一、
由于湖面足够宽阔而物块体积很小，所以湖面的绝对高度在物块运动过程中始终保持不变，因此，可选湖面为坐标原点并以竖直向下方向为正方向建立坐标系，以下简称x系. 设物块下底面的坐标为x，在物块未完全浸没入湖水时，其所受到的浮力为
fb?b2x?g (x?b) (1)
式中g为重力加速度.物块的重力为
fg?b3??g (2) 设物块的加速度为a，根据牛顿第二定律有
b3??a?fg?fb (3) 将(1)和(2)式代入(3)式得
a???g????x?b? (4) ??b????将x系坐标原点向下移动??b/? 而建立新坐标系，简称X系. 新旧坐标的关系为
X?x?把(5)式代入(4)式得
a????b (5) ??gX (6) ??b(6)式表示物块的运动是简谐振动. 若X?0，则a?0，对应于物块的平衡位置. 由(5)式可知，当物块处于平衡位置时，物块下底面在x系中的坐标为
?? x0?b (7)
?物块运动方程在X系中可写为
1
X(t)?Acos??t??? (8) 利用参考圆可将其振动速度表示为
V(t)??A?sin??t??? (9) 式中?为振动的圆频率
???g (10) ?'b在(8)和(9)式中A和?分别是振幅和初相位，由初始条件决定. 在物块刚被释放时，即t?0时刻有x=0，由(5)式得
??X(0)??b (11)
?V(0)?0 (12)
由(8)至(12)式可求得
A???b (13) ???? (14)
将(10)、(13)和(14)式分别代人(8)和(9)式得
?? X(t)?bcos??t??? (15)
?V(t)????gbsin??t??? (16) ?由(15)式可知，物块再次返回到初始位置时恰好完成一个振动周期；但物块的运动始终由(15)表示是有条件的，那就是在运动过程中物块始终没有完全浸没在湖水中. 若物块从某时刻起全部浸没在湖水中，则湖水作用于物块的浮力变成恒力，物块此后的运动将不再是简谐振动，物块再次返回到初始位置所需的时间也就不再全由振动的周期决定. 为此，必须研究物块可能完全浸没在湖水中的情况. 显然，在x系中看，物块下底面坐标为b时，物块刚好被完全浸没；由(5)式知在X系中这一临界坐标值为
???? X?Xb??1??b （17）
???即物块刚好完全浸没在湖水中时，其下底面在平衡位置以下Xb处. 注意到在
振动过程中，物块下底面离平衡位置的最大距离等于振动的振蝠A，下面分两种情况讨论：
I．A?Xb. 由(13)和(17)两式得
??2?? (18)
在这种情况下，物块在运动过程中至多刚好全部浸没在湖水中. 因而，物块从初始位置起，经一个振动周期，再次返回至初始位置. 由(10)式得振动周期 T?物块从初始位置出发往返一次所需的时间
2
2???2???b (19)?g
tI?T?2???b (20) ?g II．A?Xb. 由(13)和(17)两式得
??2?? (21) 在这种情况下，物块在运动过程中会从某时刻起全部浸没在湖水表面之下. 设从初始位置起，经过时间t1物块刚好全部浸入湖水中，这时X?t1??Xb. 由(15)和(17)式得
取合理值，有
t1???????b????arccos??1?? (23) ?g??????????cos??t1????1? (22) ??由上式和(16)式可求得这时物块的速度为
????? V(t1)??gb1-??1?
?????2 (24)
此后，物块在液体内作匀减速运动，以a?表示加速度的大小，由牛顿定律有 ???? a??g (25)
??设物块从刚好完全浸入湖水到速度为零时所用的时间为t2，有
V?t1??a?t2?0 (26) 由(24)-(26)得
?????b??t2?1???1? (27)
(????)g?????2物块从初始位置出发往返一次所需的时间为
???????b???2??b??tII?2(t1?t2)?2??arccos?11???1? (28) ??????g??????(????)g?????2
评分标准：
本题17分.（6）式2分，（10）（15）（16）（17）（18）式各1分，（20）式3分，（21）式1分，（23）式3分，（27）式2分，（28）式1分.
3
二、 1.
i.通过计算卫星在脱离点的动能和万有引力势能可知，卫星的机械能为负值. 由开普勒第一定律可推知，此卫星的运动轨道为椭圆（或圆），地心为椭圆的一个焦点(或圆的圆心)，如图所示.由于卫星在脱离点的速度垂直于地心和脱离点的连线，因此脱离点必为卫星椭圆轨道的远地点（或 近地点）；设近地点（或远地点）
R 离地心的距离为r，卫星在此点的0.80R 速度为v.由开普勒第二定律可知
a rv=?0.80R?? (1)
2式中?(?2?/Te)为地球自转的角速度.令m表示卫星的质量，根据机械能守恒定律有
b 12GMm1GMm2 （2） mv??m?0.80R??2?2r20.80R由（1）和（2）式解得
r?0.28R (3)可见该点为近地点,而脱离处为远地点. 【（3）式结果亦可由关系式：
4
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