取1球，摸取3次，则摸到红球次数的期望为________．
C3C39
解析：①每次取1球，摸取3次，则恰有两次是红球的概率P＝3＝.
C620
31
②设摸到红球的次数为X，则X的可能取值为0,1,2,3，则每次摸到红球的概率为＝.P(X621?3－kk?1?k?＝k)＝C3???1－?，(k＝0,1,2,3)．
?2??2?
1331
∴P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，
88883313
∴E(X)＝0＋1×＋2×＋3×＝.
888293
答案：
202
15．某班班会，准备从包括甲、乙两人的7名学生中选取4名学生发言，要求甲、乙两人至少有1人参加，则甲、乙都被选中且发言时不相邻的概率为________．
解析：若无限制条件则有A7种情况；若甲、乙两人都不被选中则有A5种情况，因此甲、乙两人至少有1人被选中有A7－A5种情况．甲、乙两人都被选中且发言时不相邻共有A5·A3种情况，A5·A31
故所求概率为P＝44＝.
A7－A56
1答案：
6
1312
16．(2017·成都模拟)已知函数f(x)＝mx＋nx＋x＋2 017，其中m∈{2,4,6,8}，n∈
32{1,3,5,7}，从这些函数中任取两个不同的函数，则它们的图象在(1，f(1))处的切线相互平行的概率是________．
13122
解析：函数f(x)＝mx＋nx＋x＋2 017，导函数为f′(x)＝mx＋nx＋1，可得在(1，f(1))
32处的切线斜率为m＋n＋1.切线相互平行，即斜率相等，则(m，n)可为(2,7)，(8,1)，(4,5)，(6,3)；(2,5)，(4,3)，(6,1)；(2,3)，(4,1)；(4,7)，(6,5)，(8,3)；(8,5)，(6,7)，共C4＋C3＋1＋C31472
＋1＝14组，又总共有C16＝120组，则它们的图象在(1，f(1))处的切线相互平行的概率是＝.
12060
7
答案：
60
17.如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为
2
2
2
2
2
4
4
2
2
4
421
X，则X的均值E(X)等于________．
- 5 -
3279×6543×12
解析：由题意X可取0,1,2,3，且P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝
125125125125125＝
368543686
，P(X＝3)＝.故E(X)＝＋2×＋3×＝. 12512512512512556答案：
5[选做题]
3
1．经检测，有一批产品的合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为
4
3
ξ，则P(ξ＝k)取得最大值时，k的值为( )
A．5 C．3
B．4 D．2
?3?5－kk?3?k0
解析：选B 根据题意得，P(ξ＝k)＝C5??×?1－?，k＝0,1,2,3,4,5，则P(ξ＝0)＝C5
?4??4??3?0×?1?5＝1，?3?1?1?415P(ξ＝2)＝C2?3?2×?1?3＝90，?3?3?1?P(ξ＝3)＝C3?4??4?45P(ξ＝1)＝C15??×??＝5，5????5??×??5?????4??4?4?4??4?4?4??4?
2
＝
270?1?1405，P(ξ＝5)＝C5?3?5×?1?0＝243，故当k＝4时，P(ξ＝k)4?3?4
5????5，P(ξ＝4)＝C5??×??＝
4?4??4?45?4??4?45
最大．
2．已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球(m≥3，n≥3)，从乙盒中随机抽取i(i＝1,2)个球放入甲盒中．
(1)放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi(i＝1,2)；
(2)放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi(i＝1,2)．则( ) A．p1>p2，E(ξ1)
B．p1 解析：选A 法一(特值法)：取m＝n＝3进行计算、比较即可． 法二(标准解法)：从乙盒中取1个球时，取出的红球的个数记为ξ，则ξ的所有可能取值为0,1，则P(ξ＝0)＝＝1)＋2·P(ξ1＝2)＝ nmm＋n＝P(ξ1＝1)，P(ξ＝1)＝ mm＋n＝P(ξ1＝2)，所以E(ξ1)＝1·P(ξ1 m＋n＋1，所以p1＝ Eξ1 2 ＝ 2m＋n；从乙盒中取2个球时，取出的 2m＋n2 Cn红球的个数记为η，则η的所有可能取值为0,1,2，则P(η＝0)＝2＝P(ξ2＝1)，P(η＝1) Cm＋nCnCmCm＝2＝P(ξ2＝2)，P(η＝2)＝2＝P(ξ2＝3)，所以E(ξ2)＝1·P(ξ2＝1)＋2P(ξ2＝2)＋3P(ξ2 Cm＋nCm＋n＝3)＝ 2mE＋1，所以p2＝m＋n11 2 ξ2 3 ＝3m＋n，所以p1>p2，E(ξ1) 3m＋n - 6 - 1 3．现有甲、乙、丙三人参加某电视台的应聘节目《非你莫属》，若甲应聘成功的概率为， 2乙、丙应聘成功的概率均为(0 2为ξ，当且仅当ξ为2时概率最大，则E(ξ)的取值范围为________． 2－t?1??t??t?解析：由题意知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3.P(ξ＝0)＝?1－??1－??1－?＝ 8?2??2??2?2 t； P(ξ＝1)＝12×???1－t2??????1－t2???＋2×???1－12???×t2×??t?1－2??4－t2? ＝8； P(ξ＝2)＝2×1t?t??1?tt4t－t2 2×2×??1－2??＋??1－2??×2×2＝8 ； 2 P(ξ＝3)＝1ttt2×2×2＝8. 故ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 2－t2t2t－t28 4－ 4t288 8 2222∴E(ξ)＝0× 2－t8 ＋1×4－t4t－tt18＋2×8＋3×8＝t＋2 ， 由题意知P(ξ＝2)－P(ξ＝1)＝ t－1 2 >0， 2 P(ξ＝2)－P(ξ＝0)＝－t＋4t－2 4>0， 2 P(ξ＝2)－P(ξ＝3)＝2t－t4>0， 又0 . 答案：??35?2，2??? - 7 -
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