多元函数的可微性及其应用论文

在第一个括号内，它是函数f?x,y0??y?关于x的偏增量；在第二个括号内，则是函数f?x0,y?关于y的偏增量．应用拉格朗日中值定理，得

?z?fx?x0??1?x,y0??y??x?fy?x0,y0??2?y??y, 0??1,?2?1. (3)

由于fx与fy在点?x0,y0?连续，因此有

fx?x0??1?x,y0??y??x?fx?x0,y0???, (4)

fy?x0,y0??2?y??y?fy?x0,y0???, (5)

其中当??x,?y???0,0?时，??0,??0．将(4)， (5)代入(3)式，则得

?z?fx?x0,y0??x?fy?x0,y0??y???x???y.

由(2)式可知函数f在点P0可微．

例5 函数

?0,x2?y2?0,?f?x,y???22 122x,ysin,x?y?0,?x2?y2???在原点?0,0?可微，而fx?(x,y),fy?(x,y)在原点?0,0?却间断．

定理3 设f在P0?x0,y0?的某邻域U?P0?中存在偏导数．??x,y??U?P0?，则存在

??x0??1?x?x0?,??y0??2?y?y0?,?1,?2??0,1?.

使

f?x,y??f?x0,y0??fx??,y??x?x0??fy?x0,???y?y0?.

3．函数连续、偏导数存在与可微的关系

我们以二元函数z?f?x,y?为例，验证多元函数连续，偏导数存在与可微的关系，取P0?x0,y0?．

极限limf?P??A存在时，要求函数f?x,y?在P0的某去心领域中有定义，并不要

P?P0求f在点P0有定义．

f?P?在P0连续是指P?P0时，f?P?的极限存在而且等于f?P0?．这里要求f?P?

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在P0的某领域中有定义，包括f?P0?有定义；从增量角度说，f?P?在点P0连续，表示函数在此点的增量是无穷小，即随P?P0而趋于0．

f?P?在点P0可微，要求函数在此点出增量不但是无穷小，而且可分出一个线性部分，使得两者之差是关于???x2??y2的高阶无穷小．

偏导数研究的是函数依赖于一个自变量变化时的性质．在一般情况下，它与函数极限存在、连续等性质无必要与充分的关系．

全微分与偏导数的关系是全微分存在，则偏导数一定存在；而偏导数存在，不能保证可微性．

由此可得到可微的充分条件．

例6 若z?f?x,y?在P0点的某领域中两个偏导数都存在，其中一个，比如

?f在此领域中连续，则z?f?x,y?在点P0可微． ?x证 首先将函数增量按两个方向分解

?f?x0,y0??f?x0??x,y0??y??f?x0,y0?

?f?x0??x,y0??y??f?x0,y0??y??f?x0,y0??y??f?x0,y0?

??f?x0???x,y0??y???f?x0,y0??????x????1?y. ???x?y??第二项的来源是因为

limf?x0,y0??y??f?x0,y0??f?x0,y0??,

?y?y?y?0推出

f?x0,y0??y??f?x0,y0??f?x0,y0?????1?,

?y?y即

f?x0,y0??y??f?x0,y0???f?x0,y0??y???1??y. ?y又由于

?f?x,y?在P0点领域中连续，从而有 ?x 5

?f?x0???x,y0??y??f?x0,y0?????1?.

?x?x这样就有

?f?x0,y0???f?x0,y0??f?x0,y0??x??y??x??1???y??1? ?x?y?f?x0,y0??f?x0,y0??x??y?????. ?x?y?也就是说f在P0点可微．

4．可微性的几何意义

一元函数可微，在几何上反映为曲线存在不平行与轴的切线．对于二元函数来说，可微性则反映为曲面与其切平面之间的类似关系．

定义4 设是P曲面S上的一点，?为通过点P的一个平面，曲面S上的动点Q到定点P和到平面?的距离分别为d与h．当Q在S上以任何方式趋近于P时，恒有

h?0，则称平面?为曲面S在点P处的切平面，P为切点． d定理4 曲面z?f?x,y?在P0?x0,y0,f?x0,y0??存在不平行z轴的切平面?的充要条件是f在P0?x0,y0?可微．

定义5若z?f?x,y?在P0?x0,y0?可微，则曲面z在点P0?x0,y0,z0?处的切平面方程为

z?z0?fx?P0??x?x0??fy?P0??y?y0?.

法线的方向数为

??fx?x0,y0?,fy?x0,y0?,?1?.

过切点P法线方程为：

x?x0y?y0z?z0??. fx?P0?fy?P0??1例7 求曲面z?x2?y2?1在点?2,1,4?的切平面方程和法线方程以及法线的方向余弦．

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解 令f?x,y??x2?y2?1,则fx?(x,y)?2x,fy?(x,y)?2y.即

fx?(2,1)?2,fy?(2,1)?2.

所以切平面方程为

4?x?2??2?y?1??z?z?4??0,

即

4x?2y?z?6?0.

法线方程为

x?2y?1z?4??. 42?1又因??1?42?22?21,则法线的方向余弦为：

cos??4?21 cos??2?21 cos???1?21.

5．全微分在近似计算中的应用

由全微分定义的说明知，有下列近似计算公式：

f?x0??x,y0??y??f?x0,y0??fx?x0,y0??x?fy?x0,y0??y.

可利用上述公式求近似计算与误差估计．

例8 求?1.08?3.06的近似值．

解 设f?x,y??xy，令x0?1,y0?4,?x?0.08,?y??0.04 由公式有：

1.083.96?f?x0??x,y0??y?

?f?1,4??fx?1,4??x?fy?1,4??y

?1?0.32?1.32.

例9应用公式S?1absinC计算某三角形面积，现测得a,b,C．若测量a,b的误2差为0.01，C的误差为0.1?，求用此公式计算三角形面积时的绝对误差限与相对误差限．

解 依题意，测量中a,b,C的绝对误差限分别为

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?a?0.01,?b?0.01,?C?0.1???1800.

由于

?S?dS??S?S?S?a??b??C ?a?b?C?S?S?S?a??b??C ?a?b?C111bsinC?a?asinC?b?abcosC?C. 222??将各数据代入上式，得到S的绝对误差限为

?S?0.03.

因为

S?111absinC??12?50?8.30??25.94. 222所以的相对误差限为

?S0.13??0.5%. S25.94

参考文献：

[1]华东师范大学数学系．数学分析（下册）（第三版）[M]．北京高等教育出版社，2009． [2]吴良森，毛羽辉．数学分析习题精解[M]．科学出版社，2003． [3]罗汉，曹定华．多元微积分与代数[M]．科学出版社，2000． [4]魏国华．多元微积分[M]．上海科学技术出版社，1999． [5]刘坤林，谭泽光．大学数学[M]．清华大学出版社，2001．

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