必考问题7 三角恒等变换与解三角形
1．(20122全国)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝A．－5
3
B．－5 3
1
＝4，则sin 2θ＝( )． tan θ5 9
3
，则cos 2α＝( )． 3
C.
5
9
D.
2．(20122江西)若tan θ＋1
A. 51C. 3
1B. 4
1D. 2
3．(20122天津)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cos C＝( )．
A.7
25
7B．－
2524D. 25
1．对于三角恒等变换，高考命题以公式的基本运用、计算为主，其中多以与角所在范围、三角函数的性质、三角形等知识结合为命题的热点．
2．对于解三角形，重点考查正弦定理、余弦定理两公式在解三角形中的应用，通过三角形中的边、角关系和相关公式的灵活运用来考查学生分析问题、解决问题的能力以及数学运算能力.
1．在三角恒等变换过程中，准确地记忆公式，适当地变换式子，有效地选取公式是解决问题的关键．
2．在解三角形的试题时，要弄清楚三角形三边、三角中已知什么，求什么，这些都是解决问题的思维基础，分析题设条件，利用正、余弦定理进行边与角之间的相互转化是解决问题的关键.
7
C．±
25
必备知识
1
两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcosβ±cos αsin β. (2)cos(α±β)＝cos αcosβ?sin αsin β. tan α±tanβ
(3)tan(α±β)＝. 1?tan αtanβ二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α.
(2)cos 2α＝cosα－sinα＝2cosα－1＝1－2sinα. 2tan α
(3)tan 2α＝. 2
1－tanα
1－cos 2α1＋cos 2α22
(4)降幂公式：sin α＝，cosα＝. 22正弦定理及其变形
＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．
sin Asin Bsin C＝＝
变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C. sin A＝，sin B＝，sin C＝.
2R2R2R2
2
2
2
abcabca∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
余弦定理及其推论
a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B， c2＝a2＋b2－2abcos C.
b2＋c2－a2a2＋c2－b2
推论：cos A＝，cos B＝，
2bc2aca2＋b2－c2
cos C＝.
2ab变形：b＋c－a＝2bccos A，a＋c－b＝2accos B，a＋b－c＝2abcos C. 面积公式
2
2
2
2
2
2
2
2
2
S△ABC＝bcsin A＝acsin B＝absin C.
必备方法
1．“变角”是三角变换的灵魂，因此要注意分析条件与所求之间角的联系，常考察是否具有和、差、倍、半关系或互余、互补关系．如2β与β是倍角关系．此外，根据条件β?α＋β?
与所求中的角的特点，常要对角进行恰当的配凑，如：β＝(α＋β)－α，＝?α－?2?2?－?
1
21212
?α－β?，2α＝(α＋β)＋(α－β)等．
??2?
2
2．要充分把握三角函数的变换规律．三角变换时，需会用“切化弦”“弦化切”“辅助角”“1的代换”等技巧，追求“名、角、式”(三角函数名、角度、运算结构)的统一，其中角的变换是三角变换的核心．
3．在三角形内求值、证明或判断三角形形状时，要用正、余弦定理完成边与角的互化，一般是都化为边或都化为角，然后用三角公式或代数方法求解，从而达到求值、证明或判断的目的．解题时要注意隐含条件．
4．解三角形的应用问题时，要将条件和求解目标转化到一个三角形中，然后用正、余弦定理或三角公式完成求解，同时注意所求结果要满足实际问题的要求，还要注意对不同概念的角的正确理解与应用，如俯角、仰角、方位角、视角等.
利用三角恒等变换进行三角函数 的化简、求值
三角恒等变换是三角运算的核心和灵魂，常考查：①三角恒等变换在化简、求值等方面的简单应用；②三角恒等变换与三角形中相关知识的综合、与向量的交汇性问题，多以解答题形式出现，难度中档．
π??【例1】? (20122广东)已知函数f(x)＝2cos?ωx＋?(其中ω＞0，x∈R)的最小正
6??周期为10 π.
(1)求ω的值；
5?5?166??π??(2)设α，β∈?0，?，f?5α＋π?＝－，f?5β－π?＝，求cos(α＋β)的值．
2??3?6?175??[审题视点] [听课记录]
[审题视点] (1)由T＝10π可得ω的值；(2)化简所给的已知条件，求得cos α、sin β的值，将cos(α＋β)展开，代入数据即可．
π?2π1?解 (1)∵f(x)＝2cos?ωx＋?，ω＞0的最小正周期T＝10π＝，∴ω＝.
6?ω5?
?1π?(2)由(1)知f(x)＝2cos?x＋?， 6??5
5π?65π16?π??而α，β∈?0，?，f?5α＋?＝－，f(5β－)＝，
2?3?5617??5π?π?6?1?∴2cos??5α＋?＋?＝－， 3?6?5?5?
3
5π?π?161??5β－2cos???＋＝17， 6?6??5??π?38?即cos?α＋?＝－，cos β＝， 2?517?3415
于是sin α＝，cos α＝，sin β＝，
5517∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β 4831513
＝3－3＝－. 51751785
(1)给值求角的本质还是给值求值，即欲求某角，也要先求该角的某一三角
函数值．
(2)由于三角函数的多值性，故要对角的范围进行讨论，确定并求出限定范围内的角． (3)要仔细观察分析所求角与已知条件的关系，灵活使用角的变换，如α＝(α＋β)－α＋βα－ββ，α＝＋等．
22
2?π??π3π?【突破训练1】 已知cos?x－?＝，x∈?，?.
4?104???2(1)求sin x的值； π??(2)求sin?2x＋?的值．
3??三角函数与解三角形
以三角形为载体，以三角变换为核心，结合正(余)弦定理考查解斜三角形是高考的一个热点问题．根据所给式子、三角形的特点合理选择正弦或余弦定理是解题的关键，综合考查学生逻辑分析和计算推理能力．
【例2】? (20112山东)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已 知
cos A－2cos C2c－a＝. cos Bbsin C(1)求的值；
sin A1
(2)若cos B＝，b＝2，求△ABC的面积S.
4
在含有三角形内角的三角函数和边的混合关系式中要注意变换方向的
选择．正弦定理、余弦定理、三角形面积公式本身就是一个方程，在解三角形的试题中方程思想是主要的数学思想方法，要注意从方程的角度出发分析问题．
【突破训练2】 (20122江西)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知Aπ?π??π?＝，bsin?＋C?－csin?＋B?＝a. 4?4??4?
4
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