第15讲 重叠问题

小学数学竞赛专题讲座

第15讲 重叠问题

【探究必备】

有两张纸条，每张长8厘米。现在要将这两张纸条粘贴成一张较长的纸条，接头处长1厘米（如图）。粘贴后，较长的纸条长多少厘米？

？厘米 1厘米 8厘米 8厘米

在重叠问题中，两个计数部分有重复。为了不重复计数，应当从它们的和中减去重复的部分。为了准确分析重叠问题，一般采用画图的方法。借助图形。明确重叠部分或所求部分，从而解决问题。

我们用两个圆分别表示数量A和数量B，用C表示A和B的重叠部分（如图），求A和B合在一起的数量，用A+B-C。

C A

B

A

B

所以粘贴后，较长的纸条长应为：8+8-1=15（厘米）。 【王牌例题】

例1、某校三年级（2）班学生都在练习书法，有30人学习硬笔书法，有25人学习软笔书法，其中有10人两种书法都学习。这个班一共有多少人？ 分析与解答：这是一道典型的重叠问题，根据题意画出线段图：

20人 硬笔书法30人

？人

10人

15人

软笔书法25人

从图上可以看出，这个班的人数就是参加书法学习的人数。学习两种书法的人数中，有10人是重复的，所以这个班的人数是30+25-10=45（人），这道题也可以

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这样想：这个班的人数是由只参加硬笔书法人数、两种书法都参加人数和只参加软笔书法人数三部分组成，从图上可以看出只参加硬笔书法人数有30-10=20（人），两种书法都参加的人数有10人，只参加软笔书法人数有25-10=15（人），所以这个班共有20+10+15=45（人）。

例2、某校三年级（4）班共有58人，在班级冬季长跑和跳绳两项比赛中，每人至少参加了其中的一项比赛。已知参加长跑的有33人，参加跳绳的有40人。两项比赛都参加的有多少人？

分析与解答：由于每人至少参加了其中的一项比赛，因此这个班的人数应该就是参加这两项比赛人数的和，参加这两项比赛的共有33+40=73（人），而该班只有58人，说明其中有一部分人两项都比赛参加了，故两项比赛都参加的有73-58=15（人）。

例3、某校三年级（1）班有48人，在期末考试中语文得优秀的26人，数学的优秀的有30人。语文、数学都得优秀的有10人。两门功课都没有得优秀的有多少人？

分析与解答：由于语文得优秀的26人，数学的优秀的有30人，语文、数学都得优秀的有10人，根据重叠问题的解法，这个班共有26+30-10=46（人），而该班有48人，说明其中有一部分人两门功课都没有得优秀，所以两门功课都没有得优秀的有48-46=2（人）。

例4、把两根一样长的竹竿绑在一起后长130厘米，中间重叠部分长10厘米。原来每根竹竿长多少厘米？ 分析与解答：根据题意画出线段图：

第一根竹竿

第二根竹竿

130厘米 10厘米 由于重叠部分的竹竿长10厘米，我们可以把其中一根竹竿的重叠部分拉开，那么这两根竹竿共长130+10=140（厘米），由于两个竹竿一样长，所以原来每根竹竿长140÷2=70（厘米）。

例5、某幼儿园小班与中班共有63人，中班与大班共68人，小班与大班共75

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人。这个幼儿园小班、中班、大班各有多少人？

分析与解答：解决这道题的关键是求出这个幼儿园小班、中班、大班共有多少人，由于小班与中班共有63人，中班与大班共68人，小班与大班共75人，所以63+68+75=206（人）中每个班都重复加了一次，那么这个幼儿园小班、中班、大班共有206÷2=103（人），因此小班有103-68=35（人），中班有103-75=28（人），大班有103-63=40（人）。 【同步练习】

1. 同学们排成一队去看电影，从前往后数，小明是第8个；从后往前数，小明是第5个。这一队有多少人？

2. 上学期，某校三（1）班有36人订《小学生数学报》，有28人订《小学生之友报》，两份报纸都订的有14人，全班每人至少订了其中的一份报纸。三（1）班有学生多少人？

3. 要把长27厘米和63厘米的两根铁丝焊接成一根较长的铁条。已知焊接部分长5厘米，焊接后的铁条长多少厘米？

4. 三（1）班有48人。一次数学课上，陈老师出了两道思考题，练习后统计发现，做对第一题的有38人，做对第二题的有28人，每人至少做对一题。两道都做对的有多少人？

5. 有两根铁棒，一根长50厘米，一根长90厘米。把它们焊接在一起后，成为一根长120厘米的铁棒，重叠部分长多少厘米？

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6. 少年宫乐队兴趣小组有38人，其中会弹钢琴的有25人，会弹古筝的有21人，有2人是刚参加学习的，两项都不会。既会弹钢琴又会弹古筝的有多少人？

7. 星期一，电视台在三（2）班56名学生中调查昨天看1频道和8频道的情况，有30人看过1频道，有21人看过8频道，5人两个频道都看过。问：两个频道都没看过的有多少人？

8. 9月1日，学校调查在暑假中学生上兴趣班的情况。三（8）班共50人，参加美术班的有32人，参加音乐班的有28人，两个班都参加的有11人。两个班都没有参加的有多少人？

9. 某校三（6）班共49人，在学校举行数学竞赛和作文竞赛中，有29人参加了数学竞赛，有21人参加了作文竞赛，其中用10人两项竞赛都参加了。有多少人两项竞赛都没参加？

10. 两张纸条粘合在一起后长80厘米，重叠部分长10厘米。已知其中一张纸条原来长30厘米，另一张纸条原来长多少厘米？

11. 三（5）班有44人参加了暑期书法与绘画两个兴趣班的学习，其中参加书法班的有30人，既参加书法班又参加绘画班的有14人。参加绘画班的有多少人？

12. 某校为40名留学生开设了汉语与法语学习班，他们都积极参加了学校。学校汉语的有30人，两种语言都学习的有10人。学习法语的有多少人？