正态分布均值和方差的 区间估计
我们知道，正态随机变量是最为常见的，特别是很多产品的指标服从或近似服从正态分布。因此,我们主要研究正态总体参数的区间估计。先研究均值的区间估计，然后再研究方差的区间估计。这些在实际应用中是很重要的.
一：均值EX的区间估计 下面分两种情况进行讨论。
1． 方差DX已知，对EX进行区间估计
设总体X~(?,?)，其中?已知。又x,x,?,x为来自于总体的样本。 由第七章第三节中的结论可知
1?x?(x???x)~N(?,)
2第四节
212n?2n1nnx??~N(0,1) 于是 U??/n?由标准正态分布可知，对于给定的?，可以找到一个数z，使
1??2
1
P{U?z}??(z)?1?,
1???21??22 P{|U|?z}?1??,
1??2??x??P??z?/n???1??2????1??, ???1?即 P??x?z????1??2n???x?z?2????1??,
n?也就是说，?落在区间
????1??内的概率为。 x?z,x?z????1??2n1??2n?区间
?x?z????1??2n,x?z?1??2??? , (8.11)
n?1?即为?的置信区间。称z为在置信度
?21??下的临界值，或称为标准正态分布
的双侧分位点。
当?＝0.05时，查标准正态分布表得临界值z?z＝1.96，此时?的置
1??0.9752信区间是
2
????x?1.96,x?1.96? ?nn????当?＝0.01时，查标准正态分布表得临界值z?z＝2.58，此时?的置信
1??0.9952区间是
????x?2.58,x?2.58? ?nn????从上可知，?越大，则1??越小,置
信区间越小，(精度高,难于办到),?落在区间内的把握也就越小。因此，在实际应用中，要适当选取?。
例1：已知某种滚珠的直径服从正态分布，且方差为0.06，现从某日生产的一批滚珠中随机地抽取6只，测得直径的数据（单位mm）为
14.6 15.1 14.9 14.8 15.2 15.1
试求该批滚珠平均直径的95％置信区间。
解 当?＝0.05时，1???0.95,
查表得z?z＝1.96 ,
1??0.9752
3
1x?(14.6?15.1?14.9?14.8?15.2?15.1)?14.95, 6? ??0.06,??0.06, n?6 于是
?0.06x?1.96＝14.95－1.96?14.75
2?n60.06x?1.96?14.95+1.96?15.15
n6??故所求置信区间为?14.75,15.15?。
对于不是服从正态分布的总体，只要n足够大，则由中心极限定理，随
X?EX机变量Y?近似地服从标准正态
DXn分布，因此仍然可以用
??x?z??1??2DX,x?zn?1??2DX? ?n?作为EX的置信区间，但此时仍然又多
了一次误差。
2． 方差DX未知，对EX进行区间估计
上面的讨论是在DX已知的情况下进行的，但实际应用中往往是DX未知
4
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