凸函数在证明不等式中的运用

凸函数在证明不等式中的运用

摘 要:凸性是一种重要的几何性质，凸函数是一种性质特殊的函数.凸集和凸函数在泛函分析，最优化理论，数理经济学等领域都有着广泛的应用.凸函数也是高等数学中的一个基本内容，他在证明比较复杂的不等式方面有着重大作用.本文探讨了凸函数与不等式之间的密切关系，利用凸函数的凸性来研究不等式，比传统方法更简洁，还进一步探讨了不等式的一些具体应用.对凸函数在不等式中的运用进行了讨论.

关键词:凸函数 不等式 证明

在数学思想方法中，函数思想是很重要的一种思想方法，其精髓在于利用函数的相关性质对讨论的问题进行推理和论证，进而寻求解决问题的途径。凸函数是一类性质特殊的函数，它在证明比较复杂的不等式方面有着重大作用，本文对凸函数的性质在比较经典的不等式证明中的简单应用进行初步讨论.

1.函数的定义及其常见的凹凸函数

大家都熟悉函数f(x)?x2的图像，它的特点是：曲线y?x2上任意两点间的弧总在这两点连线的下方。我们可以下这样一个定义：设f(x)在[a,b]上有定义，若曲线y?f(x)上任意两点间的弧总位于连接该两点的直线之下，则称函数f(x)是凸函数.

上面的定义只是几何描述性的，为了便于凸函数的应用，用严格的式子分析定义凸函数是十分必要的.

在不等式的证明中经常会应用到凸函数的两个定义：

定义1[6] 设f(x)在(a,b)内连续，如果对(a,b)内任意两点x1,x2恒有 f(x1?x2f(x1)?f(x2))? 22那么称f(x)在(a,b)内是凸函数.

定义[6]2 设f(x)在(a,b)内连续，如果对(a,b) 内任意两点x1,x2,??(0,1) ，有 f(?x1?(1??)x2)??f(x1)?(1??)f(x2) 则称f(x) 在(a,b)内是凸函数. 1.1常见的凸函数有

1.1.1 f(x)?xk(k?0)或(k?0),f(x)?xlnx均为(0,?)内的严格凸函数; 1.1.2 f(x)?ln(1?ex),f(x)?c2?x2(c?0)均为(??,??)内的严格凸函数.

1.2 凸函数的常见性质及其判定定理

k?0为常数，性质1 设f(x)为凸函数，则kf(x) 是凸函数：若f(xi)(i?1,2,...,n)

是凸函数，则?f(xi) 仍是凸函数：若?(u)是增凸函数，u?f(x)也是凸函数，

i?1n则复合函数?[f(x)]也是凸函数[1].

性质2 如果f(x)是(a,b)上的凸函数，则在(a,b)的任一闭子区间上有界. 性质3 如果f(x)是(a,b)上的凸函数，则f(x)在(a,b)内连续.

定理1 f(x)是区间I上的凸函数的充要条件是：对于满足??i?1 的任意

[1]

ni?1?1,?2,...,?n?0 ，有：f(??ixi)???if(xi) ?x1,x2,...,xn?I (1)

i?1i?1nn1.3凸函数的不等式

1.3.1 凸函数基本不等式

设f(x)是(a,b)内的严格凸函数，则对(a,b) 内的任意一组不全相同的值

x1,x2,...,xn，必有不等式[2]： 1.3.2 Jensen不等式[2]

Jensen不等式是凸函数的一个重要性质，利用其证明一些重要不等式可以更简捷，它有如下两种形式：

（1） 设f(x)是(a,b) 内的凸函数，则对(a,b) 内的任意一组值x1,x2,...,xn及任意正数p1,p2,...,pn 必有不等式： f(p1x1?p2x2?...?pnxnpf(x)?p2f(x2)?...?pnf(xn) )?(?)11p1?p2?...?pnp1?p2?...?pn（2）设f(x),p(x)为[a,b]上的可积函数，而 m?f(x)?M,p(x)?0,?p(x)dx?0

ab则当?(t)(m?t?M)为凸函数时有

? ?(bap(x)f(x)dx?bap(x)dx?)?(?)bap(x)?[f(x)]dx?b

ap(x)dx2.凸函数在证明不等式中的简单应用

在初等数学中，调和平均值不大于几何平均值，几何平均值不大于算术平均值，算术平均值不大于平方平均值，而证明用到数学归纳法.其实，这些不等式可在凸函数框架下统一证明. 例1 设ai?0,i?1,2,...,n ，证明：

n111??...?a1a2an?na1a2...an?a1?a2?...?an

n 证明 设f(x)??lnx,?x?(0,?) ，有f''(x)?在(0,?)是严格凸函数， 取

1?0，从而，函数f(x)??lnx2x1 xi?ai?(0,?),qi?,i?1,2,...,n,q1?q2?...?qn?1

n 有

alnanaalna1lna2??...? ?ln(1?2?...?n)??

nnnnnn 或

a?a?...?an??(lna1n?lna2n?...?lnann)??lnna1a2...an ?ln12n111 即 na1a2...an? 取 xi?a1?a2?...?an

n11?(0,?),qi?,i?1,2,...,n,q1?q2?...?qn?1 ain 同样方法，有

n111??...?a1a2an?na1a2...an

于是，?n?N? ， 有

n111??...?a1a2an?na1a2...an?a1?a2?...?an

n

x1?x2?...?xnx1p?x2p?...?xnpp? 例2 证明?x1,x2,...,xn?R,p?1 有 ?()

nn 上式称为算术平均不大于p(p?1) 次平均，特别的，当p?2 ，得到算术平

1均值不大于平方平均值。

证明 考察函数f(x)?xp(p?1) 由于有f''(x)?p(p?1)xp?2?0,?x?0 所以

f(x)?x(p?1)为凸函数，从而 ?x1,x2,...,xn?R,??1,?2,...,?n?(0,1),??i?1

p?i?1n 有 (?1x1??2x2?...??nxn)p??1x1p??2x2p?...??nxpn

1x1?x2?...?xnx1p?x2p?...?xnpp在上式中，令?1??2?...??n? 即得 ?()

nnn1

例3 若a?0,b?0,p?0,q?0,??0 且

11??1，求证：Young不等式 pq ab??app?bqqp

q?证明 从所求证的不等式的形式来看，不容易直接找到合适的凸函数，因此，我们要对它进行一定的变形。不妨不等式两边同取自然对数，则有

?apbq ln(ab)?ln(?q)

pq?p 由此很容易找到合适的凸函数。考察函数f(x)??lnx(x?0)，因为

f''(x)?1?0，由定理1知，f(x)在x?0时为凸函数，因为有x2p?0,q?0,11??1， 所以 pqbqq???11pppqpp)??ln(a?)?ln(b?)??ln(a?)?ln(b?)??ln(ab) qpqp1111 ?ln(?app?于是 ln(ab)?ln(?app??bqq?qp)

即 ab??appbqq?qp

特别地，当??1,p?q?2 时，此不等式就是前面例1的结果，即平均值不等式。 凸函数在一些几何和三角函数不等式证明中的精巧妙用如下。