电磁场与电磁波课后习题及答案--第四章习题解答

4.8 如题4.8图所示，在均匀电场

E0?exE0中垂直于电场方向放置一根无限长导体圆柱，圆柱

的半径为a。求导体圆柱外的电位?和电场E以及导体表面的感应电荷密度?。 解 在外电场电荷的电位

E0作用下，导体表面产生感应电荷，圆柱外的电位是外电场

E0的电位

?0与感应

?in的叠加。由于导体圆柱为无限长，所以电位与变量z无关。在圆柱面坐标系中，

外电场的电位为荷的电位

?0(r,?)??E0x?C??E0rcos??C（常数C的值由参考点确定）

，而感应电

?in(r,?)应与?0(r,?)一样按cos?变化，而且在无限远处为0。由于导体是等位体，

所以?(r,?)满足的边界条件为

y ① ?(a,?)?C ②

E0 ?(r,?)??E0rcos??C(r??)

?(r,?)??E0rcos??A1r?1cos??C?E0acos??A1a?1cos??C?C

a o x

由此可设

题4.8图

由条件①，有 于是得到

A1?a2E0故圆柱外的电位为

?(r,?)?(?r?a2r?1)E0cos??C

若选择导体圆柱表面为电位参考点，即?(a,?)?0，则C?0。 导体圆柱外的电场则为

22??1??aaE????(r,?)??er?e???er(1?2)E0cos??e?(?1?2)E0sin??rr??rr

导体圆柱表面的电荷面密度为

????0??(r,?)?rr?a?2?0E0cos?

4.9 在介电常数为?的无限大的介质中，沿z轴方向开一个半径为a的圆柱形空腔。沿x轴方向

外加一均匀电场解 在电场电场

E0?exE0，求空腔内和空腔外的电位函数。

E0的作用下，介质产生极化，空腔表面形成极化电荷，空腔内、外的电场E为外加

E0与极化电荷的电场

Ep的叠加。外电场的电位为

?0(r,?)??E0x??E0rcos?而感应电

荷的电位

?in(r,?)应与?0(r,?)一样按cos?变化，则空腔内、外的电位分别为?1(r,?)和

?2(r,?)的边界条件为

?(r,?)??E0rcos?；

① r??时，2?(r,?)为有限值；

② r?0时，1?(a,?)??2(a,?)，

③ r?a时， 1由条件①和②，可设

?0??1????2?r?r

?1(r,?)??E0rcos??A1rcos? (r?a) ?2(r,?)??E0rcos??A2r?1cos?带入条件③，有

(r?a)

A1a?A2a?1，

??0E0??0A1???E0??a?2A2A1??由此解得

???0???02E0A2??aE0???0， ???0

2?E0rcos????0 (r?a)

?1(r,?)??所以

?2(r,?)??[1?y ???0a2()]E0rcos????0r (r?a)

4.10 一个半径为b、无限长的薄导体圆柱面被分割成四个四分

0

U0之一圆柱面，如题4.10图所示。第二象限和第四象限的四分之一

b o ?U0

0 x

圆柱面接地，第一象限和第三象限分别保持电位

U0和

?U0。求

题4.10图

圆柱面内部的电位函数。

解 由题意可知，圆柱面内部的电位函数满足边界条件为 ① ?(0,?)为有限值；

?U0?0??(b,?)????U0??0②

?0????2?2????????3?23?2???2?；

由条件①可知，圆柱面内部的电位函数的通解为

?(r,?)??rn(Ansinn??Bncosn?)n?1 (r?b)

代入条件②，有 由此得到

?bn?1?n(Ansinn??Bncosn?)??(b,?)

1An?nb?2?1[?U0sinn?d???(b,?)sinn?d??n?b?00?23?2U??0sinn?d?]?U0(1?cosn?)?bnn??2U0,n?1,3,5,L?n?n?b??0，n?2,4,6,L

1Bn?nb?2???(b,?)cosn?d??b?[?Un01?203?2cosn?d??0U??0cosn?d?]?

n?3?2U0,?(?1)2nn?b?U0n?3n?(sin?sin)??0，?bnn?22n?1,3,5,Ln?2,4,6,L

?(r,?)?故

2U0?n?1,3,5,L??n?31rn()[sinn??(?1)2cosn?]nb (r?b)

4.11 如题4.11图所示，一无限长介质圆柱的半径为a、介电常数为?，在距离轴线有一与圆柱平行的线电荷

r0(r0?a)处，

ql，计算空间各部分的电位。

解 在线电荷

ql作用下，介质圆柱产生极化，介质圆柱内外的电位?(r,?)均为线电荷

ql的电位

?l(r,?)与极化电荷的电位?p(r,?)的叠加，即?(r,?)??l(r,?)??p(r,?)。线电荷ql的电位

?l(r,?)??为

y ql2??0lnR??ql2??0lnr2?r02?2rr0cos? （1）

而极化电荷的电位

?p(r,?)满足拉普拉斯方程，且是?的偶函数。

?0 a ? o r0ql 介质圆柱内外的电位

?1(r,?)和?2(r,?)满足的边界条件为分别为

x

① ②

?1(0,?)为有限值；

题4.11图

?2(r,?)??l(r,?)(r??)

③ r?a时，

由条件①和②可知，

?1??2,???1????02?r?r

?1(r,?)和?2(r,?)的通解为

??1(r,?)??l(r,?)??Anrncosn?n?1? (0?r?a) （2）

?2(r,?)??l(r,?)??Bnr?ncosn?n?1 (a?r??) （3）

将式（1）～（3）带入条件③，可得到

?Aann?1?ncosn???Bna?ncosn?n?1? （4）

?(An?nan?1?Bn?0na?n?1)cosn??(???0)n?1?ql?lnR2??0?r?r?a （5）

当

r?r0时，将lnR展开为级数，有

1rlnR?lnr0??()ncosn?n?1nr0 （6）