课时作业48 双曲线
一、选择题
1．已知M(－2,0)，N(2,0)，|PM|－|PN|＝3，则动点P的轨迹是( )． A．双曲线 B．双曲线左边一支 C．双曲线右边一支 D．一条射线
2．与椭圆＋y＝1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是( )．
4A.－y＝1 4
x2
2
x2x2
2
B.－y＝1 2
2
x2
2
C.－＝1 D．x－＝1 332
3．如图，正六边形ABCDEF的两个顶点A，D为双曲线的两个焦点，其余4个顶点都在双曲线上，则该双曲线的离心率是( )．
y2y2
A.3＋1 C.3
B.3－1 D.2
x2y22
4．已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的一个顶点与抛物线y＝20x的焦点重合，该双
ab曲线的离心率为
5
，则该双曲线的渐近线斜率为( )． 2
41
A．±2 B．± C．±
32
3
D．±
4
x2y2
5．(2012山东高考)已知双曲线C1：2－2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2.若抛物线C2：
abx2＝2py(p＞0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为( )．
832
A．x＝y
32
C．x＝8y
2
1632
B．x＝y
32
D．x＝16y
6．设F1，F2是双曲线－y＝1的两个焦点，P在双曲线上，当△F1PF2的面积为2时，
3
→→
PF1·PF2的值为( )．
A．2 B．3 C．4 D．6
x2
x2y2
7．设圆C的圆心与双曲线2－＝1(a＞0)的右焦点重合，且该圆与此双曲线的渐近线
a2
相切，若直线l：x－3y＝0被圆C截得的弦长等于2，则a的值为( )．
A.2 B.3 C．2 D．3 二、填空题
22
8．(2012辽宁高考)已知双曲线x－y＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点．若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为__________．
y2→→2
9．已知双曲线x－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则PA1·PF2
3
的最小值为__________．
1
x2y2
10. (2012湖北高考)如图，双曲线2－2＝1(a，b＞0)的两顶点为A1，A2，虚轴两端点
ab为B1，B2，两焦点为F1，F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D.则
(1)双曲线的离心率e＝________；
(2)菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值＝________.
三、解答题 11．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． (1)求双曲线方程；
→→
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF1·MF2＝0； (3)求△F1MF2的面积．
22
12.(2012上海高考)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：2x－y＝1. (1)设F是C的左焦点，M是C右支上一点，若|MF|＝22，求点M的坐标；
(2)过C的左顶点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；
22
(3)设斜率为k(|k|＜2)的直线l交C于P，Q两点，若l与圆x＋y＝1相切，求证：OP⊥OQ.
S1S2
2
参考答案
一、选择题
1．C 解析：∵|PM|－|PN|＝3＜4，由双曲线定义知，其轨迹为双曲线的一支． 又∵|PM|＞|PN|，
∴点P的轨迹为双曲线的右支．
2．B 解析：椭圆＋y＝1的焦点为(±3，0)．
4
因为双曲线与椭圆共焦点，所以排除A，C.
又双曲线－y＝1经过点(2，1)，
2
所以选B.
3．A 解析：令正六边形的边长为m，则有AD＝2m，AB＝m，BD＝3m，
|AD|2m该双曲线的离心率等于＝＝3＋1.
||AB|－|BD||3m－mx2
2
x2
2
x2y2
4．C 解析：由抛物线y＝20x的焦点坐标为(5，0)，可得双曲线2－2＝1的一个顶点
ab坐标为(5，0)，即得a＝5.
cc555
又由e＝＝＝，可解得c＝，
a522
2
255222
则b＝c－a＝，即b＝.
42
b1
由此可得双曲线的渐近线的斜率为k＝±＝±.
a2
5．D 解析：由于e＝＝2，
∴c＝2a，即c＝4a.
22222
又有c＝a＋b，∴b＝3a，即b＝3a.
∴双曲线的渐近线方程y＝±x即为y＝±3x，即±3x＋y＝0. 又抛物线的焦点坐标为F?0，?，F到渐近线的距离为2，
?2?＝2，解得p＝8. 2
2
∴抛物线C2的方程为x＝16y. 即
1
6．B 解析：设点P(x0，y0)，依题意得，|F1F2|＝23＋1＝4，S?PF1F2＝|F1F2||y0|＝
2
2|y0|＝2，∴|y0|＝1.
x20→→2222
又∵－y0＝1，∴x0＝3(y0＋1)＝6，PF1·PF2＝(－2－x0，－y0)·(2－x0，－y0)＝x0＋
3
2
y0－4＝3.
2
7．A 解析：由题知圆心C(a＋2，0)，双曲线的渐近线方程为2x±ay＝0，圆心C22×a＋2
到渐近线的距离d＝＝2，即圆C的半径长为2. 2
2＋a由直线l被圆C截得的弦长为2及圆C的半径长为2，可知圆心C到直线l的距离为1，2
a＋2即＝1?a＝2.
1＋3
二、填空题
2
2
ca?
bap?
?0＋p??2???
3
8．23 解析：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，根据双曲线的定义及已知条件可得|m－n|＝2a222
＝2，m＋n＝4c＝8，
2
故mn＝2，(|PF1|＋|PF2|)
22
＝(m＋n)＝(m－n)＋4mn ＝4＋4×2＝12，
于是|PF1|＋|PF2|＝23.
9．－2 解析：由题可知A1(－1，0)，F2(2，0)．
→→→→
设P(x，y)(x≥1)，则PA1＝(－1－x，－y)，PF2＝(2－x，－y)，PA1·PF2＝(－1－x)(2222222
－x)＋y＝x－x－2＋y＝x－x－2＋3(x－1)＝4x－x－5.
12
∵x≥1，函数f(x)＝4x－x－5的图象的对称轴为x＝，
8
→→
∴当x＝1时，PA1·PF2取得最小值－2.
1＋55＋2
10．(1) (2) 解析：(1)连接OA.在Rt△B2OF2中，
22
∵OA＝a，OB2＝b，OF2＝c，
∴B2F2＝b＋c.
2222222
由等面积法可得bc＝b＋c·a，两边平方可得，bc＝(b＋c)a.①
2224224
又由b＝c－a代入①式可得，c－3ac＋a＝0.
442
同时除以a可得，e－3e＋1＝0，
3＋51＋52
解得，e＝，故e＝.
22(2)S1＝S菱形FBFB
112222
1
＝×2c×2b＝2cb， 2
在Rt△OAF2中，
∵OA＝a，OF2＝c，∴AF2＝b. ∴xA＝.
abca2
×a3bAB2OAa2a再由△OAB2∽△F2AO得，＝，即AB2＝，故yA＝＝2，因此，S2＝4xA·yA＝4
AOF2Abbbaba3a4S12cbb2c21b2c2125＋22××2＝4，于是＝4＝4＝·2·2＝(e－1)·e＝. cbbcS2a2a2aa22
4bc三、解答题
11．(1)解：因为e＝2，
22
所以可设双曲线方程为x－y＝λ. 因为双曲线过点(4，－10)， 所以16－10＝λ，即λ＝6.
4
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