平面图形面积问题 一、等积变换模型 ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； ABS1aS2bCD 如左图S1:S2?a:b ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图S△ACD?S△BCD； 反之，如果S△ACD?S△BCD，则可知直线AB平行于CD． ④正方形的面积等于对角线长度平方的一半； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； 二、鸟头定理（共角定理）模型 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图 ⑴（或D在BA的延长线上，E在AC上），则S△ABC:S△ADE?(AB?AC):(AD?AE) DAADEEBCBC图⑴ 图⑵ 推理过程连接BE，再利用等积变换模型即可 三、蝴蝶定理模型 任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： DAS2BS1OS3 ①S1:S2?S4:S3或者S1?S3?S2?S4②AO:OC??S1?S2?:?S4?S3? S4C蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系． 梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)： aADS1S2S4OS3BbC ①S1:S3?a2:b2 ②S1:S3:S2:S4?a2:b2:ab:ab； ③梯形S的对应份数为?a?b?． 四、相似模型 相似三角形性质： 2ADBFGEC（金字塔模型） EAFDB①GC（沙漏模型） ADAEDEAF； ???ABACBCAG②S△ADE：S△ABC?AF2:AG2． 所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下： ⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； 五、燕尾定理模型 AS△ABG:S△AGC?S△BGE:S△EGC?BE:EC； FS△BGA:S△BGC?S△AGF:S△FGC?AF:FC； GDS△AGC:S△BCG?S△ADG:S△DGB?AD:DB； CBE 【习题精讲】 【例1】 用四种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形． 【例2】（如右图，已知在△ABC中，BE=3AE，CD=2AD．若△ADE的面积为1平方厘米．求三角形ABC的面积． 【例3】如图，长方形ABCD的面积是56平方厘米，点E、F、G分别是长方形ABCD边上的中点，H为AD边上的任意一点，求阴影部分的面积． AEBHDGFC 【例4】如图，在三角形ABC中，，D为BC的中点，E为AB上的一点，且BE=1AB,已知四边形EDCA的3面积是35，求三角形ABC的面积. 【例5】如右图，AD?DB，AE?EF?FC，已知阴影部分面积为5平方厘米，?ABC的面积是 平方厘米． BDAEFC 【举一反三】如右图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AC、BC的三等分点，且SABCD=54平方厘米，求S△BEF． 【例6】 图30-10是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米．问：阴影部分的面积是多少平方厘米? 【例7】如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点，且AD:AB?2:5，AE:AC?4:7，S△ADE?16平方厘米，求△ABC的面积． ADEBC 【举一反三】 如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE的面积等于1，那么三角形ABC的面积是多少？ ADECB 【例8】 如图在△ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB:AD?5:2，AE:EC?3:2，S△ADE?12平方厘米，求△ABC的面积． DAEBC
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