主 题 函数的单调性与极值 教学内容 理解掌握导数与函数单调性之间的关系，能够利用导数分析函数的单调性，求解函数的极值和最值； （此环节设计时间在15－20分钟） 1．单调性与导数 （1）函数的单调性 ① 若f?(x)?0在?a,b?上恒成立?f(x)在?a,b?上是 函数； 若f?(x)?0在?a,b?上恒成立?f(x)在?a,b?上是 函数。 ② f(x)在区间?a,b?上是增函数?f?(x) 0在?a,b?上恒成立； f(x)在区间?a,b?上为减函数?f?(x) 0在?a,b?上恒成立。 （2）求解函数y?f(x)单调区间的步骤： ①确定函数y?f(x)的定义域； ②求导数y?f(x)； ③解不等式f(x)?0，解集在定义域内的部分为增区间； ④解不等式f(x)?0，解集在定义域内的部分为减区间． ''''2．极值与导数 （1）设函数f(x)在点x0附近有定义，如果左 右 ，则f(x0)是函数f(x)的一个极大值； ' 如果f(x)左 右 ，则f(x0)是函数f(x)的一个极小值； 1 / 8
如果f'(x)左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值。 注意: ①极值是一个局部概念,不同与最值; ②函数的极值不是唯一的; ③极大值与极小值之间大小关系: ； ④数的极值点一定出现在区间的内部. （2）求可导函数f（x）极值的步骤： ①求导数f’（x）. ②求方程f’（x）=0的根. ③检验f’（x）在方程f’（x）=0的根的左右的符号,如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y=f（x）在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负,右侧附近为正,那么函数y=f（x）在这个根处取得极小值. 3.函数的最大值与最小值 （1）设y=f（x）是定义在区间［a,b］上的函数,y=f（x）在（a,b）内有导数,求函数y=f（x）在［a,b］上的最大值与最小值,可分两步进行. ①求y=f（x）在（a,b）内的极值. ②将y=f（x）在各极值点的极值与f（a）、f（b）比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值. （2）若函数f（x）在［a,b］上单调增加,则f（a）为函数的最小值,f（b）为函数的最大值;若函数f（a）在［a,b］上单调递减,则f（a）为函数的最大值,f（b）为函数的最小值. 特别提示： 我们把使导函数f’（x）取值为0的点称为函数f（x）的驻点，那么 （1）可导函数的极值点一定是它的驻点，注意这句话中的“可导”两字是必不可少的.例如函数y=|x|在点x=0处有极小值f（0）=0,可是我们在前面已说明过,f’（0）根本不存在，所以点x=0不是f（x）的驻点. （2）可导函数的驻点可能是极值点，也可能不是极值点.例如函数f（x）=x3的导数是f’（x）=3x2，在点x=0处有f’（0）=0，即点x=0是f（x）=x3的驻点，但从f（x）在（－∞, +∞）上为增函数可知，点x=0不是f（x）的极值点. （此环节设计时间在40－50分钟） 2 / 8
例1、f(x)?xlnx在(0,5)上是 ( ) A.单调增函数 B.单调减函数 11)上是递减函数,在(,5)上是递增函数. ee11D.在(0,)上是递减函数, 在(,5)上是递减函数. eeC.在(0, 例2、（1）设f?(x)是函数f(x)的导函数，y?f?(x)的图象如下图所示，则y?f(x)的图象可能是（ ） yyyyO12xO21xO12xO12xA.B.C.D.
yO-112x 3 / 8
（2）已知函数y?xf?(x)的图象如右图所示（其中f?(x)是函数f(x)的导函数），下面四个图象中y?f(x)的图象大致是（ ） y1-2-1O-1yy12x yy21-2-1-1-2212121O12x-2-1-1-2O12x-2-1-1-2O12x-2-1-1-2O12xA.B.C.D. 例3、如果函数y?f?x?的图象如图，那么导函数y?f?(x)的图象可能是（ ） yy=f(x)x yyyyxxxx 例4、（1）已知函数f?x???x?ax?x?1在???， ???上是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）32ABCDA．??，?3?C．??，?3???????3，?? 3，?? ?? ?B．???3，3? D．?3，3 ?? 2)内单调递减，则实数a的取值范围是（ ） （2）若函数f(x)?x3?ax2?1在(0，A．a≥3 B．a?3 C．a≤3 D．0?a?3 4 / 8
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