简谐运动及其图象

经最右端A返回M经历时间为0.1 s；如图1所示；另有一种可能就是M点在O点左方，如图2所示，质点由O点经最右方A点后向左经过O点到达M点历时0.13 s，再由M向左经最左端A＇点返回M历时0.1 s。

根据以上分析，质点振动周期共存在两种可能性： 如图1所示，可以看出O→M→A历时0.18 s，根据简谐运动的对称性，可得到T1＝4×0.18 s=0.72s；

另一种可能如图2所示，由O→A→M历时t1＝0.13s，由M→A＇历时t2＝0.05s，设M→O历时t，

则4（t＋t2）＝t1＋2t2＋t，解得t＝0.01s，则T2＝4（t+ t2）＝0.24s 所以周期的可能值为0.72s和0.24s。 总结升华：注意简谐运动的周期性和对称性。振动质点来回通过相同的两点间的时间相等，质点经过关于平衡位置对称的等长的两线段时时间相等。

举一反三

【变式】质点在O点附近做简谐运动，从质点经过O点时开始计时，质点第一次经过O附近的M点需时3s，又经过2s再一次经过M点，求质点第三次经过M点还需经过多长时间? 解析：设图中A、B两点为质点振动过程中的最大位移处，物体在O点时，速度方向可能向左也可能向右。

若开始计时时刻质点从O点向右运动，O→M运动过程历时3s，M→A→M过程历时2s，

显然=4s，T=16s。质点第三次经过M点所需的时间Δt＝T-2s＝16s-2s＝14s。

若开始计时时刻质点从O点向左运动，O→B→O→M过程历时3s，M→A→M运动过程历时2s，M→A为1s，

显然O→B→O→A的过程（程，

）可以分为O→B→O→M（3s）和M→A（1s）两个过

则＝3s＋1s，所以T＝s。

质点第三次经过M点所需要的时间Δt＇＝T-2s=s-2s=s。

即若开始计时时刻质点从O点向右运动时，Δt＝14s，若开始计时时刻质点从O点向左运动时，

Δt＇＝s

5、一弹簧振子做简谐运动，周期为

，（ ）

一定等于

的

A．若时刻和整数倍

时刻振子的运动位移的大小相等、方向相同，则

B．若时刻和整数倍 C．若

时刻振子的运动速度的大小相等、方向相反，则一定等于的

，则在时刻和时刻振子运动的加速度一定相等

D．若，则在时刻和时刻弹簧的长度一定相等

思路点拨：弹簧振子的运动具有周期性和对称性，因而很容易想到振子在振动过程中一些物理量的大小相等，方向相同，是周期性出现的；而经过半个周期后一些物理量则是大小相等，方向相反。但是上面想法的逆命题是否成立呢？即振子在振动过程中一些物理量前后两次大小相等，方向相同，一定是经过了一个周期的时间；一些物理量前后两次大小相等，方向相反，一定是经过了半个周期的时间。如果我们选择开始计时的位置不是振子的平衡位置或左、右最大位移处，则结果就显而易见了。 解析：

解法一（示意图法）：如下图为一个弹簧振子的示意图，O为平衡位置，B、C为两侧最大位移处， D是CO间任意位置。

对于A选项，当振子由D运动到B再回到D，振子两次在D处位移大小、方向都相同，所经历的时间显然不为T，A选项错；

对于B选项，当振子由D运动到B再回到D ，振子两次在D处速度大小相等、方向相反，但经过的时间不是T/2，可见选项B错； 由于振子的运动具有周期性，显然时刻和

时刻振子运动的加速度一定相等，

选项C正确；

对于选项D ，振子由B经过O运动到C时，经过的时间为T/2，但在B、C两处弹簧长度不等，选项D错。

解法二（图象法）：本题也可利用弹簧振子做简谐运动的图象来解。 弹簧振子做简谐运动图象如图所示：

图线上A点与B、E、F、I等点所对应的时刻振子位移大小相等，方向相同，由横轴看可知，A点与E、I等点对应的时刻差为T或T的整数倍，而A点与B、F等点对应的时刻差不是T或T的整数倍，因此A选项不正确；

A点与C、D、G、H等点所对应时刻振子位移大小相等、方向相反，由横轴看可知，A点与C、G等点所对应时刻差为T/2或T/2的奇数倍，A点与D、H等点所对应时刻差不是T/2或T/2的奇数倍，选项B不正确。 如果t时刻与

时刻差为一个周期，则这两个时刻振动情况完全相同，加速度一

定相等，选项C是正确的。 如果 t时刻与

振动的位移大小相等，方向相反，振子分别位于平衡位置两侧，

弹簧的长度显然不相等，选项D是错误的。 答案：C 总结升华：在简谐运动问题中，比较两时刻的振动情况或根据两时刻的振动情况确定两时刻间的时间间隔跟周期的关系时，可先画出振动图线，利用图线的物理意义及其对称性分析，求解过程简捷、直观。

举一反三

【变式】水平放置的弹簧振子做简谐运动，周期为T，t1时刻振子不在平衡位置，且速度不为零；t2时刻振子速度与t1时刻的速度大小相等、方向相同；t3时刻振子的速度与t1时刻的速度大小相等、方向相反。若t2－t1=t3－t2， 则：（ ） A．t1时刻、t2时刻与t3时刻弹性势能都相等 B．t1时刻与t3时刻，弹簧的长度相等

C．t3－t1=(2n+)T n=0，1，2， ??

D．t3－t1=(n+)T n=0，1，2， ??

解析：由题意可画出振动图象如图所示：

t1时刻振子速度向下为v，位移为x=+x1，弹簧为伸长状态；t2时刻振子速度向下，位移

为x=-x1，t3时刻振子经向最大位移又向上运动，位移x=-x1，t2、t3时刻弹簧均处于压缩状态。

因弹簧振子在t1、t2、t3时刻弹簧的压缩量或伸长量x都相同，由弹性势能EP=kx，

2

故在这三个时刻弹性势能都相等。选项A是正确的，但 t1 、t3时刻弹簧分别处于伸长和压缩状态，弹簧长度显然不同，选项B是错误的。

从图象上可知，t2－t1=t3－t2=T，则有t3－t1=(2×0＋)T

考虑到振子每经一个周期又回到原位置，则t2－t1=t3－t2=(n+)T

则有t3－t1=(2n+)T n=0，1，2， ??

故选项C是正确的，选项D是错误的。 答案：AC

6、如图所示，弹簧下面挂一质量为m的物体，物体向上做振幅为A的简谐运动，当物体振动到最高点时，弹簧正好为原长。则物体在振动过程中（ ） A.物体在最低点时的弹力大小应为2mg

B.弹簧的弹性势能和物体的动能总和保持不变 C.弹簧的最大弹性势能等于2mgA D.物体的最大动能应等于mgA

解析：由弹簧振子做简谐运动的对称性，在最高点时，物体所受合力为mg，方向向下，所以在最低点物体所受合力也为mg，方向向上，所以此时弹力大小为2mg，A项正确； 振动过程中物体的机械能与弹簧的弹性势能之和守恒，所以B项错；

当小球的机械能最小时（物体在最低点），弹簧的弹性势能最大，物体由最高点运动到最低点过程中，重力势能减少2mgA，动能不变，所以此位置的弹性势能为2mgA，C项正确； 当物体在平衡位置时，动能最大，但由最高点运动到平衡位置过程中，重力势能减少了mgA，一部分转化为动能，一部分转化为弹性势能，所以物体的最大动能一定不是mgA，D项错。

答案： AC

总结升华：利用简谐运动的对称性，可以解决物体的受力问题，如放在竖直弹簧上做简谐运动的物体，若已知物体在最高点的合力或加速度，可求物体在最低点的合力或加速度。但要注意最高点和最低点合力或加速度的方向相反。

举一反三 【变式】如图所示，质量为m的木块放在弹簧上，与弹簧一起在竖直方向上做简谐运动。当振幅为A时，物体对弹簧的最大压力是物体重力的1.5倍，则物体对弹簧的最小弹力是多大？要使物体在振动中不离开弹簧，振幅不能超过多大？