91.课标全国卷导数分析试题的最值“情结”

课标高考全国卷数学试题揭秘.预测

第45讲:课标全国卷导数分析试题的最值“情结” 391

第45讲:课标全国卷导数分析试题的最值“情结”

揭秘情结

函数的最大值或最小值(合称为最值)是函数研究的又一个中心问题,也是最重要的问题;课标全国卷导数分析试题具有最值“情结”是自然的.

情结渊源

1.(2007年课标高考试题文科第19题)设函数f(x)=ln(2x+3)+x. (Ⅰ)讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)求f(x)在区间[-31,]的最大值和最小值. 44322

[解析]:(Ⅰ)f(x)的定义域为(-,+∞);由f(x)=ln(2x+3)+x2?

f?(x)=

241+2x=(x+1)(x+),由此列表如下: 2x?32x?32由表知,f(x)分别在区间(-

31,-1)和(-1,+∞)内单调递增,在区间(-1,-)内单调递减; 22311133917113,]的最小值=f(-)=ln2+;由f(-)=ln+,f()=ln+?f()-f(-)= 44244216421644(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)在区间[-ln

7114931171-=(ln-1)>0?f(x)在区间[-,]的最大值=f()=ln+. 32294442162.(2015年课标Ⅱ高考试题文科第21题)已知函数f(x)=lnx+a(1-x). (Ⅰ)讨论f(x)的单调性;

(Ⅱ)当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围.

[解析]:(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞);由f(x)=lnx+a(1-x)?调递增;②当a>0时,由f?(x)=-由表知,f(x)在(0,

a1(x-),列表如下: xaf?(x)=

1-a;①当a≤0时,f?(x)>0?f(x)在(0,+∞)内单x11)上单调递增,在(,+∞)上单调递减; aa(Ⅱ)由(Ⅰ)知,仅当a>0时,f(x)有最大值=f(

11)=-lna+a-1,所以,f()>2a-2?-lna+a-1>2a-2?lna+a-1<0;由g(a)= aalna+a-1在(0,+∞)上单调递增,且g(1)=0,所以,lna+a-1<0?g(a)

命题规律

392 第45讲:课标全国卷导数分析试题的最值“情结”

关于函数的最大值或最小值:①连续函数f(x)在区间[a,b]內必有最大值M,M=max{f(a),f(b),f(x)在区间[a,b]內的所有极大值};f(x)在区间[a,b]內必有最小值m,m=min{f(a),f(b),f(x)在区间[a,b]內的所有极小值};②若函数f(x)在区间(a,x0)內单调递增,在区间(x0,b)內单调递减,则f(x)在区间(a,b)內必有最大值M,M=f(x0);若函数f(x)在区间(a,x0)內单调递减,在区间(x0,b)內单调递增,则f(x)在区间(a,b)內必有最小值m,m=f(x0);③若函数f(x)在区间[a,b]內单调,则fmin(x)+fmax(x)=f(a)+f(b).

原创预测

[原创示例]:如图:A、B为y=1-x2上在y轴两侧的点,求过A、B的切线与x轴

围成面积的最小值.

[解析]:设A(a,1-a2),B(-b,1-b2)(a,b>0),则过A、B的切线方程分别为:y=-2ax

+a+1、y=2bx+b+1?与x轴的交点分别为M(

2

2

a2?1b2?1,0)、N(-,0),两切线

2a2ba?b1a2?1b2?11(a?b)(ab?1)1(ab?1)2的交点P(,ab+1)?围成面积S=(+)(ab+1)=(ab+1)≥;令x=ab>0,f(x)

2ab2422a2bab1(x2?1)21x2?13833832

=(3x-1)?f(x)的最小值=f()=时,围成面积S取得最小值. ?f?(x)=?当a=b=222x3939x[原创预测]:

1.已知函数f(x)=x-2+1-alnx,a>0. x(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;

(Ⅱ)设a=3,求f(x)在区间[1,e]上值域.其中e=2.71828…是自然对数的底数.

x

2.设函数f(x)=esin3x,x∈R.

2

(Ⅰ)求函数f(x)单调递增区间;

(Ⅱ)当x∈[0,π]时,求函数f(x)的最大值和最小值. 3.设函数f(x)=(x-1)e-kx(k∈R). (Ⅰ)当k=1时,求函数f(x)的单调区间; (Ⅱ)当k∈(

1,1]时,求函数f(x)在[0,k]上的最小值和最大值. 22x

2

4.己知函数f(x)=(2x+a)x,其中a<0.

(Ⅰ)当a=-4时,求函数f(x)的单调递增区间; (Ⅱ)若f(x)在区间[1,4]上的最小值为8,求a的值. 5.己知函数f(x)=e-2elnt+x-2tx+lnt+t+1(x∈R,t>0). (Ⅰ)当t=1时,求函数f(x)的单调区间; (Ⅱ)求函数f(x)的最小值. 6.己知x=0是函数f(x)=ax+cosx+(a-(Ⅰ)求a的值和f(x)的单调区间; (Ⅱ)函数g(x)=sinx+b,若对任意的x∈[0,

??],总存在t∈[0,],使g(t)=f(x)成立,求b的取值范围. 222

2x

x

2

2

2

1)sinx-1的一个极值点. 2[原创解析]:

1.解:(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f?(x)=1+

2x2-

a12

=2(x-ax+2); xx 第45讲:课标全国卷导数分析试题的最值“情结” 393

2

①当(-a)-8≤0,即0

1x2[(x-

a28?a2)+]≥0?f(x)在(0,+∞)上单调递增; 242

②当(-a)-8>0,即a>22时,f?(x)=

1x2(x-x1)(x-x2),其中x1=

11(a-a2?8),x2=(a+a2?8),f(x)在(0,x1)和(x2,+∞)上单 22调递增;在(x1,x2)上单调递减.

(Ⅱ)当a=3时,x1=1,x2=2?f(x)在(1,2)上单调递减,在(2,e)上单调递增?在区间[1,e]上,fmin(x)=f(2)=2-3ln2,fmax(x) =max{f(1),f(e)}=e-2e-5.

xxxx

2.解:(Ⅰ)由f(x)=esin3x?f?(x)=esin3x+3ecos3x=2esin(3x+

2

2

-2

2

2

??);又由f?(x)≥0?sin(3x+)≥0 33?2kπ≤3x+

?1212????≤2kπ+π?(2k-)≤x≤(2k+),(2k+)](k∈?f(x)单调递增区间是[(2k-)333333333Z).

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,[0,

53?3ef()=-9223?53?23?53?]和[,π]是f(x)的单调递增区间,[,]是f(x)的单调递减区间,f(0)=0, 999953?3e)=-?fmin(x)=f(

92π

53?953?923?3e;f()=

9223?923?9π

,f(π)=esin3π,由

3π<3π<2π? 223?3esin3π<0?f(π)=esin3π<0?fmax(x)=f()=

92x

2

x

x

.

3.解:(Ⅰ)当k=1时,f(x)=(x-1)e-x?f?(x)=e+(x-1)e-2x=x(e-2),列表如下: 由表知,f(x)在(-∞,0)和(ln2,+∞)上单调递增,在(0,ln2)上单调递减; (Ⅱ)由f(x)=(x-1)e-kx?f?(x)=e+(x-1)e-2kx=x(e-2k),令f?(x)=0?x=0, 或x=ln(2k);令g(k)=k-ln(2k)?g?(k)=1-11≤0?g(k)在(,1]上单调递减?g(k)=k-ln(2k)≥g(1)=1-ln2>0;列表k2x

2

x

x

x

x

如下:由表知,f(x)在(0,ln(2k))上单调递减,在(ln(2k),k)上单调递增?f(x)在[0,k]

上的最小值=f(ln(2k))=2k(ln(2k)-1)-kln(2k);由f(0)=-1,f(k)=(k-1)e-k?f(k)-

k3k2k2k

f(0)=(k-1)e-k+1=(k-1)[e-(k+k+1)];令h(k)=e-(k+k+1)?h?(k)=e-(2k+1)?

2k3

1h??(k)=e-2?h?max(k)=max{h?(),h?(l)}=max{e

2k

12-2,e-3}=e-2<0?h(k)≤h(1)=e-3<0?f(k)>f(0)?f(x)在[0,k]

12上的最大值=f(k)=(k-1)e-k. 4.解:(Ⅰ)当a=-4时,f(x)=4(x-2)

10x2

k3

x?f?(x)=8(x-2)x+4(x-2)?2

12x=

(x-

22)(x-2),列表如下:由表知,f(x)在(0,)和(2,+∞)上单调递增, 55在(

2,2)上单调递减; 52

(Ⅱ)由f(x)=(2x+a)x?f?(x)=

10x(x+

aa)(x+),列表如下:由表知, 210f(x)在(0,-f(0)=f(-

aaaa)和(-,+∞)上单调递增,在(-,-)上单调递减;由 102102aaa4a)=0及f(x)在区间[1,4]上的最小值为8?->4?a<-8?->;①当-≤1,即a≥-10时,fmin(x)=f(4) 2210510 394 第45讲:课标全国卷导数分析试题的最值“情结”

=2(a+8)=8?a=-10;②当-2x

x

2

2

a22

>1,即a<-10时,fmin(x)=min{f(1),f(4)}=min{(a+2),2(a+8)}>8.综上,a=-10. 102

2

x

2

2

x

x

5.解:f(x)=e-2elnt+x-2tx+lnt+t=(e-lnt)+(x-t)+1,作函数y=e与y=lnx的图像,在y=e与y=lnx上分别取点P(m,e),Q(n,lnn),并令e=

m

m

111em?lnn122

?,且=-1?(n+1)ln+n-=0(函数y=(x+1)lnx+x-单调递增)?n=1?m=0;

nnnxm?n(Ⅰ)当t=1时,f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增; (Ⅱ)f(x)≥|PQ|+1=3. 6.解:(Ⅰ)f?(x)=2ax-sinx+(a-11)cosx,由f?(0)=0?a=,f?(x)=x-sinx,以下证当x>0时,f?(x)>0,令h(x)=x-sinx 222

?h?(x)=1-cosx≥0?h(x)即f?(x)在(0,+∞)上递增?f?(x)>f?(0)=0?f(x)在(0,+∞)上递增,在(-∞,0)上递减;

(Ⅱ)由(Ⅰ)知函数f(x)在[0,]上递增?f(x)∈[f(0),f()]=[0,[g(0),g(

?2?2??2-1],而函数g(x)在[0,]内递增?g(x)∈82????2)]=[b,b+1],对任意的x∈[0,],总存在t∈[0,],使g(t)=f(x)成立?[0,-1]?[b,b+1]?b∈

8222?2[-2,0]. 8

预测例证