多元函数的可微性及其应用论文

多元函数的可微性及其应用

摘 要：本文主要介绍了多元函数可微性的概念及其性质，并讨论了它在实际问题中的简单应用．

关键词：多元函数；可微性；可微性条件；实际应用

Differentiability of Multivariate Functions and Its Applications

Abscract：In this article，concepts and nature of differentiability of multivariate functions is introduced and its practical problems in a simple application is discussed．

Key words：Multivariate functions; Differentiability; Conditions of differentiability; Practical application

前言

一元函数是只有一个自变量的函数．但很多实际问题往往要牵涉到多个方面的因素，这就是多元函数．一元函数的微分理论能够相应地推广到多元函数〔两个或两个以上自变量的函数〕上来，并且有些微分理论可得到进一步的发展．这种推广，从数学角度来看，不仅是可能的，从实际应用来说，也是必需的．而学习多元函数的可微性是了解多元函数的基础．

1．可微与偏导数的定义

定义1 设D为一个非空的n元有序数组的集合，f为某一确定的对应规则．若对于每一个有序数组?x1,x2,?,xn??D，通过对应规则f，都有唯一确定的实数y与之对应，则称对应规则f为定义在D上的n元函数．记为y?f?x1,x2,?xn?．变量（xi，其中i是下标．下同）当n?1时，为一x1,x2,?,xn称为自变量y称为因变量．

元函数，记为z?f?x?,x?D；当n?2时，为二元函数，记为z?f?x,y?,?x,y??D．二元及以上的函数统称为多元函数．

定义2 设函数z?f?x,y?在点P0?x0,y0?的某邻域U?P0?内有定义，对于U?P0?中的点P?x,y???x0??x,y0??y?，若函数f在点P0处的全增量?z可表示为：

?z?f?x0??x,y0??y??f?x0,y0?

=A?x?B?y?????. (1)

其中A,B是仅与P0有关的常数，???x2??y2，????是较?高阶的无穷小量，则称f在点P0可微．并称（1）式中关于?x,?y的线性函数A?x?B?y为函数f在点P0的全微分，记作

dzP0?df?x0,y0??A?x?B?y.

(1)式也可写作

?z?A?x?B?y???x???y, (2)

这里

??x,?y???0,0?lim????x,?y???0,0?lim??0.

例1 讨论f?x,y??xy在P0?x0,y0?的可微性． 解 在点?x0,y0?处函数f的全增量为

?f?x0,y0???x0??x,y0??y??x0y0

=y0?x?x0?y??x?y, 由于

?x?y????x?y?????0 ???0?

因此?x?y?????，从而函数f在?x0,y0?可微，且df?y0?x?x0?y.

定义3 设z?f?x,y?在D?R2上有定义，P0?x0,y0??D．f?x,y0?在x0的某邻域内有定义．若limf?x0?x,y0??f?x0,y0? 存在，称极限值f为在P0关于x的偏导

?x?fP0． ?x?x?0数，记作 fx?x0,y0?或

同样可定义f在P0关于y的偏导数fy?x0,y0?或

?fP0． ?y例2 设f?x,y??x3?2x2y?y3，求fx?1,3?,fy?1,3?．

解 先求f在点?1,3?关于x的偏导数，为此，令y?3，得到以x为自变量的函数

1

f?x,3??x3?6x2?27，求它在x?1的导数，即

fx?1,3??df?x,3?dxx?1?3x2?12xx?1?15.

再求f在?1,3?关于y的偏导数，为此，先令x?1，得到以y为自变量的函数

f?1,y??1?2y?y3，求它在y=3的导数，得

fy?1,3??df?1,y?dxy?3?2?3y2y?3??25.

例3 求三元函数 u?sinx?y2?ez的偏导数． 解 把y和z看作常数，得

?u?cosx?y2?ez, ?x????把y和z看作常数，得

?u?2ycosx?y2?ez, ?y??把x和y看作常数，得

?u?ezcosx?y2?ez. ?z??2．可微性条件

定理1（可微的必要条件） 若二元函数f在其定义域内P0?x0,y0?点可微，则函数z?f?x,y?在P0?x0,y0?的两个偏导数fx?P0?,fy?P0?必存在，且

A?fx?x0,yo?;B?fy?x0,y0?.

证 如果z?f?x,y?在点P0?x0,y0?可微，于是在点P0?x0,y0?的某个领域内的任意一点P'x0??x,y??y，有?z?A?x?B?y?????总成立．特别当?y?0时，上式仍成立．此时???x，则

??f?x??x,y??f?x,y??A?x????x?,

上式两边各除以?x，再令取极限?x?0，得到

?x?0limf?x??x,y??f?x,y??A,

?x2

从而偏导数fx?P0?存在，且fx?P0??A. 同理得B?fy?x0,y0?. 所以

dzP0?fx?P0??x?fy?P0??y.

例4 考察函数

?0,x2?y2?0,?xy f?x,y???,x2?y2?0,?x2?y2?在原点的可微性．

解 按偏导数定义

fx?0,0??lim?x?0f??x,0??f?0,0?0?0?lim?0. ?x?0?x?x同理可得fy?0,0??0．若函数f在原点可微，则

?z?dz?f?0??x,o??y??f?0,0??fx?0,0??x?fy?0,0??y

??x?y?x??y22.

应是较???x2??y2高阶的无穷小量．为此，考察极限

lim??0?z?dz??lim?x?y.

??0?x2??y2又因上述极限不存在，因而函数f在原点不可微．

定理2（可微的充分条件） 设函数z?f?x,y?在点P0?x0,y0?的某邻域U?P0?中存在偏导数，且偏导数fx,fy在P0点连续，则函数f在点P0处可微．

证 我们把全增量写作

?z?f?x0??x,y0??y??f?x,y?

??f?x0??x,y0??y??f?x0,y0??y?? ??f?x0,y0??y??f?x0,y0??.

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