O O→B B B→O O O→A
0 最大 0 0 最大 势能全部转化为动能 增大 最大 动能全部转化为势能 减小 0 0 增大(+) 减小(+) 增大(-) 增大(-) 减小 最大 0 最大 最大 0 a↑的变减速运动 减小(+) 增大(-) 减小(-) 减小(-) 增大 0 最大 0 0 a↓的变加速运动 最大 势能全部转化为动能 增大 增大(-) 减小(-) 增大（+） 增大(+) 减小 a↑的变减速运动 小结：弹簧振子的运动过程是完全对称的。 (1)B、O、A为三个特殊状态
O为平衡位置，即速度具有最大值vmax，而加速度a＝0 A为负的最大位移处，具有加速度最大值amax，而速度v＝0 B为正的最大位移处，具有加速度最大值amax，而速度v＝0
（2）其运动为变加速运动与变减速运动的交替过程，在此过程中，机械能守恒，动能和弹性势能之间相互转化
加速度a与速度v的变化不一致 (3)任一点C的受力情况
重力G与弹力N平衡；F回＝F弹＝kx，可看出回复力方向始终与位移方向相反
知识点五：简谐运动图象的应用
要点诠释：
1. 简谐运动图象的物理意义
图象描述了做简谐运动的质点的位移随时间变化的规律，即是位移——时间函数图象。 注意振动图象不是质点的运动轨迹。
2. 简谐运动图象的特点
简谐运动的图象是一条正弦（余弦）曲线。 （1）从平衡位置开始计时，函数表达式为 （2）从最大位移处开始计时，函数表达式
，图象如图1。 ，图象如图2。
3.简谐运动图象的应用
(1)确定振动质点在任一时刻的位移。如图中，对应t1、t2时刻的位移分别为x1=+7cm、x2=-5cm。
(2)确定振动的振幅、周期和频率。
图中最大位移的值就是振幅，如图表示的振动振幅是10cm；
振动图象上一个完整的正弦(余弦)图形在时间轴上拉开的“长度”表示周期。由图可知，OD、AE、BF的间隔都等于振动周期T=0.2s；
频率
。
(3)确定各时刻质点的速度、加速度(回复力)的方向。
加速度方向总与位移方向相反。只要从振动图象中认清位移的方向即可。例如在图中t1时刻质点位移x1为正，则加速度a1为负，两者方向相反；t2时刻，位移x2为负，则a2便为正；
判定速度的方向的方法有：
a.位移——时间图象上的斜率代表速度。某时刻的振动图象的斜率大于0，速度方向与规定的正方向一致；斜率小于0，速度的方向与规定的正方向相反；
b.将某一时刻的位移与相邻的下一时刻的位移比较，如果位移增大，振动质点将远离平衡位置；反之将靠近平衡位置。
例如图中在t1时刻，质点正远离平衡位置运动；在t3时刻，质点正向着平衡位置运动。 (4)比较不同时刻质点的速度、加速度、动能、势能的大小。 加速度与位移的大小成正比。如图中|x1|＞|x2|，所以|a1|＞|a2|；
而质点的位移越大，它所具有的势能越大，动能、速度则越小。如图中，在t1时刻质点的势能EP1大于t2时刻的势能EP2，而动能则Ek1＜Ek1，速度v1＜v1。
小结：若某段时间内质点的振动速度指向平衡位置（可为正也可为负），则质点的速度、动能均变大，回复力、加速度、势能均变小，反之则相反。凡图象上与ｔ轴距离相同的点，振动质点具有相同的动能和势能。
规律方法指导
1．正确分析振动物体的受力
回复力是根据效果来命名的，而不是某种特殊性质的力，它可以是重力、弹力、摩擦力，或者是几个力的合力。
发生振动的物体一定会受到回复力的作用，回复力的方向始终跟位移方向相反时，物体才能不断地振动；至于是不是简谐运动，还要看回复力大小是否跟位移大小成正比。
2.简谐运动的对称性和周期性
①瞬时量的对称性：做简谐运动的物体，在关于平衡位置对称的两点，回复力、位移、加速度具有等大反向的关系。另外速度的大小具有对称性，方向可能相同或相反。 ②过程量的对称性：振动质点来回通过相同的两点间的时间相等，如点经过关于平衡位置对称的等长的两线段时时间相等，如
。
；质
③由于简谐运动有周期性，因此涉及简谐运动时，往往出现多解，分析时应特别注意：物体在某一位置时，位移是确定的，而速度不确定；时间也存在周期性关系。
3.简谐运动中路程和时间的关系
振动质点在△t时间经过的路程与△t和质点的初始状态有关，计算比较复杂。 若质点运动时间△t是周期T的整数倍，即满足△t=nT（n＝1、2??），则那么振动质点在△t时间内通过的路程S＝n×4A；
如果时间△t是的整数倍，即△t=n（n＝1、2??），那么振动质点在△t时间内
通过的路程为S＝n×2A；
如果为△t为T/4，分三种情形：
①计时起点对应质点在三个特殊位置（两个最大位移处，一个平衡位置），则S＝A； ②计时起点对应质点在最大位移和平衡位置之间，向平衡位置运动，则S＞A； ③计时起点对应质点在最大位移处和平衡位置之间，向最大位移处运动，则S＜A。
4.简谐运动图象反映了振动物体相对于平衡位置的位移随时间的变化规律。
要掌握好这一规律，需要把图象和振动物体实际的运动联系起来，要能够对物理图景有充分的想象能力。
典型例题透析
类型一一——简谐运动的判定
1、如图所示，光滑水平面上放有一质量为m的物体，弹簧的劲度系数分别为kl、
k2，弹簧现在均处于原长，试证明物体开始振动之后的运动为简谐运动。
思路点拨：要想证明是简谐运动，就需证明物体在摆动时受有F=－kx的回复力作用。 解析：
(1)确定振子的平衡位置
对此题而言，弹簧处于原长位置即为物体的平衡位置
(2)设想振子离开平衡位置一下段位移，确定振子所受回复力F回与振子位移x之间的关系
设其向左移动距离x，则∑F＝F回＝-F1+(-F2)＝-(k1+k2)x 其中负号表示回复力方向与位移方向相反 (3)下结论，物体的运动为简谐运动
物体所受回复力大小与其位移成正比，方向与位移方向相反，所以是简谐运动。 总结升华：对简谐运动的判定，首先要正确分析出回复力的来源，再根据简谐运动中回复力的特点进行判定。 举一反三
【变式】轻质弹簧上端固定在天花板上，下端悬挂物体m，弹簧的劲度系数为k，现将物体从平衡位置向下拉开一段距离后释放，试证明物体的运动是简谐运动。
解析：如图所示，设振子的平衡位置为O，向下方向为正方向，此时弹簧的形变为 ，
根据胡克定律及平衡条件有
①
当振子向下偏离平衡位置为时，回复力（即合外力）为
②
将①代入②得：
，
loading