正弦定理与解三角形[要点导学]

要点导学 各个击破

正弦定理的直接应用 在△ABC中,已知a=3,b=2(1) 求cosA的值; (2) 求c的值.

[思维引导](1) 结合已知条件,利用正弦定理构造关系式,解决问题的关键在于条件“B=2A”的运用;(2) 求出sinA,sinC,结合正弦定理即可求得c.

[解答](1) 因为a=3,b=26,B=2A.

6,B=2A,

263所以在△ABC中,由正弦定理得sinA=sin2A,

2sinAcosA26所以sinA=3,故cosA=

63.

632(2) 由(1)知cosA=3,所以sinA=1-cosA=3.

1又因为B=2A,所以cosB=cos2A=2cos2A-1=3,

22所以sinB=1-cosB=3.

253在△ABC中,sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosA·sinB=9.

asinC由正弦定理得c=sinA=5.

[精要点评]解三角形时,正弦定理是一个重要的工具.在结合正弦定理解三角形时,要注意:其一,什么条件下用;其二,怎么用;其三,如何灵活恰当地运用.特别是在边角关系转化时对定理的熟练应用.

(2014·广东卷)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若

abcosC+ccosB=2b,则b= .

[答案]2

[解析]由正弦定理及bcosC+ccosB=2b,得sinBcosC+sinC·cosB=2sinB,即sin(B+C)=2sinB.因为sin(B+C)=sinA,所以sinA=2sinB,利用正弦定理得a=2b,故

ab=2.

利用正弦定理判断三角形的形状

在△ABC中,已知(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin C,试判断△ABC的形状. [思维引导]从条件我们容易发现角C可以写成π-(A+B),另外注意到两边都是关于边的二次齐次式,因此可以利用正弦定理将边化为角处理.

[解答]由已知(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sinC, 得b2[sin(A-B)+sin(A+B)]=a2[sin(A+B)-sin(A-B)], 即b2sinAcosB=a2cosAsinB, 即sin2BsinAcosB=sin2AcosAsinB, 所以sin2B=sin2A. 由于A,B是三角形的内角, 故0<2A<2π,0<2B<2π, 所以2A=2B或2A=π-2B,

?即A=B或A+B=2.

故△ABC为等腰三角形或直角三角形.

[精要点评]正弦定理的一个重要作用就是将边化为角处理,借助三角恒等变换得到问题的解.

若acosA=bcosB,试判断△ABC的形状. [解答]因为acosA=bcosB, 所以sinAcosA=sinBcosB, 所以sin2A=sin2B.

又因为A,B∈(0,π),所以2A,2B∈(0,2π), 所以2A=2B或2A+2B=π,

?所以A=B或A+B=2,

所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.

正弦定理及面积公式的综合应用

(2014·重庆卷改编)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足a+b+c=8,sinAcos

B22+sinB·cos

A229=2sinC,且△ABC的面积S=2sinC,求a和b的值.

B222

[思维引导]利用降幂公式化简sinAcos+sinBcos

A2=2sinC,再利用正弦定理

将角的关系转化为边的关系,最后结合三角形面积公式,即可通过解方程组得出a和b的值.

[解答]由sinAcos

B22A22+sinBcos=2sinC,

1?cosB1?cosA22得sinA·+sinB·=2sinC,

化简得sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC. 因为sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)=sinC, 所以sinA+sinB=3sinC,由正弦定理可知a+b=3c. 又a+b+c=8,所以a+b=6. ①

19由于S=2absinC=2sinC,所以ab=9, ②

结合①②解得a=b=3.

[精要点评](1) 解决此类问题,要根据已知条件,灵活运用正弦定理或余弦定理及其推论,求边角或将边角互化,同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用.(2) 注意降幂公式和升幂公式在化简过程中的灵活运用.

(2014·德州模拟)已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,向量m=(sinA,1),n=(cosA,3),且m∥n.

,求△ABC的面积.

(1) 求角A的大小; (2) 若a=2,b=22[思维引导](1)由m∥n,得

?33sinA=cosA,即tanA=3.又A∈(0,π),得到

bsinAA=6.(2)首先由正弦定理可得sinB=2=3?或4.从而进一步确定△ABC的面积.

2?2,通过讨论a

3即tanA=3.

?因为A∈(0,π),所以A=6.

bsinA(2) 由正弦定理可得sinB=a=3?因为a

22,

?2(1?3)4当B=4时,sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=,

?1所以S△ABC=2absinC=1+

3.