c2513.（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c，由已知有2?，
a9又由a2=b2+c2，可得2a=3b．由已知可得， FB?a， AB?2b， 由FB?AB?62，可得ab=6，从而a=3，b=2．
x2y2??1． 所以，椭圆的方程为94（Ⅱ）设点P的坐标为（1，y1），点Q的坐标为（2，y2）． 由已知有y1>y2>0，故PQsin?AOQ?y1?y2． 又因为AQ?y2π，而∠OAB=，故AQ?2y2．
sin?OAB4由
AQPQ?52sin?AOQ，可得5y1=9y2． 46ky? 消去，可得． y12??1，9k?4942y?kx，由方程组{x2易知直线AB的方程为+y–2=0， 由方程组{y?kx，2k 消去，可得y2?．
x?y?2?0，k?12由5y1=9y2，可得5（+1）=39k?4， 两边平方，整理得56k2?50k?11?0，
111，或k?． 228111所以，的值为或 ．228解得k?
14.（2017?江苏,17）如图，在平面直角坐标系Oy中，椭圆E： 左、右焦点分别为F1 ， F2 ， 离心率为
=1（a＞b＞0）的
，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，
且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1 ， 过点F2作直线PF2的垂线l2 ． （Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）若直线l1 ， l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．
14.（1）设椭圆的半焦距为c.
2a21c1?8， 因为椭圆E的离心率为，两准线之间的距离为8，所以?， c2a2解得a?2,c?1，于是b?a?c?3，
22x2y2??1. 因此椭圆E的标准方程是43（2）由（1）知， F,0?. 1??1,0?， F2?1设P?x0,y0?，因为点P为第一象限的点，故x0?0,y0?0. 当x0?1时， l2与l1相交于F1，与题设不符. 当x0?1时，直线PF1的斜率为
y0y0，直线PF2的斜率为. x0?1x0?1?x0?1x?1，直线l2的斜率为?0， y0y0因为l1?PF1， l2?PF2，所以直线l1的斜率为
从而直线l1的方程： y??x0?1?x?1?， ① y0直线l2的方程： y??x0?1?x?1?. ② y022??1?x01?x0由①②，解得x??x0,y?，所以Q??x0,?.
yy00??21?x02222?y0?1. ?y0?1或x0因为点Q在椭圆上，由对称性，得??y0，即x0y022x0y0??1. 又P在椭圆E上，故4322x0?y0?1由{x204?y?1320 ，解得x0?4737,y0?； {x2y2 ，无解.
0077??14322x0?y0?1因此点P的坐标为??4737?
?7,7????
x2y2
15.(2016·全国Ⅱ，20)已知椭圆E：＋＝1的焦点在轴上，A是E的左顶点，斜率为(>0)
t3的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA. (1)当t＝4，|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积； (2)当2|AM|＝|AN|时，求的取值范围.
x2y2
15.解 (1)设M(1，y1)，则由题意知y1>0.当t＝4时，E的方程为＋＝1,A(-2,0).
43π
由|AM|＝|AN|及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为. 4因此直线AM的方程为y＝＋2.
x2y21212
将＝y－2代入＋＝1得7y2－12y＝0，解得y＝0或y＝，所以y1＝.
437711212144
因此△AMN的面积S△AMN＝2×××＝. 27749
x2y2
(2)由题意t>3，>0，A(－t，0)，将直线AM的方程y＝(＋t)代入＋＝1得(3＋t2)2＋2t·t2
t3＋t22－3t＝0.由
t2k2－3tt（3－tk2）
得1＝， 1·(－t)＝3＋tk23＋tk21＋k2＝
6t（1＋k2）
.
3＋tk2
故|AM|＝|1＋t|
6kt（1＋k2）1
由题设，直线AN的方程为y＝－(＋t)，故同理可得|AN|＝. k3k2＋t2k
由2|AM|＝|AN|得＝，即(3－2)t＝3(2－1)，
3＋tk23k2＋t3k（2k－1）3
当＝2时上式不成立，因此t＝. k3－2
k3－2k2＋k－2（k－2）（k2＋1）k－2
t>3等价于＝<0，即<0.
k3－2k3－2k3－2
???k－2>0，?k－2<0，3
由此得?3或?3解得2<<2.
?k－2<0，??k－2>0，?
3因此的取值范围是(2，2).
x2y2
16.(2016·四川，20)已知椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角
ab形的三个顶点，直线l：y＝－＋3与椭圆E有且只有一个公共点T. (1)求椭圆E的方程及点T的坐标；
(2)设O是坐标原点，直线l′平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P.证明：存在常数λ，使得|PT|2＝λ|PA|·|PB|，并求λ的值. x2y2
16.(1)解 由已知，a＝2b，则椭圆E的方程为2＋2＝1.
2bbxy??2b2＋b2＝1，
由方程组?得32－12＋(18－2b2)＝0.①
??y＝－x＋3，方程①的判别式为Δ＝24(b2－3)，由Δ＝0，得b2＝3，
x2y2
此时方程①的解为＝2，所以椭圆E的方程为＋＝1.点T的坐标为(2，1).
631
(2)证明 由已知可设直线l′的方程为y＝＋m(m≠0)，
2
1??x＝2－3，?y＝2x＋m，2m2m8
2－，1＋?.|PT|2＝m2. 由方程组?可得?所以P点坐标为?33??92m??y＝－x＋3，?y＝1＋3.设点A，B的坐标分别为A(1，y1)，B(2，y2).
2m
2
2
?
由方程组?可得3＋4m＋(4m－12)＝0.②
1
?y＝2x＋m，
2
2
x2y2
＋＝1，63
方程②的判别式为Δ＝16(9－2m2)， 3232
由Δ>0，解得－ 224m2－124m 由②得1＋2＝－，12＝. 33所以|PA|＝ 22?2－2m－x1?＋?1＋2m－y1?＝5?2－2m－x1?，同理|PB|＝5?2－2m－x2?. 3333??????2?2? 2m5?2m 2－－x1??2－－x2?? 所以|PA|·|PB|＝?33????4??5??2m?2?2m?? ＝?2－? 2－－（x＋x）＋xx12124??3??3??
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