导数综合练习题

∵一次函数在(x1,x2)g(x)?(lnx2?lnx1)x?x1?x2是增函数

∴方程xlnx2?xlnx1?x1?x2?0在x0?(x1,x2)有唯一解，命题成立………（12分） 注：仅用函数单调性说明，没有去证明曲线C不存在拐点，不给分． 12．（本小题满分14分）

定义F(x,y)?(1?x)y,x,y?(0,??)，

（I）令函数f(x)?F(3,log2(2x?x2?4))，写出函数f(x)的定义域；

（II）令函数g(x)?F(1,log2(x3?ax2?bx?1))的图象为曲线C，若存在实数b使得曲线C在

x0(?4?x0??1)处有斜率为－8的切线，求实数a的取值范围；

（III）当x,y?N*且x?y时，求证F(x,y)?F(y,x)．

解：（I）log2(2x?x2?4)?0，即2x?x2?4?1 ……………………（2分）

得函数f(x)的定义域是(?1,3)， ……………………（4分） （II）g(x)?F(1,log2(x2?ax2?bx?1))?x3?ax2?bx?1,

设曲线C在x0(?4?x0??1)处有斜率为－8的切线，

又由题设log2(x3?ax2?bx?1)?0,g?(x)?3x2?2ax?b,

2?3x0?2ax0?b??8①?∴存在实数b使得??4?x0??1 有解， ……………………（6分）

②

?32?x0?ax0?bx0?1?1③ 22由①得b??8?3x0?2ax0,代入③得?2x0?ax0?8?0，

2??2x0?ax0?8?0有解， ……………………（8分） ?由????4?x0??188?[8,10)， 方法1：a?2(?x0)?，因为?4?x0??1，所以2(?x0)?(?x0)(?x0)当a?10时，存在实数b，使得曲线C在x0(?4?x0??1)处有斜率为－8的切线

………………（10分）

方法2：得2?(?4)?a?(?4)?8?0或2?(?1)?a?(?1)?8?0，

?a?10或a?10,?a?10. ………………（10分） ?2?(?4)2?a?(?4)?8?0?方法3：是?的补集，即a?10 ………………（10分）

2??2?(?1)?a?(?1)?8?022x?ln(1?x)ln(1?x)1?x（III）令h(x)? ,x?1,由h?(x)?2xxx11?x?ln(1?x),x?0, ?p?(x)?又令p(x)????0， 1?x(1?x)21?x(1?x)2?p(x)在[0,??)单调递减. ……………………（12）分

?当x?0时有p(x)?p(0)?0,?当x?1时有h?(x)?0,

?h(x)在[1,??)单调递减，

ln(1?x)ln(1?y)?1?x?y时,有?,?yln(1?x)?xln(1?y),?(1?x)y?(1?y)x，

xy?当x,y?N?且x?y时F(x,y)?F(y,x). ………………（14分）