福建省泉州市2012届高三3月质量检查试题数学理2012泉州质检

福建省泉州市2012届高三3月质量检查试题数学理(2012泉州质

检)

（Ⅰ）试用?表示BC的坐标（要求将结果化简为形如(cos?,sin?)的形式）； （Ⅱ）定义：对于直角坐标平面内的任意两点P?x1,y1?、Q?x2,y2?，称

x1?x2?y1?y2为P、Q两点间的“taxi距离” ，并用符号PQ表示.试求BC的最

大值.

18.（本小题满分13分）

已知A1,A2,A3,获得通过的概率均为

,A10等10所高校举行的自主招生考试，某同学参加每所高校的考试

1. 2（Ⅰ）如果该同学10所高校的考试都参加，试求恰有2所通过的概率；

（Ⅱ）假设该同学参加每所高校考试所需的费用均为a元，该同学决定按

A1,A2,A3,,A10顺序参加考试，一旦通过某所高校的考试，就不再参加其它高校的考试，

试求该同学参加考试所需费用?的分布列及数学期望.

19. （本小题满分13分）

如图，侧棱垂直底面的三棱柱ABC?A1B1C1中，AB?AC，AA1?AB?AC?3，

AB?AC?t(t?0)，P是侧棱AA1上的动点.

B1C1A1PBCA

（Ⅰ）当AA1?AB?AC时，求证：A1C?平面ABC1； （Ⅱ）试求三棱锥P?BCC1的体积V取得最大值时的t值； （Ⅲ）若二面角A?BC1?C的平面角的余弦值为20.（本小题满分14分）

已知f0?x??x?e，f1?x??f0??x?，f2?x??f1??x?，…，fn?x??fn??1?x?（n?N）.

x?10，试求实数t的值. 10(Ⅰ)请写出fn?x?的表达式（不需证明）；

5 / 17

福建省泉州市2012届高三3月质量检查试题数学理(2012泉州质

检)

(Ⅱ)设fn?x?的极小值点为Pn?xn,yn?，求yn；

(Ⅲ)设gn?x???x2?2?n?1?x?8n?8， gn?x?的最大值为a，fn?x?的最小值为

b，试求a?b的最小值.

21. 本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做，则按所做的前两题记分.作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中. （1）（本小题满分7分）选修4—2:矩阵与变换

?12??710?若二阶矩阵M满足M?????.

3446????（Ⅰ）求二阶矩阵M；

（Ⅱ）把矩阵M所对应的变换作用在曲线3x?8xy?6y?1上，求所得曲线的方程. （2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为?22?x?2tcos?（t为非零常数，?为

?y?2sin?参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为?sin(???4)?22. （Ⅰ）求曲线C的普通方程并说明曲线的形状；

（Ⅱ）是否存在实数t，使得直线l与曲线C有两个不同的公共点A、且OA?OB?10B，（其中O为坐标原点）？若存在，请求出；否则，请说明理由.

（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲

已知函数f(x)?x?2?x?4的最小值为m，实数a,b,c,n,p,q满足

a2?b2?c2?n2?p2?q2?m.

（Ⅰ）求m的值；

n4p4q4（Ⅱ）求证：2?2?2?2．

abc

2012届泉州市普通中学高中毕业班质量检查

理科数学试题参考解答及评分标准

说明：

6 / 17

福建省泉州市2012届高三3月质量检查试题数学理(2012泉州质

检)

一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如

果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．

二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的

内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分． 1． A 2．B 3．C 4．A 5．C

6． D 7．C 8．D 9．B 10．C

二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分20分.

11．33 12．1 13. 33 14．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 本小题考查抛物线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等．满分13分． 解：（Ⅰ）因点P到点F的距离等于它到直线l的距离，所以点P的轨迹C是以F为焦点、直线x??1为准线的抛物线， ………………2分 其方程为y?4x. ………………5分

（Ⅱ）解法一：假设存在满足题设的直线m.设直线m与轨迹C交于A(x1,y1),B(x2,y2)，

25 15．90000 4?x1?x2?8依题意，得?. ………………6分

y?y?4?12①当直线m的斜率不存在时，不合题意. ………………7分

②当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为y?2?k(x?4)，………8分

?y?2?k(x?4)联立方程组?2，

?y?4x7 / 17

福建省泉州市2012届高三3月质量检查试题数学理(2012泉州质

检)

消去y，得kx?(8k?4k?4)x?(2?4k)?0，（*） ………………9分

22228k2?4k?4?8，解得k?1. ………………10分 ∴x1?x2?2k此时，方程（*）为x?8x?4?0，其判别式大于零， ………………11分 ∴存在满足题设的直线m ………………12分 且直线m的方程为：y?2?x?4即x?y?2?0. ………………13分

解法二：假设存在满足题设的直线m.设直线m与轨迹C交于A(x1,y1),B(x2,y2)，

依题意，得?2?x1?x2?8. ………………6分

?y1?y2?4易判断直线m不可能垂直y轴， ………………7分 ∴设直线m的方程为x?4?a(y?2)，………8分

联立方程组??x?4?a(y?2)?y?4x22，

消去x，得y?4ay?8a?16?0， ………………9分

∵??16(a?1)?48?0,

∴直线与轨迹C必相交. ………………10分 又y1?y2?4a?4，∴a?1. ………………11分 ∴存在满足题设的直线m ………………12分

且直线m的方程为：y?2?x?4即x?y?2?0. ………………13分

解法三：假设存在满足题设的直线m.设直线m与轨迹C交于A(x1,y1),B(x2,y2)，

依题意，得?2?x1?x2?8. ………………6分

y?y?4?12∵A(x1,y1),B(x2,y2)在轨迹C上，

2?1?y1?4x1（）22∴有?2，将(1)?(2)，得y1?y2?4(x1?x2). ………8分

??y2?4x2（2）当x1?x2时，弦AB的中点不是N，不合题意， ………9分

8 / 17