数学实验上机考试

2012-2013学年第一学期数学实验上机试卷

B11数学 康兴贵 110601105

一、上机操作题

1. 画出以下函数图形（要求写出程序和结果）： ?x3?4x?1⑴ f(x)???x?2x?1x?1 ⑵16x2?9y2?9z2??25

结果：⑴ x=1:0.005:5;plot(x,x.^3+4*x+1);hold on; x=-5:0.005:1;plot(x,x+2) 2.[x,y]=meshgrid(-5:0.1:5);z=1/3*sqrt(16*x.^2-9*y.^2+25);surf(x,y,z)

第二小题的图形 第一题的图形 2. 计算下列极限（要求写出程序和计算结果）：

1n

⑴ lim(ntann??)n2 ⑵limx?0x

(1?cosx)ln(1?x)x?b?xb3sinx?xcos21⑶ limsin(2xy)y ⑷lim

x?0y?ax?0结果：⑴syms n;f=(n*tan(1/n)).^(n.^2);limit(f,n,inf) 运行结果：ans =exp(1/3)

⑵syms x;f=(3*sin(x)+x.^2*cos(1/x))/((1+cos(x))*log(1+x));limit(f,x,0) 运行结果：ans =3/2 ⑶ syms x y a;f=(sin(2*x*y))/(y);limit(limit(f,y,a),x,0） 运行结果：ans =0

⑷syms x b;f=(sqrt(x+b)-sqrt(b))/(x);limit(f,x,0) 运行结果：ans =1/2/b^(1/2)

3. 求下列函数的导数（要求写出程序和计算结果）： ⑴ y?xaax2?x?a(t?sint)dy(a?0,x?0)求y' ⑵?求 2y?a(1?cost)dx?⑶ y?(sinx)cosx2求y' ⑷u(x,y)?ex?y22求u,u及'x'y?u?x2x?0y?12

结果：⑴syms x a;f=(x.^a)*(a.^x);f=diff(f,x) 运行结果：f =x^a*a/x*a^x+x^a*a^x*log(a)

⑵syms t a;x=a.*t-a.*sin(t);y=a.*1-a.*cos(t); f1=simple(diff(y,t)./diff(x,t)),f2=simple(diff(f1,t)./diff(x,t)) 运行结果：f1 =-sin(t)/(-1+cos(t))，f2 =-1/(1-2*cos(t)+cos(t)^2)/a ⑶syms x;f=(sin(x)).^(cos(x)).^2;f=diff(f,x) 运行结果：f =2*(sin(x)^cos(x))^2*(-sin(x)*log(sin(x))+cos(x)^2/sin(x))

⑷syms x y;z=exp(x.^2+y.^2);zx=diff(z,x,1),zy=diff(z,y,1),zxx=diff(z,x,2) 运行结果：zx =2*x*exp(x^2+y^2)，zy =2*y*exp(x^2+y^2)，zxx =2*exp(x^2+y^2)+4*x^2*exp(x^2+y^2) 4. 计算下列积分（要求写出程序和计算结果）： ⑴ ?11?x2ln1?x1?xdx ⑵?22?0secx2?tanx22dx

(3)??xdxdyD1?x?y122 其中D={(x,y):y?2x,0?x?2}

(4)?Lx?y?z22222dl其中L为空间螺旋线x?acost,y?asint,z?bt(0?t?2?,b?0) .

2(5) ??(x?y?z)dS 其中S是球x2?y2?z2?2az.

S2222(6)???xdydz?ydzdx 其中S为球面(x?a)?(y?b)?(z?c)?R的外侧.

S22结果：⑴ syms x;f=(1/(1-x.^2)*log((1+x)/(1-x)));int(f,x) 运行结果：ans =1/4*log(-1-2/(x-1))^2 ⑵syms x;f=(sec(x)).^2/(2+(tan(x)).^2);int(f,x,0,2*pi)

运行结果：ans =2^(1/2)*pi ⑶ syms x y;f=x/(sqrt(1+x.^2+y.^2));int(int(f,y,-sqrt(2*x),sqrt(2*x)),x,0,2) 运行结果： ans = int(log(2^(1/2)*x^(1/2)+((x+1)^2)^(1/2))*x-log(-2^(1/2)*x^(1/2)+((x+1)^2)^(1/2))*x,x = 0 .. 2) ⑷syms t a ;syms b positive;x=a*cos(t);y=a*sin(t);z=b*t I=int(1/(x.^2+y.^2+z.^2).*sqrt(diff(x,t).^2+diff(y,t).^2+diff(z,t).^2+diff(1,t).^2),t,0,2*p

i) 运行结果： z =b*t,I =atan(2*pi*b/a)*(a^2+b^2)^(1/2)/b/a ⑸ syms x y z;f=(x.^2+y.^2+z.^2);int(int(int(f,z,0,sqrt(a.^2-x.^2-y.^2)+a),y,-a,a),x,-a,a) 运行结果： ans =-4/15*a^5*(-9*i*signum(x)-8*i*signum(x)*log(-i*signum(x))+8*i*signum(x)*log(2)-20) ⑹ syms a b c R r o ;f=sqrt(R.^2-r.^2);4*a.*int(int(f,r,0,R),o,0,2*pi) 运行结果：ans = 2*a*(R^2)^(1/2)*pi^2/(1/R^2)^(1/2)

最终结果：2*(a+b)*(R^2)^(1/2)*pi^2/(1/R^2)^(1/2) 5. 判断以下级数的敛散性：

??⑴ ?(n?1n2n?1??) ⑵ ?nxnnn?12n

结果：⑴syms n;f=(n/(2*n+1)).^n;symsum(f,n,1,inf)

运行结果： ans =sum((n/(2*n+1))^n,n = 1 .. Inf) 发散 ⑵syms n x;f=(x.^n)/((2.^n)*n);symsum(f,n,1,inf)

运行结果：ans =-log(1-1/2*x) 收敛 6. 用两种以上的方法求解下列方程组： ?x1?2x2?3x3?4x4?4??x2?x3?x4??3 ??x1?3x2?x4?1??7x?3x?x??3234?

结果：方法一：A=[1,-2,3,-4;0,1,-1,1;1,3,0,1;0,-7,3,1];C=[4;-3;1;-3];A\\C 运行结果：ans =

-8.0000 3.0000 6.0000

0.0000

方法二： a_1=[1;0;1;0]; a_2=[-2;1;3;-7]; a_3=[3;-1;0;3]; a_4=[-4;1;1;1]; b=[4;-3;1;-3];

D=det([a_1,a_2,a_3,a_4]); D_1=det([b,a_2,a_3,a_4]); D_2=det([a_1,b,a_3,a_4]); D_3=det([a_1,a_2,b,a_4]); D_4=det([a_1,a_2,a_3,b]); x1=D_1/D x2=D_2/D x3=D_3/D x4=D_4/D

运行结果：x1 =

-8

x2 =

3

x3 =

6

x4 =

0

二、写出解题的思想，计算过程和程序，结果及分析等内容.

⑴在某化学反应里，由实验得到生成物的浓度y与时间t有如下关系，求浓度与时间的关系的拟合函数．（30分）

t (分钟) 1 4 9 10.0 2 6.4 10 10.2 3 8.0 11 10.32 4 8.4 12 10.42 5 9.28 13 10.5 6 9.5 14 10.55 7 9.7 15 10.58 8 9.86 16 10.6 y t (分钟) y ⑵某公司刊登广告：“现有一栋住宅楼，每套只需自备七万元，其余由公司贷款，贷款可分期偿还，每月只需800元，十年还清。”现在的问题是如果一次性付清该付多少（即该房屋的实际价格是多少）？如果贷款，买房人实际借了多少钱？（假设月利率为1%）（40分）

⑶ 因某地区在2003年初有疾病发生，对该地区的旅游业带来了影响。请根据以下数据分析该疾病对这一地区的旅游影响效果，并给出2003年9-12月的旅游人数估计值。（50分）

某地区接待旅游人数（单位：万人）

年 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 9.4 11.3 16.8 19.8 20.3 18.8 20.9 24.9 24.7 24.3 19.4 18.6 9.6 11.7 15.8 19.9 19.5 17.8 17.8 23.3 21.4 24.5 20.1 15.9 10.1 12.9 17.7 21.0 21.0 20.4 21.9 25.8 29.3 29.8 23.6 16.5 11.4 26.0 19.6 25.9 27.6 24.3 23.0 27.8 27.3 28.5 32.8 18.5 11.5 26.4 20.4 26.1 28.9 28.0 25.2 30.8 28.7 28.1 22.2 20.7 13.7 29.7 23.1 28.9 29.0 27.4 26.0 32.2 31.4 32.6 29.2 22.9 15.4 17.1 23.5 11.6 1.78 2.61 8.8 16.2

解：1.思路：由题意设浓度，时间关系式为：y=kt+h; 具体程序如下： xy=[1 4

2 6.4 3 8.0 4 8.4 5 9.28 6 9.5 7 9.7 8 9.86 9 10 10 10.2 11 10.32 12 10.42 13 10.5 14 10.55 15 10.58 16 10.6]; x=xy(:,1);