2020年江苏省高考数学专项拔高训练专题23 立体几何中的计算(解析版)

专题23 立体几何中的计算

一、例题选讲

题型一、简单几何体的体积与表面积

简单的几何体一般指简单的柱、锥和球，在历年的高考考查中涉及到求体积或者与面积有关的问题，解决此类问题的关键是要把几何体的高、斜高等基本量求出然后运用体积或者面积公式求出。

例1、（2019江苏卷）如图，长方体ABCD?A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E-BCD的体积是_____.

【答案】10.

【解析】因为长方体ABCD?A1B1C1D1的体积为120， 所以AB?BC?CC1?120，因为E为CC1的中点， 所以CE?1CC1，由长方体的性质知CC1?底面ABCD， 2111111?AB?BC?CE???AB?BC?CC1??120?10. 3232212所以CE是三棱锥E?BCD的底面BCD上的高， 所以三棱锥E?BCD的体积V?

例2、(2019镇江期末） 已知一个圆锥的底面积为π，侧面积为2π，则该圆锥的体积为________． 【答案】

3π 3

2

?πr＝π，?

【解析】先求出圆锥的底面半径和高．设圆锥的底面半径、高、母线长分别为r，h，l，则?解

?πrl＝2π，?

??r＝1，13π得?所以h＝3.圆锥的体积V＝Sh＝.

33?l＝2.?

例3、（2017江苏卷）如图，圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是________．

V1

V2

1 / 9

3

【答案】 2

4πRV1

【解析】设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为h＝2R.因为V1＝πRh＝2πR，V2＝，所以＝3V2

2

3

3

3

. 2

【解后反思】 因为所求的是两体积的比值，所以不妨设R＝1，不会影响结果 题型二、运用等积法求几何体的体积或者高

若一个几何体的高或者底面积不好求时，要考虑运用等积法求体积，要换顶点，以便高以及底面积都可以求出，有时几何体往往会涉及到换体，但要主要体之间的关系。运用等积法也可以求几何体的高。 例4、(2019南京、盐城一模）如图，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝4，AC＝3，BC＝1，E，F分别为AB，PC的中点，则三棱锥BEFC的体积为________．

【答案】.

3 6

1111133

【解析】：VBEFC＝VFBEC＝VPBEC＝·(·S△BEC·PA)＝×××4＝. 2232346

例5、（2016无锡期末）如图，在圆锥VO中，O为底面圆心，半径OA⊥OB，且OA＝VO＝1，则O到平面VAB的距离为________．

【答案】3

3

【解析】思路分析在立体几何求点到平面的距离问题中，往往有两种途径：(1) 利用等体积法，这种方法一般不需要作出高线；(2) 利用面面垂直的性质作出高线，再进行计算．

解法1因为VO⊥平面AOB，OA?平面AOB，所以VO⊥OA，同理VO⊥OB，又因为OA⊥OB，OA＝

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VO＝OB＝1，所以VA＝VB＝AB＝2，所以S△VAB＝VA×ABsin60°＝.设O到平面VAB的距离为h，由

2211133

VVAOB＝VOVAB，得S△AOB×VO＝S△VAB×h，得OA×OB×VO＝h，解得h＝.

33223

解法2取AB中点M，连结VM，过点O作OH⊥VM于H.因为OA＝OB，M是AB中点，所以OM⊥AB，因为VO⊥平面AOB，AB?平面AOB，所以VO⊥AB，又因为OM⊥AB，VO∩OM＝O，所以AB⊥平面VOM，又因为AB?平面VAB，所以面VAB⊥平面VOM，又因为OH⊥VM，OH?平面VOM，平面VAB∩VO×OM3

平面VOM＝VH，所以OH⊥平面VAB，所以OH为点O到平面VAB的距离，且OH＝＝.

VM3题型三、几何体的展开与折叠问题

解决这类问题一定要把握住几何体折叠前和折叠后的不变的量，以及前后之间量的关系。

例6、(2018南京、盐城、连云港二模）在边长为4的正方形ABCD内剪去四个全等的等腰三角形(如图1中阴影部分)，折叠成底面边长为2的正四棱锥SEFGH(如图2)，则正四棱锥SEFGH的体积为________．

（图1）

4

【答案】

3

（图2）

【解析】连结EG，HF，交点为O，正方形EFGH的对角线EG＝2，EO＝1，则点E到线段AB的距离为1，14EB＝12＋22＝5.SO＝SE2－OE2＝5－1＝2，故正四棱锥SEFGH的体积为×(2)2×2＝.

33

例7、一块边长为10cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作

侧面，以它们的公共顶点P为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥形容器．当x＝6cm时，该容器的容积为________cm3．

【答案】48

【解析】：由题意知，这个正四棱锥形容器的底面是以6cm为边长的正方形，而侧面高为5cm，则正四棱锥12

的高为52?(6?2)2＝4cm，所以所求容积为×6×4＝48（cm3）．

3

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