青海师范大学附属第二中学高中数学 第2章点 直线 平面之间的位置关系学案 新人教A版必修2

青海师范大学附属第二中学高中数学 第2章点 直线 平面之间的位置关

系复习课 新人教A版必修2

题型一 几何中共点、共线、共面问题 1．证明共面问题

证明共面问题，一般有两种证法：一是由某些元素确定一个平面，再证明其余元素在这个平面内；二是分别由不同元素确定若干个平面，再证明这些平面重合． 2．证明三点共线问题

证明空间三点共线问题，通常证明这些点都在两个面的交线上，即先确定出某两点在某两个平面的交线上，再证明第三个点是两个平面的公共点，当然必在两个平面的交线上． 3．证明三线共点问题

证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题．

例1 如图所示，空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.

求证：(1)E、F、G、H四点共面；(2)GE与HF的交点在直线AC上．

跟踪训练1 如图，O是正方体ABCD－A1B1C1D1上底面ABCD的中心，M是正方体对角线AC1和截面A1BD的交点．求证：O、M、A1三点共线．

题型二 空间中的平行问题

1．判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a?α?a∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a?β，a∥α?a∥β)．

2．证明面面平行的方法：(1)利用面面平行的定义；(2)利用面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．

例2 如图，E、F、G、H分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点，求证：(1)GE∥平面BB1D1D；(2)平面BDF∥平面B1D1H.

跟踪训练2 如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，N是EC的中点，求证：平面DMN∥平面ABC.

题型三 空间中的垂直关系 空间垂直关系的判定方法： (1)判定线线垂直的方法：

①计算所成的角为90°(包括平面角和异面直线所成的角)； ②线面垂直的性质(若a⊥α，b?α，则a⊥b)． (2)判定线面垂直的方法：

①线面垂直定义(一般不易验证任意性)；

②线面垂直的判定定理(a⊥b，a⊥c，b?α，c?α，b∩c＝M?a⊥α)； ③平行线垂直平面的传递性质(a∥b，b⊥α?a⊥α)；

④面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝l，a?β，a⊥l?a⊥α)； ⑤面面平行的性质(a⊥α，α∥β?a⊥β)；

⑥面面垂直的性质(α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ?l⊥γ)． (3)面面垂直的判定方法：

①根据定义(作两平面构成二面角的平面角，计算其为90°)； ②面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β)．

例3 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直线A1F∥平面ADE.

跟踪训练3 如图，A，B，C，D为空间四点．在△ABC中，AB＝2， AC＝BC＝2，等边△ADB以AB为轴运动． (1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；

(2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论．

题型四 空间角问题

1．求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角)． 2．求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影)．

3．二面角的平面角的作法常有三种：(1)定义法；(2)垂线法；(3)垂面法． 例4 在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB＝CD＝CF.

(1)求证：BD⊥平面AED；(2)求二面角F－BD－C的余弦值．

跟踪训练4 如图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求：

(1)AO与A′C′所成角的度数；(2)AO与平面ABCD所成角的正切值；(3)平面AOB与平面AOC所成角的度数．