2010考研数学二真题及答案

2010考研数学二真题及答案

一、填空题(本题共 6 小题，请将答案写在题中横线上．) (1)三阶常系数线性齐次微分方程

的通解为 y=

．

(2)曲线的渐近线方程为 ．

(3)函数 y=ln(1-2x)在 x=0 处的 n 阶导数 ． (4)当 0≤θ≤π 时，对数螺线 r=eθ的弧长为 ．

(5)已知一个长方形的长 l 以 2cm/s 的速率增加，宽w 以 3cm/s 的速率增加， 则当 l=12cm，w=5cm 时，它的对角线增加的速率为 ．

(6)设 A，B 为 3 阶矩阵，且|A|=3，|B|=2，|A-1+B|=2，则|A+B-1|= ．

二、选择题(本题共 8 小题，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将所选项前的字母填在题后括号内．)

(7) 函数

(A) 0． (B) 1． (C) 2． (D) 3．

的无穷间断点数为

y1，y2 是一阶线性非齐次微分方程(8) 设 μ 使

该方程的解

的两个特解．若常数 λ，

是对应的齐次方程的解，则

(9) 曲线 y=x2 与曲线 y=aln x(a≠O)相切，则 a= (A)

4e． (B) 3e． (C) 2e． (D) e．

(10) 设 m，n 是正整数，则反常积分

(A) 仅与 m 值有关． (B) 仅与 n 值有关．

(C) 与 m，n 值都有关． (D) 与 m，n 值都无关．

的收敛性

(11) 设函数 z=z(x，y)由方程

确定，其中 F 为可微函数，且

(A) x (B) z． (C) -x． (D)-z． (12)

(C) (D)

(14) 设 A 为 4 阶实对称矩阵，且A2+A=0，若 A 的秩为 3，则 A 与

相似于

三、解答题(本题共 9 小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

(15) 求函数(16) (Ⅰ) 比较

小，说明理由； (Ⅱ) 记

的单调区间与极值．

的大

，求极限

(17) 设函数 y=f(x)由参数方程

所确定，其中φ(t)具有二阶

导数，且φ(1)=

(18) 一个高为 j 的柱体形贮油罐，底面是长轴为 2a，短轴为 2b 的椭圆，现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为

时(如图 2)，计算油的质量．

3

(长度单位为m，质量单位为 kg，油的密度为常数 ρkg/m)

(19) 设函数 u=(x，y)具有二阶连续偏导数，且满足等式

，确定 a，b 的值，使等式在变换

(20) 计算二重积分

(21) 设函数 f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内可导，且

。证明：存在

22

f'(ξ)+f'(η)=ξ+η

(22) 设

已知线性方程组 Ax=b 存在 2 个小同的解． (Ⅰ) 求 λ，a； (Ⅱ) 求方程组 Ax=b 的通解.

(23) 设

例为

一、填空题 (1) (4) 二、选择题

正交矩阵使得 参考解答

为对角矩阵，若Q 的第 1

n

(2) y=2x (3) -2·(n-1)!

(5) 3cm/s (6) 3

(7) B (8) A (9) C (10) D (11) B (12) D (13) A (14) D

三、解答题

(15)

分析：求变限积分 f(x)的一阶导数，利用其符号判断极值并求单调区间．

解 令

因为当 x＞1 时

当-1＜x

＜0 时

所以 f(x)的单调递减区间为(-∞，-1)，(0，1)；f(x)的单调递增区间为(-1， 0)，(1，+∞)；极小值为 f(1)=f(-1)=0，极大值为

时

评注：也可用二阶导数的符号判断极值点，此题属基本题型．

(16)

分析：对(Ⅰ)比较被积函数的大小，对(Ⅱ)用分部积分法计算积分

，再用夹逼定理求极限。

n

解：(Ⅰ)当 0≤t≤1 时，0≤ln(1+t)≤t，故|lnt|[ln(1+t)]≤|ln|．由积分性质得 (Ⅱ)

于是

有

评注：若一题有多问，一定要充分利用前问提供的信息．

由夹逼定理得

(17)

分析：先求 ψ(t)

可得关于ψ(t)的微分方程，进而求出

解：由参数方程确定函数的求导公式

可得

评注：此题是参数方程确定函数的导数与微分方程相结合的一道综合题，有一定难度．

(18)

分析：先求油的体积，实际只需求椭圆的部分面积．