2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题解析
一、选择题:1?8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．
(1)设?xn?是数列,下列命题中不正确的是 ( ) (A) 若limxn?a,则 limx2n?limx2n?1?a
n??n??n??(B) 若limx2n?limx2n?1?a, 则limxn?a
n??n??n??(C)若limxn?a,则limx3n?limx3n?1?a
n??n??n??(D) 若limx3n?limx3n?1?a,则limxn?a
n??n??n??【答案】(D)
【解析】答案为D, 本题考查数列极限与子列极限的关系.
数列xn?a?n????对任意的子列xnk均有xnk?a?k???,所以A、B、C正确； D错(D选项缺少x3n?2的敛散性),故选D
(2) 设函数f?x?在???,???内连续,其2阶导函数f???x?的图形如右图所示,则曲线y?f?x?的拐点个数为 ( )
(A) 0 (B) 1 (C)2 (D) 3 【答案】(C)
【解析】根据拐点的必要条件，拐点可能是f??(x)不存在的点或
??f??(x)?0的点处产生.所以y?f(x)有三个点可能是拐点，根据拐点的定义，即凹凸性改
变的点；二阶导函数f??(x)符号发生改变的点即为拐点.所以从图可知，拐点个数为2，故选C.
(3) 设 D???x,y?x2cos?2?y2?2x,x2?y2?2y,函数f?x,y?在D上连续,则
???f?x,y?dxdy? ( )
D(A)
???40d??d??0f?rcos?,rsin??rdr??d??f?rcos?,rsin??rdr??d???2?4?2?42sin?0f?rcos?,rsin??rdr f?rcos?,rsin??rdr
(B)
?402sin?2cos?00
(C)2dx0??101x1?1?x2f?x,y?dy
(D) 2dx??2x?x2xf?x,y?dy
【答案】(B)
【解析】根据图可得，在极坐标系下该二重积分要分成两个积分区域
???????D1??(r,?)0???,0?r?2sin??D2??(r,?)???,0?r?2cos??
442????所以
???Df(x,y)dxdy??4d??02sin??0f(rcos?,rsin?)rdr???2d??42cos?0f(rcos?,rsin?)rdr，
故选B.
(4) 下列级数中发散的是( )
n(A) ?n (B)
n?13?n?1??11ln(1?)
nn(?1)n?1(C)?(D)
lnnn?2?n!?n n?1n?【答案】(C)
n?1n?1n?113?lim??1，所以根据正项级数的比值【解析】A为正项级数，因为limn??n??3nn33n判别法
?111nln(1?)?B收敛；为正项级数，因为?3，根据P级数收敛准则，知nnn3n?1n2??n?1?11(?1)n?1?(?1)n?1ln(1?)收敛；C，?????，根据莱布尼茨判别法知
nlnnlnnlnnnn?1n?1n?1?1(?1)n?1发散，所以根据级数收敛定义知，?发散；D为正项级?lnnlnnn?1n?1?(?1)n收敛， ?n?1lnn?(n?1)!n(n?1)!nn(n?1)n?1?n?1数，因为lim?lim?lim????1，所以根据正项级数n??n??n!n!(n?1)n?1n???n?1?enn的比值判别法
n!?n收敛，所以选C. nn?1?
?1??111?????(5)设矩阵A??12a?,b??d?.若集合???1,2?，则线性方程组Ax?b有无穷
???14a2??d2?????多解的充分必要条件为 ( )
(A) a??,d?? (B) a??,d?? (C)a??,d??(D) a??,d?? 【答案】(D)
?111?【解析】(A,b)??12a?14a2?1??1111????d???01a?1d?1?2??d??00(a?1)(a?2)(d?1)(d?2)??，
由r(A)?r(A,b)?3，故a?1或a?2，同时d?1或d?2.故选（D） (6)设二次型f?x1,x2,x3?在正交变换x?Py下的标准形为2y1?y2?y3，其中
222P?(e1,e2,e3)，若Q?(e1,?e3,e2)则f?(x1,x2,x3)在正交变换x?Qy下的标准形为
( )
(A)2y1?y2?y3 (B) 2y1?y2?y3 (C)2y1?y2?y3(D) 2y1?y2?y3 【答案】(A)
222【解析】由x?Py，故f?xTAx?yT(PTAP)y?2y1. ?y2?y3222222222222?200???T且PAP??010?.
?00?1????100???又因为Q?P?001??PC
?0?10????200???TTT故有QAQ?C(PAP)C??0?10?
?001???222所以f?xTAx?yT(QTAQ)y?2y1.选（A） ?y2?y3
(7) 若A,B为任意两个随机事件,则: ( )
(A)P?AB??P?A?P?B? (B)P?AB??P?A?P?B? (C)P?AB??【答案】(C)
【解析】由于AB?A,AB?B，按概率的基本性质，我们有P(AB)?P(A)且
P?A??P?B?2(D) P?AB??P?A??P?B?2
P(AB)?P(B)，从而P(AB)?P(A)?P(B)?P(A)?P(B)，选(C) .
2(8) 设总体X~B?m,??,X1,X2,?,Xn为来自该总体的简单随机样本,X为样本均值,
n?则E?Xi?X??i?1?? ( ) ????2(A) ?m?1?n??1??? (B)m?n?1???1??? (C)?m?1??n?1???1??? (D)mn??1??? 【答案】(B)
1n【解析】根据样本方差S?(Xi?X)2的性质E(S2)?D(X)，而?n?1i?12D(X)?m?(1??)，从而E[?(Xi?X)2]?(n?1)E(S2)?m(n?1)?(1??)，选(B) .
i?1n二、填空题：9?14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．(9) limln(cosx)?__________. 2x?0x【答案】?1 2ln(1?cosx?1)cosx?11?lim??
x?0x?0x2x22【解析】原极限?lim(10)设函数f(x)连续，?(x)?【答案】2
?x20xf(t)dt,若?(1)?1,??(1)?5,则f(1)?________.
【解析】因为f(x)连续，所以?(x)可导，所以??(x)?因为?(1)?1，所以?(1)??x20f(t)dt?2x2f(x2)；
?10f(t)dt?1
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