复变函数测验题
列，试确定an满足的递推关系式，并明确给出an的表达式． 四、试证明 1．e?1?ezz?1?zez(z???);
(z?1);
z2．(3?e)z?e?1?(e?1)z五、设函数f(z)在圆域z?R内解析，Sn??k?0nf(k)(0)kz试证 k!11．Sn(z)?2?i???r?n?1?zn?1d?f(?)??z?n?1f(?)d??n?1?(??z)??r?(z?r?R).
zn?1?Sn(z)?2．f(z）2?i?2n(z?r?R)。
n2六、设幂级数?nz的和函数，并计算?n之值.
n?1n?12七、设f(z)???an?0?nz(z?R1),g(z)??bnzn(z?R2)，则对任意的r(0?r?R1)，在
nn?0?z?rR2内
nabz?nn?n?012?i??r?zd?。 f(?)g()??八、设在z?R内解析的函数f(z)有泰勒展开式f(z)?a0?a1z?a2z2???anzn??
1试证当0?r?R时
2?九、将函数
?2?0f(re)d???anr2n.
i?n?02?2ln(2?z)在0?z?1?1内展开成洛朗级数.
z(z?1)十、试证在0?z???内下列展开式成立：
z?1ze
11?c0??cn(z?n)其中cn??zn?1?n??0e2cos?cosn?d?17
(n?0,1,2,?).
复变函数测验题
第五章留数
一、选择题： 1．函数
cot?z在z?i?2内的奇点个数为 ( )
2z?3（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
2．设函数f(z)与g(z)分别以z?a为本性奇点与m级极点，则z?a为函数f(z)g(z) 的( )
（A）可去奇点 （B）本性奇点
（C）m级极点 （D）小于m级的极点 3．设z?0为函数
1?e的m级极点，那么m?( ) 4zsinzx2（A）5 （B）4 (C)3 （D）2 4．z?1是函数(z?1)sin1的( ) z?1(A)可去奇点 （B）一级极点 （C） 一级零点 （D）本性奇点
3?2z?z35．z??是函数的( )
z2(A)可去奇点 （B）一级极点 （C） 二级极点 （D）本性奇点 6．设f(z)??anzn在z?R内解析，k为正整数，那么Res[n?0?f(z),0]?( ) kz（A）ak （B）k!ak （C）ak?1 （D）(k?1)!ak?1
f?(z),a]?( ) 7．设z?a为解析函数f(z)的m级零点，那么Res[f(z)(A)m （B）?m（C） m?1 （D）?(m?1) 8．在下列函数中，Res[f(z),0]?0的是（）
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复变函数测验题
ez?1sinz1（A） f(z)?（B）f(z)??
zzz2（C）f(z)?sinz?cosz11? (D) f(z)?zze?1z9．下列命题中，正确的是( ) （A） 设f(z)?(z?z0)极点．
（B） 如果无穷远点?是函数f(z)的可去奇点，那么Res[f(z),?]?0 （C） 若z?0为偶函数f(z)的一个孤立奇点，则Res[f(z),0]?0 （D） 若
?m?(z)，?(z)在z0点解析，m为自然数，则z0为f(z)的m级
?f(z)dz?0，则f(z)在c内无奇点
c10． Res[zcos32i,?]? ( ) z（A）?2222 （B） （C）i （D）?i
333321z?i11．Res[ze（A）?,i]? ( )
1515?i （B）??i（C）?i （D）?i 666612．下列命题中，不正确的是( )
（A）若z0(??)是f(z)的可去奇点或解析点，则Res[f(z),z0]?0 （B）若P(z)与Q(z)在z0解析，z0为Q(z)的一级零点，则Res[（C）若
P(z0)P(z),z0]? Q(z)Q?(z0)z0为
f(z)的m级极点，n?m为自然数，则
1dnRes[f(z),z0]?limn[(z?z0)n?1f(z)]
n!x?x0dz
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复变函数测验题
（D）如果无穷远点?为f(z)的一级极点，则z?0为f()的一级极点，并且
1z1Res[f(z),?]?limzf()
z?0z13．设n?1为正整数，则
1dz?( ) ?nz?1z?2(A)0（B）2?i（C）
2?i（D）2n?i nz914．积分?10dz?( )
z?13z?2（A）0 （B）2?i（C）10 （D）
?i 515．积分
12zsindz?( ) ?zz?1（A）0 （B）?二、填空题
?i1 （C）? （D）??i
36331．设z?0为函数z?sinz的m级零点，那么m?．
2．函数f(z)?11cosz在其孤立奇点zk?1k???2(k?0,?1,?2,??)处的留数
Res[f(z),zk]?．
3．设函数f(z)?exp{z?21}，则Res[f(z),0]? z2 20
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