L郊区 城区 郊区 L城区 B(l,b)B(l,b) D(c,y1)A(0,a1)C'(x,y) A(0,a1)D(c,y1) C'(x,y)C(x,0)b O C(x,0)a O
图（5.21）
当火车站位于郊区时（如上图a），位于城区的管道线路就只有BD段，：
Z1?AC'?WA?CC'?WS?DC'?WB?BD??WB?WP?
当火车站位于城区时（如上图b），位于城区的管道有BC、CC和DC三段，
'''Z2?AD?WA?DC'??WA?WP??CC'??WS?WP??BC'??WB?WP? 所以对于模型四为
?Z1?AC'?WA?CC'?WB?DC'?WC?BD??WB?WP?MinZ??
??????Z?AD?W?DC'?W?W?CC'?W?W?BC'?W?WAAPSPBP?25.2.2模型四求解：
由题目可求得p?23.4(万元/千米)。根据题意，a?3(千米)，b?8(千米)，
c?15(千米)，l?20(千米)，wA?wB?wS?9.5(万元/千米)。带入题目可得 当火车站建在郊区时：
2minZ1???x2??3?y??y??22?y1?y?2??15?x?2???9.5??25?15???8?y1??(9.5?23.54)??0?x?15?s.t.?y?0 ?0?y?81?当火车站建在城区时：
2minZ2?152??3?y1??9.5?????x?15?2??y1?y?2?y??25?x?2??8?y?2????9.5?23.54???15?x?25?s.t.?y?0 ?0?y?81?运用Lingo软件编程求解（程序见附录）
可以得到以下两种情况下的结果如下表： 车站建在郊区 车站建在城市 总费用（万元） 502.6264 568.4405 城郊结合处坐标（x,y） (15，6.547257) (15,0) 铁路坐标(x,y) (4.427985,0) (15,0) 两厂管道交汇处坐标（x,y） (4.427985，0.4435016) 无共用管线 ,568.4405)?502.6264 则有Z?min(Z1,Z2)?min(502.6264所以最优方案总花费为502.6264万元，车站建在距离坐标远点4.427985千米的火车
道上。，两油厂的管线在坐标(4.427985，0.4435016)处交接，然后使用公共管线垂直到达铁路线上的车站。
用matlab做出其准确图形如下：
109炼油厂B876千米管线的城郊交界处54炼油厂A3210O-1051015千米202530两炼油厂的管线交界处车站位置
5.3问题三
5.3.1 模型五的建立
在问题二中，我们已经建立了近似ws?wA?wB情况下的一般模型。本问题和问
题二相比，正好是管线铺设费用的数值不一样了的情况，根据问题2模型具有的推广性质，我们完全可以用问题二的模型来解决问题三。
Z1?AC'?WA?CC'?WB?DC'?WC?BD??WB?WP??MinZ??
??????Z?AD?W?DC'?W?W?CC'?W?W?BC'?W?WAAPSPBP?25.3.2模型五的求解
根据题意，我们将数据a?3(千米)，b?8(千米)，c?15(千米)，l?20(千米)，
WA?7.6(万/千米)，WB?8?万/千米?，WS?11.2?万/千米?，WP?23.54（万/千米）代入模型得
将火车站建立在郊区时：
MinZ1?x2?(3?y)2?7.6?(y1?y)?(15?x)2?8?y?11.2??0?x?15?s.t.?y?0 ?0?y?81?将火车站建立在城区时：
?25?15???8?y1?22?(8?23.54)
MinZ2?152??3?y1??7.6?(x?15)2?(y?y1)2??7.6?23.54??2(25?x)?(8?y)?(8?23.54)?y?(11.2?23.54)22
?15?x?25?s.t.?y?0
?0?y?81?用Lingo编程求解（程序见附件）可解出结果如下： 总费用（万元） 管线的城郊处坐标（x,y） 铁路坐标(x,y) 两厂管道交汇处坐标（x,y） 车站建在郊区 458.6181 （15，6.561749） （5.323864,0） 无共用管线 车站建在城市 520.1667 （15，0.2040007E-07） （15,0） 无共用管线 所以最优方案总花费为458.6181万元，车站建在距离坐标远点5.323864千米的火车道上。，两厂无共用管道。
用matlab做出其准确图形如下：
109炼油厂B876管线的城郊交界处千米54炼油厂A321车站位置0O-1051015千米202530
6、模型结果分析与检验
对于问题一，当管线费用相同我们出了用以上方法证明之外，我们也可以根据费马点来来证明此点为管线交接的最优点有且仅有此点三角形的内角都小于120°的情况：首先证明CC',BB',AA'三条线交于一点。 设P为线段CC'和BB'的交点。注意到三角形C'AC和三角形BAB'是全等的，三角形C'AC可以看做是
三角形B'AB以A点为轴心顺时针旋转60度得到的，所以角∠C'PB等于60度，和∠C'AB相等。因此，
A.B.C'.P四点共圆。同样地，可以证明A.B'.C.P四点共圆。于是：
0∠APB?∠APC?1200从而∠CPB?120。于是可以得出：A'.B'.C.P四点共圆，即
∠
A'PB?∠A'CB?600,∠A'PA?∠APB?∠APB?1200?600
A.A'.P三点共线。也就是说CC'.BB'.AA' 三条线交于一点。接下来证明交点P就是到三个顶点距离之和最小的点。
在线段AA'上选择一点Q，使得QP ? PC。由于∠QPC?600，所以等腰三角形PQC是正三角形。于是∠PCB?∠QCA'。同时QC ? PC、BC ? A'C，于是可以得出三角形
BPC和三角形A'QC是全等三角形。所以QA' ? PB。综上可得出：PA ? PB ? PC ? AA' 对
于平面上另外一个点P'，以P'C为底边，向下作正三角形P'Q'C。运用类似以上的推理可以证明三角形BP'C和三角形A'Q'C是全等三角形。因此也有：
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