，当且仅当a＝，b＝，c＝时取等号．
3312
2
2
2
a2b2
22
B．3 D．3
2
2
答案：B
8．函数y＝3x－5＋46－x的最大值为( ) A.5 C．7
解析：函数的定义域为[5,6]，且y>0.
B．5 D．11
y＝3×x－5＋4×6－x≤32＋42×
当且仅当x－5
2
＋6－x2
＝5.
x－5
3
＝
6－x. 4
134
即x＝时取等号．所以ymax＝5.
25答案：B
9．若x，y，z是非负实数，且9x＋12y＋5z＝9，则函数u＝3x＋6y＋5z的最大值为( ) A．9 C．14
2
2
2
2
2
2
2
B．10 D．15
2
2
2
2
解析：u＝(3x＋6y＋5z)≤[(3x)＋(23y)＋(5z)]·[1＋(3)＋(5)]＝9×9＝81，当且11
仅当x＝，y＝，z＝1时等号成立．故所求的最大值为9.
32答案：A
10．若5x1＋6x2－7x3＋4 x4＝1，则3x1＋2x2＋5x3＋x4的最小值是( ) 782
A. 15C．3 解析：因为?
15B． 78225D． 3
2
2
2
2
?25＋18＋49＋16?(3x2＋2x2＋5x2＋x2)≥
?1234
5?3?
?5×3x1＋32×2x2＋－7×5x3＋4×x4?22
??＝(5x1＋6x2－7x3＋4x4)＝1，
5?3?
152222
所以3x1＋2x2＋5x3＋x4≥. 782答案：B
11．设c1，c2，…，cn是a1，a2，…，an的某一排列(a1，a2，…，an均为正数)，则＋＋…＋的最小值是( )
a1a2c1c2ancn 3
1A. nB．n D．不能确定
C．1
111111111
解析：不妨设0
a1a2anc1c2
anancna1a2an又反序和≤乱序和，所以＋＋…＋≥＋＋…＋＝n. 答案：B
12．已知a，b，c∈R＋，设P＝2(a＋b＋c)，Q＝a(b＋c)＋b(c＋a)＋c(a＋b)，则( ) A．P≤Q C．P≥Q
解析：设a≥b≥c，a≥b≥c，
顺序和a＋b＋c，乱序和ab＋bc＋ca与ac＋ba＋cb， ∴a＋b＋c≥ab＋bc＋ca，
3
3
3
2
2
2
3
3
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
2
2
2
a1a2c1c2ana1a2cna1a2
B．PQ
a3＋b3＋c3≥a2c＋b2a＋c2b，
2(a＋b＋c)≥a(b＋c)＋b(c＋a)＋c(a＋b)， ∴P≥Q，选C. 答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上) 11
13．已知x>0，y>0，且2x＋y＝6，则＋的最小值为________．
3
3
3
2
2
2
xy11?2111??1?2?1?2?1??11?122
解析：＋＝(2x＋y)?＋?＝[(2x)＋(y)]·???＋???≥?2x·＋y·?
xy6?xy?6xy???x??y??6?13＋222
＝(2＋1)＝， 66当且仅当2x·
1
y＝y·
1
x，即x＝6－32，y＝62－6时取等号．
1
答案：(3＋22)
6
14．如图所示，矩形OPAQ中，a1≤a2，b1≤b2，则阴影部分的矩形的面积之和________空白部分的矩形的面积之和．
4
相关推荐：
閺夊磭鍔�