2019一2020学年第二学期高三年级5月模拟考试
文科数学
第I卷 选择题（共60分）
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。) 1.设全集A.
，集合
B.
，
C.
，则
D.
2.已知复数A.
，为虚数单位，则
uuuvuuuv3.在?ABC中， AB?2AC?2,?BAC?120?，点D为BC边上一点，且BD?2DC，则uuuvuuuvAB?AD?
A. 3 B. 2 C. 4.运行如图所示的程序框图，输出的x是
B.C.D.
72 D. 33
A. B. C. D.
5.部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形.谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出.具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形，如图.
现在上述图(3)中随机选取一个点，则此点取自阴影部分的概率为 A.
B.
C.
D.
1
6.若函数的最小值为 A.
的图象向左平移个单位长度后关于轴对称，则函数在区间上
B.
的前n项和为
B. 45
，若
C. 1 D.
，则C. 36
的值等于
D. 27
7.设等差数列A. 54 8.函数
f?x??8?x?sinx?x?x?22的部分图像大致是
A. 9.已知函数A.
B.
，若不等式B.
C.
在
C.
和
D.
上恒成立，则实数的取值范围是 D.
10.在正方体确的是
中，点M，N分别是线段上不重合的两个动点，则下列结论正
A.
11.已知函数
B.
与
C. 平面平面，则函数
D. 平面
在区间
D.
平面
上所有零点的和为
A. B. C. 12.已知 于点，则A.
是双曲线的最小值为
B.
上一点，
是左焦点，是右支上一点， 与的内切圆切
C. D.
第II卷 非选择题（共90分）
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.若x，y满足约束条件，则的最小值为______．
14.某学校为了调查学生在学科教辅书方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出的钱数在
?30,40?的同学比支出的钱数在?10,20?的同学多
26人，则n的值为
2
__________．
BC1与AC所成角的余弦值为_____．
15.如图所示，平面BCC1B1⊥平面ABC，?ABC＝120?，四边形BCC1B1为正方形，且AB＝BC＝2，则异面直线
x2y216.设椭圆E:2?2?1?a?b?0?的一个焦点为F?1,0?，点A??1,1?为椭圆E内一点，若椭圆Eab上存在一点P，使得
PA?PF?9，则椭圆E的离心率的取值范围是_____．
?11??12??11?,? C. D. ,????54232???3???A. ?,1? B. ?,?1??2?三、解答题(本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。) 17. （本小题满分12分）
（1）求角
A；
3,sinB?2sinC?1，求?ABC 的面积.
（2）若a?18. （本小题满分12分）
随着“互联网+交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现。某运营公司为了了解某地区用户对其所提供的服务的满意度，随机调查了40个用户，得到用户的满意度评分如下： 用户编号 评分 用户编号 评分 用户编号 评分 用户编号 评分 1 2 3 4 5 6 7 8 78 73 81 92 95 85 79 84 11 12 13 14 15 16 17 18 88 86 95 76 97 78 88 82 21 22 23 24 25 26 27 28 79 83 72 74 91 66 80 83 31 32 33 34 35 36 37 38 93 78 75 81 84 77 81 76 3
9 10
63 86 19 20 76 89 29 30 74 82 39 40 85 89 用系统抽样法从40名用户中抽取容量为10的样本，且在第一分段里随机抽到的评分数据为92. （1）请你列出抽到的10个样本的评分数据； （2）计算所抽到的10个样本的均值和方差； （3）在（2）条件下，若用户的满意度评分在
之间，则满意度等级为“级”。试应用样本估
计总体的思想，根据所抽到的10个样本，估计该地区满意度等级为“级”的用户所占的百分比是多少？ （参考数据：
19. （本小题满分12分）
四棱锥点，
.
中，底面
是边长为的菱形，
，
是等边三角形，为
的中
）
（1）求证：（2）若在线段四面体
； 上，且
，能否在棱
上找到一点，使平面
平面
？若存在，求
的体积.
20. （本小题满分12分）
已知抛物线E:y?2px(p?0)的焦点为F，定点M(2,3)与点F在抛物线E的两侧，抛物线
2E上的动点P到点M的距离与到其准线l的距离之和的最小值为10．
（1）求抛物线E的方程； （2）设直线y?1x?b与圆x2?y2?9和抛物线E交于四个不同点，从左到右依次为A,B,C,D，且2B,D是与抛物线E的交点，若直线BF,DF的倾斜角互补，求|AB|?|CD|的值．
21（本小题满分12分） .已知函数求若
的单调区间；
在区间
上恒成立，求实数a的取值范围．
．
4
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知三点O（1）求经过O，
??， 2,B?0,0?， A????22????2,???． 4?A， B三点的圆C1的极坐标方程；
（2）以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C2的参数方程为
{x??1?acos?, （?是参数），若圆C1与圆C2外切，求实数a的值．
y??1?asin?23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数
f?x??x?5?x?4.
f?x??12的解集；
（1）求不等式
（2）若关于x的不等式
f?x??a?1恒成立，求实数a的取值范围.
5
2019一2020学年第二学期高三年级5月模拟考试
文科数学参考答案
1 B 2 B 3 D 4 A 5 A 6 A 7 A 8 D 9 A 10 A 11 D 12 B 1.B 利用指数函数的性质化简集合，利用由一元二次不等式的解法化简集合，利用补集与交集的定义求解即可. 因为又因为
，故选B.
2.B
先化简复数z求出z，再求由题得所以3.D
.故答案为：B
.
，
，
，
uuuvuuuvuuuv1uuuvuuuv1uuuv1uuuvuuuv1uuuv2uuuv 3.∵AD?CD?AC?CB?AC?AB?AC?AC?AB?AC
33333uuuvuuuv1uuuv22uuuvuuuv422∴AB?AD?AB?AB?AC???。故选D.
333334.A
模拟运行如图所示的程序框图知， 该程序运行后输出的5.A
由归纳推理得：设图（3）中1个小阴影三角形的面积为S，则图（3）中阴影部分的面积为：9S，又图（3）中大三角形的面积为16S，由几何概型中的面积型得解 设图（3）中1个小阴影三角形的面积为S， 则图（3）中阴影部分的面积为：9S， 又图（3）中大三角形的面积为16S， 由几何概型中的面积型可得： 此点取自阴影部分的概率为6.A
利用三角函数图象的变化规律求得：得
，由正弦函数的单调性可得结果.
，利用对称性求得
，由
时，可
，故选：A. ．故选：A．
6
函数
图象所对应解析式为：
的图象向左平移个单位长度后，
，
由可得即当7.A 8.D Q关于轴对称，则， ，所以
，
，，又，
时，所以，，故选A．
f??x??8??x?sinx?x?x?22??f?x?,?f?x?为奇函数，图象关于原点对称，排除A；当x??0,1?时，设
g?x??x?sinx，则g'?x??1?cosx?0，即g?x??x?sinx在区间?0,1?上递增，且
g?0??0,?g?x??0，又x2?x?2??x?2??x?1??0,?在区间?0,1?上f?x??0，排除B；当
x?1时， f?x??0，排除C，故选D.
9.A 先证明化为设所以所以当若不等式即当即10.A
利用排除法，由与重合排除选项；由与与
重合时，排除选项，从而可得结果.
不成立，排除选项； 重合时，平面
平面
不成立，排除选项； 重合且与
重合排除选项；
时，，可得
时，
在恒成立，所以
恒成立，因为恒成立，得函数
在
上递减，即当
时，
恒成立，问题转
恒成立，即可求出a的范围． 则在
，当上递增，得恒成立.
上恒成立，得函数
,所以
，故选：．
在
上递减，
时
，
与重合时，与
重合且与
7
与11.D
重合时，平面平面不成立，排除选项.故选A.
在区间
的图象，根据函数
上所有零点的和，等价于函数
的图象关于
点对称可得结果.
的图象交点横坐标的和，画出函数
在区间
等价于函数画出函数函数12.B
由内切圆得到
与
上所有零点的和，
的图象交点横坐标的和， 的图象， 的图象关于
点对称，则
共有8个零点，其和为16. 故选D.
,利用三角形边的关系及双曲线定义即可求解.
,由双曲线定义
=
,当且仅当
的内切圆切于点，∴
A,B,共线时取等故选：B 13.-1
画出约束条件表示的平面区域，由图形求出最优解，再计算目标函数
的最小值．
画出约束条件表示的平面区域如图所示，
8
由图形知，当目标函数
，所以
故答案为：
．
过点A时取得最小值，由的最小值为
．
，解得，代入计算
14.100 由频率分布直方图可得支出的钱数在
?30,40?的同学有0.038?10n?0.38n个，支出的钱数在
?10,20?的同学有0.012?10n?0.12n个，又支出的钱数在?30,40?的同学比支出的钱数在?10,20?的
同学多26人，所以0.38n?0.12n?0.26n?26?n?100 故答案为100 15. 将过作所以
平移到和，过作
相交的位置，解三角形求得线线角的余弦值.
，画出图像如下图所示，由于四边形
中，
是平行四边形，故
，故
，
是所求线线角或其补角.在三角形
.
16.
1111?e? 因为点A为椭圆内一点，所以2?2?1，设左焦点F1??1,0?，则54abPA?PF?2a?PA?PF1，又?AF1?PA?PF1?AF1，所以?1?PA?PF1?1
112a?1?PA?PF?2a?1，也就是2a?1?9?2a?1即4?a?5，从而?e?.
543?622?17.(1) A? (2) S?
63vv （1）因为m//n ，所以有?2csinBcosA?bsinC，由正弦定理可得1?2sinCsinBcosA?sinBsinC，因B,C??0,?? ，故sinB?0,sinC?0，所以得到cosA??，
2∵A????0,?? 所以A?2?. 33bc??，于是可得2?sinBsinCsin3（2）法1:根据正弦定理 9
bc2?，由余弦定理得sinB?,sinC?.∵sinB?2sinC?1 ， ∴b?2c?2，又因为A?223c?1?3?b2?c2?bc，两式联立得3c2?6c?1?0，解得{63c?1? 或{b??63b?3?612?33?626去）.∴S??bcsin????234336法2：因为A?2632.
263 （负值舍
??2??，所以C??B，代入sinB?2sinC?1得3336???,sinB?sinB?2sin??B??sinB?3cosB?sinB?3cosB?1，所以cosB?.因为33?3?sinB?2sinC?1，所以sinC?3?63bc.根据正弦定理，于是可得??2?sinBsinC6sin33?612?33?626263?6b?2sinB?,c?2sinC?，∴S??bcsin????3323433618. （1）通过系统抽样抽取的样本编号为：4，8，12，16，20，24，28，32，36，40 则样本的评分数据为：92，84，86，78，89，74，83，78，77，89. （2）由（1）中的样本评分数据可得
，
??2
则有
所以均值
，方差
.
即
之间满意度等级为“A级”，
之间有5人，
（3）由题意知评分在
由（1）中容量为10的样本评分在
则该地区满意度等级为“A级”的用户所占的百分比约为
19. （1）连接PF，BD由三线合一可得AD⊥BF，AD⊥PF，故而AD⊥平面PBF，于是AD⊥PB；
（2）先证明PF⊥平面ABCD，再作PF的平行线，根据相似找到G，再利用等积转化求体积．连接PF，BD,
10
∵是等边三角形，F为AD的中点，
∴PF⊥AD，
∵底面ABCD是菱形，
，
∴△ABD是等边三角形，∵F为AD的中点， ∴BF⊥AD，
又PF，BF?平面PBF，PF∩BF＝F， ∴AD⊥平面PBF，∵PB?平面PBF， ∴AD⊥PB．
（2）由（1）得BF⊥AD，又∵PD⊥BF，AD，PD?平面PAD， ∴BF⊥平面PAD，又BF?平面ABCD， ∴平面PAD⊥平面ABCD，
由（1）得PF⊥AD，平面PAD∩平面ABCD＝AD， ∴PF⊥平面ABCD，
连接FC交DE于H,则△HEC与△HDF相似，又∴在△PFC中,过H作GH此时CG=CP, ∴四面体
的体积
平面
，且
，∴CH=CF，
面GED，则面GED⊥平面ABCD，
PF交PC于G，则GH⊥平面ABCD，又GH
．
.
所以存在G满足CG=CP, 使平面
20. （1）过P作PP1?l于P1，则|PM|?|PP1|?|PM|?|PF|?|MF|， 当P,M,F共线时，|PM|?|PP1|取最小值|MF|?(p?2)2?9?10． 2 11
解得p?6或p?2．
当p?6时，抛物线E的方程为y?12x，
此时，点M与点F在抛物线E同侧，这与已知不符． ∴p?2，抛物线E的方程为y?4x．
（2）F(1,0)，设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)，
221??y?x?b22由?，得x?(4b?16)x?4b?0， 22??y?4x所以x2?x4?16?4b，x2x4?4b，且由??0得b?2． 因为直线BF,DF的倾斜角互补，所以kBF?kDF?0， ∵kBF?kDF?2y2yy(x?1)?y4(x2?1)?4?24， x2?1x4?1(x2?1)(x4?1)∴y2(x4?1)?y4(x2?1)?0，即(11x2?b)(x4?1)?(x4?b)(x2?1)?0， 221x2x4?(b?)(x2x4)?2b?0，
2114b2?(b?)(16?4b)?2b?0，b?，
2211??y?x?由?22，得5x2?2x?35?0，
22??x?y?9所以x1?x3??2， 511|AB|?|CD|?1?(x2?x1)?1?(x4?x3)
44?552365(x2?x4?x1?x3)?(14?)?． 2255． ，
由当在
得时，在时
，
和
，单调减区间是
；
，
， 或
时
，
21..
的单调增区间是
12
当时，在的单调增区间是
时
；
或．
和
，
当在
时，在
时
时，
的单调增区间是由
可知在区间即有解得
． 在区间
，单调减区间是．
上只可能有极小值点，
上的最大值在区间的端点处取到，
且
，
即实数a的取值范围是22.（1）??22cos???
（1）O?0,0?,A?2,．
?????；（2）a??2． 4????????,B22,???对应的直角坐标分别为O?0,0?,A?0,2?,B?2,2?，则过2??4?x??cos? ，代入可求得经过O,A,B的圆
y??sin?O,A,B的圆的普通方程为x2?y2?2x?2y?0，又因为{???C1的极坐标方程为??22cos????。
4??（2）圆C2:{x??1?acos?y??1?asin? （?是参数）对应的普通方程为?x?1???y?1??a2，因为圆C1与圆
22C2外切，所以2?a?22，解得a??2。
23.（1）{x x?? ∵函数
13?11或x??；（2）??8,10?
2?2f?x??x?5?x?4，∴当x?5时， f?x??2x?1?9；当?4?x?5时， f?x??9；
f?x???2x?1?9
当x??4时，
（1）当x?5时，不等式当?4?x?5时，不等式当x??4时，不等式
f?x??12化为2x?1?12，解得x?f?x??12化为9?12，无解，
13， 2f?x??12化为?2x?1?12，解得x??11， 2 13
综上，不等式的解集为{x x??（2） 由上述可知
13?11或x??
2?2f?x?的最小值为9，因为不等式f?x??a?1恒成立，所以a?1?9，所以
?8?a?10，故实数a的取值范围为??8,10?
14
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