??a2?ma?m?2?b,L①?∴?2 ???a?ma?m?2??b.L②①＋②得：－2a－2m＋4＝0 . ∴a＝－m＋2 . ∴当m＜2时，才存在满足条件中的两点M、N. ∴a??2?m .
这时M、N到y轴的距离均为2?m, 又点C坐标为（0，2－m）,而S△M N C = 27 , ∴2××（2－m）×2?m=27 . ∴解得m=－7 .
12.已知：抛物线y＝ax2＋4ax＋t与x轴的一个交点为A（－1，0）． （1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标； （2）D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，
AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的解
且以析式；
1222
（3）E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为5∶2的点，如果点E在（2）
中的抛物线上，且它与点A在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△APE的周长最小?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 解法一：
（1）依题意，抛物线的对称轴为x＝－2． ∵ 抛物线与x轴的一个交点为A（－1，0），
∴ 由抛物线的对称性，可得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（－3，0）．
（2）∵ 抛物线y＝ax2＋4ax＋t与x轴的一个交点为A（－1， 0）， ∴ a(－1)2＋4a(－1)＋t＝0．∴ t＝3a．∴ y＝ax2＋4ax＋3a．
∴ D（0，3a）．∴ 梯形ABCD中，AB∥CD，且点C在抛物线y＝ax2＋4ax＋3a 上，
∵ C（－4，3a）．∴ AB＝2，CD＝4．
∵ 梯形ABCD的面积为9，∴ (AB?CD)?OD＝9．∴ (2＋4)3a＝9． ∴ a±1．
∴ 所求抛物线的解析式为y＝x2＋4x＋3或
y＝?x2?4ax?3．
1212 （3）设点E坐标为（x0，y0）.依题意，x0＜0，y0＜0，
55＝．∴ y0＝－x0．
2x02 且
y0 ①设点E在抛物线y＝x2＋4x＋3上，
2＋4x0＋3． ∴y0＝x01??5?x＝?，??x0＝?6，?0?y0＝－x0,2 解方程组? 得? 2?5y＝15；?0?y?＝．?y＝x2＋4x＋300?00?4? ∵ 点E与点A在对称轴x＝－2的同侧，∴ 点E坐标为（?，）． 设在抛物线的对称轴x＝－2上存在一点P，使△APE的周长最小． ∵ AE长为定值，∴ 要使△APE的周长最小，只须PA＋PE最小． ∴ 点A关于对称轴x＝－2的对称点是B（－3，0）， ∴ 由几何知识可知，P是直线BE与对称轴x＝－2的交点． 设过点E、B的直线的解析式为y＝mx＋n，
1?5m＝,?1????m＋n＝,2 ∴ ?2 4 解得?3?n＝.??－3m＋n＝0.?2?1254 ∴ 直线BE的解析式为y＝x＋．∴ 把x＝－2代入上式，得y＝． ∴ 点P坐标为（－2，）．
2?4x0?3． ②设点E在抛物线y＝?x2?4x?3上，∴ y0＝?x0123212
125?3?y0＝－x0,2 解方程组? 消去y0，得x0?x0＋3＝0． 22?y＝?x2?4x?3.00?0 ∴ △＜0 . ∴ 此方程无实数根．
综上，在抛物线的对称轴上存在点P（－2，），使△APE的周长最小．
12解法二：
（1）∵ 抛物线y＝ax2＋4ax＋t与x轴的一个交点为A（－1，
0），
∴ a(－1)2＋4a(－1)＋t＝0．∴ t＝3a．∴
y＝ax2＋4ax＋3a．
令 y＝0，即ax2＋4ax＋3a＝0．解得 x1＝－1，x2＝－3． ∴ 抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（－3，0）． （2）由y＝ax2＋4ax＋3a，得D（0，3a）． ∵ 梯形ABCD中，AB∥CD，且点C在抛物线
y＝ax2＋4ax＋3a上，
∴ C（－4，3a）．∴ AB＝2，CD＝4．
∵ 梯形ABCD的面积为9，∴ 12(AB＋CD)?OD＝9．解得OD＝3． ∴ 3a＝3．∴ a±1．
∴ 所求抛物线的解析式为y＝x2＋4x＋3或y＝－x2－4x－3． （3）同解法一得，P是直线BE与对称轴x＝－2的交点． ∴ 如图，过点E作EQ⊥x轴于点Q．设对称轴与轴的交点为F．
x
由PF∥EQ，可得
BFPF11PF＝．∴ ＝．∴ PF＝．
55BQEQ224 ∴ 点P坐标为（－2，）． 以下同解法一．
13.已知二次函数的图象如图所示．
（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标．
（2）若点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q．当点N在线段BM上运动时（点N不与点B，点M重合），设NQ的长为l，四边形NQAC的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围； （3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）将△OAC补成矩形，使△OAC的两个顶点成为矩形
一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）．
解：（1）设抛物线的解析式y?a(x?1)(x?2)， ∴ ?2?a?1?(?2)．∴ a?1．∴ y?x2?x?2．
?1?29?4?12??． 其顶点M的坐标是?， （2）设线段BM所在的直线的解析式为y?kx?b，点N的坐标为N（t，h），
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