112013届高三数学二轮复习 - 必考问题专项突破7 - 三角恒等变换与解三角形 - 理

π

(1)求证：B－C＝；

2

(2)若a＝2，求△ABC的面积．

π

【例3】? 在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，A＝，(1＋3)c＝2b.

6(1)求角C；

→→

(2)若CB2CA＝1＋3，求a，b，c.

解答这一类问题，首先要保证向量运算必须正确，否则，反被其累，要很好

的掌握正、余弦定理的应用条件及灵活变形，方能使问题简捷解答．

【例4】? (20122沈阳模拟)如图，

渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．

(1)求渔船甲的速度； (2)求sin α的值．

【突破训练4】 (20122惠州调研)如图，

某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点A，B，观察对岸的点C，测得∠CAB＝75°，∠CBA＝45°且AB＝100米．

(1)求sin 75°； (2)求该河段的宽度．

5

【示例】? (20122新课标全国)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，

acos C＋3asin C－b－c＝0.

(1)求A；

(2)若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c.

[满分解答] (1)由acos C＋3asin C－b－c＝0及正弦定理得sin Acos C＋3sin

Asin C－sin B－sin C＝0.

因为B＝π－A－C，

所以3sin Asin C－cos Asin C－sin C＝0.

?π?1

由于sin C≠0，所以sin?A－?＝. 6?2?

π

又0＜A＜π，故A＝.(6分)

3

1

(2)△ABC的面积S＝bcsin A＝3，故bc＝4.

2而a＝b＋c－2bccos A，故b＋c＝8. 解得b＝c＝2.(12分)

老师叮咛：本题较容易，得分率较高.考查了考生利用正、余弦定理及三角公式进行转化的能力.其中，第第

问利用正弦定理将边化成角，结合三角恒等变换知识整理出角A.

2

2

2

2

2

问根据三角形的面积公式得到关于b，c的等式，再由余弦定理用a和角A表示出b，

c的关系，从而求解.

【试一试】 在△ABC中，BC＝5，AC＝3，sin C＝2sin A. (1)求AB的值；

π??(2)求sin?2A－?的值．

4??

解 (1)在△ABC中，根据正弦定理，＝.

sin Csin Asin C于是AB＝2BC＝2BC＝25.

sin A(2)在△ABC中，根据余弦定理，得

ABBC 6

cos A＝AB2＋AC2－BC22AB2AC＝25

5

.

于是sin A＝1－cos2A＝

5

5

. 从而sin 2A＝2sin Acos A＝4

5，

cos 2A＝cos2A－sin2

A＝35

.

所以sin???2A－π4???＝sin 2Acosπ4－cos 2Asinπ24＝10. 7