中考数学复习考点知识与题型专题讲解74---构造全等三角形解题

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构造全等三角形解题

我们知道，正方形是特殊的平行四边形，它的四边相等，四个角都是直角．如果把它的边、角分别划分到适当的两个三角形中，再构造一对边或角的关系，就可以证明这两个三角形全等，进而证明相关的问题．

一、延长线段构造全等三角形

例1 如图1所示，在正方形ABCD中，E、F是AD、DC上的点，且∠EBF＝45°，求证：EF＝CF＋AE．

分析 欲证明EF＝CF＋AE，应先构造出CF＋AE．为此

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可延长EA到G，使AG＝FC，于是可得到CF＋AE＝GA＋AE＝GE．连结BG，可构造出△GAB≌△FBC，故∠1＝∠2．再由∠EBF＝45°．可知∠2＋∠3＝45°，所以∠1＋∠3＝45°．然后可证△GBE≌△EBF，从而有EF＝GE，于是命题得证．

例2 如图2所示，E是DC的中点，F是CE的中点，求证：∠FAB＝2∠DAE．

分析 要证明∠FAB＝2∠DAE，即证明∠FAB＝∠DAE＋∠DAE．为此可在∠FAB中构造∠DAE．

如图2，设BC的中点为M，连结AM，则∠BAM＝∠DAE，设∠BAM＝∠l，∠FAM＝∠2，这样需证明∠l＝∠2． 延长AM与DC的延长线交于点N． ∵M是BC的中点，DN∥AB， ∴△NCM鲨AABM，∴∠1＝∠3．

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以下设法证明∠2＝∠3，这只需证明AF＝FN． 设正方形边长为a，则FN＝5a．

4 在Rt△ADF中， AF＝AD2?DF2＝5a．

4∴AF＝FN，命题得证．

二、通过平移构造全等三角形

例3 如图3所示，正方形ABCD中，AE⊥DM，求证：AE

＝DM．

分析 要证AE＝DM，只需证△ADE≌△DCM．由图3可知

AD＝DC，∠ADE＝∠DCM．

又因为AE⊥DM，可得∠1＋∠2＝90°．

在Rt△ADE中，∠3＋∠2＝90°，所以∠1＝∠3，因此△ADE≌△DCM．

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