所以双曲线方程为x－y＝6. (2)证明：由(1)可知a＝b＝6， 所以c＝23.
所以F1(－23，0)，F2(23，0)． 所以kMF1＝，kMF2＝，
3＋233－23
22
mmkMF1·kMF2＝
＝－. 9－123
因为点(3，m)在双曲线上，
22
所以9－m＝6，即m＝3.
故kMF1·kMF2＝－1，所以MF1⊥MF2.
→→
所以MF1·MF2＝0.
(3)解：△F1MF2的底边长|F1F2|＝43， △F1MF2的高h＝|m|＝3， 所以S?F1MF2＝6.
6?6???22
12．解：(1)双曲线C：－y＝1，左焦点F?－，0?，设M(x，y)，则|MF|＝?x＋?
12??2??2
22?2?2
＋y＝?3x＋?，
2??
由M点是右支上一点，知x≥所以|MF|＝3x＋得x＝
2
， 2
m2m2
x2
2
＝22， 2
6?6?.所以M?，±2?. 2?2?
(2)左顶点A?－
?
?2?
，0?，渐近线方程：y＝±2x. 2?
过点A与渐近线y＝2x平行的直线方程为：y＝2?x＋2
?x＝－，
4?y＝－2x，?
解方程组?得?
1?y＝2x＋1，??y＝2.所求平行四边形的面积为S＝|OA||y|＝
2
. 4
??2?
?，即y＝2x＋1. 2?
(3)设直线PQ的方程是y＝kx＋b.
|b|
因直线PQ与已知圆相切，故2＝1，
k＋1
22
即b＝k＋1.(*) ??y＝kx＋b，由?2 2
?2x－y＝1，?
222
得(2－k)x－2kbx－b－1＝0. 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
5
??x1
＋x2
＝2kb2－k2，则?－1－b2
??x1x2
＝2－k2
.又y1y2＝(kx1＋b)(kx2＋b)，所以 →OP·→
OQ＝x1x2＋y1y2
＝(1＋k2)x2
1x2＋kb(x1＋x2)＋b
22＝（1＋k）（－1－b）2k2b2
22－k2＋2－k2＋b
＝－1＋b2－k2
2－k2. 由(*)知，→OP·→
OQ＝0，所以OP⊥OQ.
6
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