习题课2 变轨问题 双星问题
[学习目标] 1.理解赤道物体、同步卫星和近地卫星的区别.2.会分析卫星(或飞船)的变轨问题.3.掌握双星的运动特点及其问题的分析方法.
一、“赤道上物体”“同步卫星”和“近地卫星”的比较
例1 如图1所示，A为地面上的待发射卫星，B为近地圆轨道卫星，C为地球同步卫星.三颗卫星质量相同，三颗卫星的线速度大小分别为vA、vB、vC，角速度大小分别为ωA、ωB、ωC，周期分别为TA、TB、TC，向心加速度分别为aA、aB、aC，则( )
图1
A.ωA＝ωC<ωB C.vA＝vC 解析 同步卫星与地球自转同步，故TA＝TC，ωA＝ωC，由v＝ωr及a＝ωr得 2 B.TA＝TC vC>vA，aC>aA 2 GMmv24π2 同步卫星和近地卫星，根据2＝m＝mωr＝m2r＝ma，知vB>vC，ωB>ωC，TB rrT故可知vB>vC>vA，ωB>ωC＝ωA，TB aB>aC>aA.选项A正确，B、C、D错误. 同步卫星、近地卫星、赤道上物体的比较 1.同步卫星和近地卫星 相同点：都是万有引力提供向心力 2 GMmv24π2 即都满足2＝m＝mωr＝m2r＝man. rrT由上式比较各运动量的大小关系，即r越大，v、ω、an越小，T越大. 2.同步卫星和赤道上物体 相同点：周期和角速度相同 1 不同点：向心力来源不同 对于同步卫星，有 GMm2 2＝man＝mωr rGMm2 2＝mg＋mωr， r2 对于赤道上物体，有 因此要通过v＝ωr，an＝ωr比较两者的线速度和向心加速度的大小. 针对训练1 (多选)关于近地卫星、同步卫星、赤道上的物体，以下说法正确的是( ) A.都是万有引力等于向心力 B.赤道上的物体和同步卫星的周期、线速度、角速度都相等 C.赤道上的物体和近地卫星的线速度、周期不同 D.同步卫星的周期大于近地卫星的周期 答案 CD 解析 赤道上的物体是由万有引力的一个分力提供向心力，A项错误；赤道上的物体和同步卫星有相同周期和角速度，但线速度不同，B项错误；同步卫星和近地卫星有相同的中心天 GMmv24π2 体，根据2＝m＝m2r得v＝ rrTGM，T＝2π rr3，由于r同>r近，故v同 卫星变轨时，先是线速度v发生变化导致需要的向心力发生变化，进而使轨道半径r发生变化. v2 (1)当卫星减速时，卫星所需的向心力F向＝m减小，万有引力大于所需的向心力，卫星将做 r近心运动，向低轨道变迁. v2 (2)当卫星加速时，卫星所需的向心力F向＝m增大，万有引力不足以提供卫星所需的向心力， r卫星将做离心运动，向高轨道变迁. 以上两点是比较椭圆和圆轨道切点速度的依据. 2.飞船对接问题 (1)低轨道飞船与高轨道空间站对接如图2甲所示，低轨道飞船通过合理地加速，沿椭圆轨道(做离心运动)追上高轨道空间站与其完成对接. 2 图2 (2)同一轨道飞船与空间站对接 如图乙所示，后面的飞船先减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控制，使飞船追上空间站时恰好具有相同的速度. 例2 如图3所示为卫星发射过程的示意图，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再一次点火，将卫星送入同步圆轨道3.轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是( ) 图3 A.卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率 B.卫星在轨道3上的周期大于在轨道2上的周期 C.卫星在轨道1上经过Q点时的速率大于它在轨道2上经过Q点时的速率 D.卫星在轨道2上经过P点时的加速度小于它在轨道3上经过P点时的加速度 答案 B 解析 卫星在圆轨道上做匀速圆周运动时有： Mmv2 G2＝m，v＝ rrGM r因为r1＜r3，所以v1＞v3，A项错误， 由开普勒第三定律知T3>T2，B项正确； 在Q点从轨道1到轨道2需要做离心运动，故需要加速. 所以在Q点v2Q>v1Q，C项错误. 在同一点P，由 GMm＝man知，卫星在轨道2上经过P点的加速度等于它在轨道3上经过P点r2 的加速度，D项错误. 判断卫星变轨时速度、加速度变化情况的思路： (1)判断卫星在不同圆轨道的运行速度大小时，可根据“越远越慢”的规律判断. (2)判断卫星在同一椭圆轨道上不同点的速度大小时，可根据开普勒第二定律判断，即离中心天体越远，速度越小. (3)判断卫星由圆轨道进入椭圆轨道或由椭圆轨道进入圆轨道时的速度大小如何变化时，可根据离心运动或近心运动的条件进行分析. (4)判断卫星的加速度大小时，可根据a＝＝G2判断. 3 FmMr
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