带入式（5），得
?(An?nan?1?n?1?Bn?0na?n?1(???0)ql)cosn???2??0r0an?1()cosn??rn?10? （7）
由式（4）和（7），有
Anan?Bna?n
An?nan?1?Bn?0na?n?1??(???0)qlan?1()2??0r0r0
ql(???0)1ql(???0)a2nAn??Bn??nn2??(???)nr2??(???)nr000000 由此解得 ，
故得到圆柱内、外的电位分别为
ql(???0)?1rn?1(r,?)??lnr?r?2rr0cos???()cosn?2??0(???0)n?1nr02??0ql220 （8）
ql(???0)?1a2n?2(r,?)??lnr?r?2rr0cos???()cosn?2??02??0(???0)n?1nr0r （9）
ql220讨论：利用式（6），可将式（8）和（9）中得第二项分别写成为
ql(???0)?1rnq(???0)?()cosn??l(lnR?lnr0)?2??0(???0)n?1nr02??0(???0)
ql(???0)?1a2nql(???0)?()cosn??(lnR??lnr)?2??0(???0)n?1nr0r2??0(???0)
其中
R??r2?(a2r0)2?2r(a2r0)cos?1。因此可将?1(r,?)和?2(r,?)分别写成为
?1(r,?)??2?0qlq(???0)lnR?llnr02??0???02??0(???0) ql2??0lnR?1?(???0)ql1(???0)qllnR??lnr2??0???02??0???0
r0,2?0q???0l?2(r,?)?? 由所得结果可知，介质圆柱内的电位与位于（0）的线电荷的电位相同，而介质圆
a2
(,0)
r0,qlr柱外的电位相当于三根线电荷所产生，它们分别为：位于（0）的线电荷；位于0的
???0???0qlql???0；位于r?0的线电荷???0。
线电荷
?4.12 将上题的介质圆柱改为导体圆柱，重新计算。
解 导体圆柱内的电位为常数，导体圆柱外的电位?(r,?)均为线电荷电荷的电位
ql的电位
?l(r,?)与感应
?in(r,?)的叠加，即?(r,?)??l(r,?)??in(r,?)。线电荷ql的电位为 ql2??0lnR??ql2??0lnr2?r02?2rr0cos? （1）
?l(r,?)??而感应电荷的电位
?in(r,?)满足拉普拉斯方程，且是?的偶函数。
?(r,?)满足的边界条件为
① ②
?(r,?)??l(r,?)(r??)；
?(a,?)?C。
由于电位分布是?的偶函数，并由条件①可知，?(r,?)的通解为
?(r,?)??l(r,?)??Anr?ncosn?n?0? （2）
将式（1）和（2）带入条件②，可得到
?Aann?0??ncosn??C?ql2??0lna2?r02?2ar0cos? （3）
将
lna2?r02?2ar0cos?220展开为级数，有
?1alna?r?2ar0cos??lnr0??()ncosn?n?1nr0带入式（3），得
（4）
?Anacosn??C??nn?0?1a[lnr0??()ncosn?]2??0n?1nr0 （5）
ql?a2nA0?C?lnr0An??()2??2??nr0 00由此可得 ，
qlql故导体圆柱外的电为
?(r,?)??qlql2??0lnr2?r02?2rr0cos??
1a2n(C?lnr0)??()cosn?2??02??0n?1nr0r （6）
ql?讨论：利用式（4），可将式（6）中的第二项写成为
ql1a2n?()cosn??(lnR??lnr)?2??0n?1nr0r2??0
ql?其中
R??r2?(a2r0)2?2r(a2r0)cos?ql2??0lnR?ql2??0lnR??ql2??0。因此可将?(r,?)写成为
?(r,?)??lnr?C?ql2??0lnr0
由此可见，导体圆柱外的电位相当于三根线电荷所产生，它们分别为：位于（
r0,0）的线电荷
ql；
a2
(,0)
?qqr位于0的线电荷l；位于r?0的线电荷l。
4.13 在均匀外电场
E0?ezE0中放入半径为a的导体球，设（1）导体充电至
U0；（2）导体上
充有电荷Q。试分别计算两种情况下球外的电位分布。 解 （1）这里导体充电至时导体球面上的电荷密度在
U0应理解为未加外电场
，总电荷
E0时导体球相对于无限远处的电位为
。将导体球放入均匀外电场
U0，此
???0U0aq?4??0aU0E0中后，
E0的作用下，产生感应电荷，使球面上的电荷密度发生变化，但总电荷q仍保持不变，导体
球仍为等位体。
设
?(r,?)??0(r,?)??in(r,?)，其中
?0(r,?)??E0z??E0rcos?
是均匀外电场
E0的电位，
?in(r,?)是导体球上的电荷产生的电位。
电位?(r,?)满足的边界条件为
?(r,?)??E0rcos?；
① r??时，
?(a,?)?C0，
② r?a时，
其中
????0?dS?q??rS
C0为常数，若适当选择?(r,?)的参考点，可使
C0?U0。
由条件①，可设
?(r,?)??E0rcos??A1r?2cos??B1r?1?C1A1?a3E0，
代入条件②，可得到 若使
B1?aU0，
C1?C0?U0
C0?U0，可得到
?(r,?)??E0rcos??a3E0r?2cos??aU0r?1U0?，有
Q4??0a
Q4??0r
，在介质中有一个半径为
（2）导体上充电荷Q时，令
Q?4??0aU0?(r,?)??E0rcos??a3E0r?2cos??利用（1）的结果，得到
4.14 如题4.14图所示，无限大的介质中外加均匀电场
E0?ezE0a的球形空腔。求空腔内、外的电场E和空腔表面的极化电荷密度（介质的介电常数为?）。
解 在电场电场
E0的作用下，介质产生极化，空腔表面形成极化电荷，空腔内、外的电场E为外加
E0与极化电荷的电场
Ep的叠加。设空腔内、外的电位分别为
?1(r,?)和?2(r,?)，则边界
条件为
?(r,?)??E0rcos?① r??时，2；
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