2015年考研数学三真题及答案详解

【解析】曲线的切线方程为y?f?x0??f??x0??x?x0?，切线与x轴的交点为

?f?x0??x?,0 ??0f??x???0??21f?x0??4. 故面积为：S?2f??x0?故f?x?满足的方程为f解得f?x??2?x??8f??x?,此为可分离变量的微分方程,

?88，又由于f?0?=2，带入可得C??4，从而f?x?? x?C4?x(19)(本题满分 10分)

（I）设函数u(x),v(x)可导，利用导数定义证明[u(x)v(x)]??u?(x)v(x)?u(x)v?(x); （II）设函数u1(x),u2(x),?,un(x)可导，f(x)?u1(x)u2(x)?un(x)，写出f(x)的求导公式.

【答案】f?(x)?[u1(x)u2(x)?un(x)]?

?u1?(x)u2(x)?un(x)?u1(x)u2?(x)?un(x)???u1(x)u2(x)?un?(x)

【解析】（I）[u(x)v(x)]??limu(x?h)v(x?h)?u(x)v(x)

h?0h?limu(x?h)v(x?h)?u(x?h)v(x)?u(x?h)v(x)?u(x)v(x)

h?0hv(x?h)?v(x)u(x?h)?u(x)?limv(x) h?0hh?limu(x?h)h?0?u(x)v?(x)?u?(x)v(x)

（II）由题意得

f?(x)?[u1(x)u2(x)?un(x)]?

?u1?(x)u2(x)?un(x)?u1(x)u2?(x)?un(x)???u1(x)u2(x)?un?(x)

(20) (本题满分 11分)

?a10???3 设矩阵A=?1a?1?，且A?O.

?01a???(I) 求a的值；

(II)若矩阵X满足X?XA?AX?AXA?E，其中E为3阶单位矩阵，求X.

22?31?2???【答案】a?0,X??11?1?

?21?1???a1【解析】(I)A?O?A?0?130010a?1?1?a201a?aa?1?a3?0?a?0

1a(II)由题意知

X?XA2?AX?AXA2?E?X?E?A2??AX?E?A2??E??E?A?X?E?A2??E?X??E?A??X??E?A2?A??1?12E?A?E?A2??????E?A????

?1?1?0?11???E?A2?A???111?，

??1?12???100??1?1?1M0?10??0?11M?????111M010?0?11M100???? ??1?12M?001?001?????1?12M?0?10??1?1?1M0?10??1?1?1M??????01?1M?100???01?1M?100? ?0?21M?0?11??2?11????00?1M?20?1??100M31?2??1?10M??????010M11?1???010M11?1? ?001M?21?1?21?1????001M??31?2????X??11?1?

?21?1???(21) (本题满分11 分)

?02?3??1?20?????设矩阵A???13?3?相似于矩阵B=?0b0?.

?1?2a??031?????(I) 求a,b的值；

（II）求可逆矩阵P，使PAP为对角矩阵.

?1

?2?3?1???【答案】a?4,b?5,P??10?1?

?011???【解析】(1) A~B?tr(A)?tr(B)?3?a?1?b?1

02?31?20b30 1A?B??13?3?01?2a0?a?b??1?a?4 ????2a?b?3b?5???02?3??100???12?3????????A???13?3???010????12?3??E?C

?1?23??001??1?23?????????12?3???1?????C???12?3????1??1?23?

?1?23??1?????C的特征值?1??2?0,?3?4

??0时(0E?C)x?0的基础解系为?1?(2,1,0)T;?2?(?3,0,1)T ??5时(4E?C)x?0的基础解系为?3?(?1,?1,1)T

A的特征值?A?1??C:1,1,5

?2?3?1???令P?(?1,?2,?3)??10?1?，

?011????1????P?1AP??1?

?5???(22) (本题满分11 分)

?x??2ln2,x?0设随机变量X的概率密度为f?x???,对X进行独立重复的观测,直到

x?0??0,第2个大于3的观测值出现时停止，记Y为观测次数

(I)求Y的概率分布； (II)求E(Y).

1n?22n?2【答案】(I)P{Y?n}?Cn?1p(1?p)p?(n?1)()()，n?2,3,? ；

1878(II)E(Y)?16.

【解析】(I) 记p为观测值大于3的概率，则p?P(X?3)????312?xln2dx?，

81n?22n?2从而P{Y?n}?Cn?1p(1?p)p?(n?1)()()，n?2,3,?为Y的概率分布；

1878(II) 法一:分解法:

将随机变量Y分解成Y=M?N两个过程,其中M表示从1到n(n?k)次试验观测值大于3首次发生，N表示从n?1次到第k试验观测值大于3首次发生.

则M~Ge(n,p)，N?Ge(k?n,p)(注：Ge表示几何分布)

所以

E(Y)?E(M?N)?E(M)?E(N)?1122????16. ppp18法二:直接计算

127n?2?777E(Y)??n?P{Y?n}??n?(n?1)()()??n?(n?1)[()n?2?2()n?1?()n]88888n?2n?2n?2记S1(x)?????n?(n?1)xn?2?n?2?1?x?1，则

??S1(x)??n?(n?1)xn?2?n?2?(?n?xn?2n?1n?1)??(?xn)???n?22， 3(1?x)2x， 3(1?x)S2(x)??n?(n?1)xn?2?x?n?(n?1)xn?2?xS1(x)?n?2?S3(x)??n?(n?1)x?xnn?2?2?n?(n?1)xn?2?n?22x2， ?xS1(x)?(1?x)322?4x?2x22?所以S(x)?S1(x)?2S2(x)?S3(x)?， 3(1?x)1?x从而E(Y)?S()?16. (23) (本题满分11 分)

78?1,??x?1,?设总体X的概率密度为f(x,?)??1??其中?为未知参数，

?其他,?0,

X1,X2,?,Xn为来自该总体的简单随机样本.

(I)求?的矩估计量； (II)求?的最大似然估计量.

??2X?1,【答案】(I)?1nX??Xi ；

ni?1??min{X,X,?,X}. (II)?12n【解析】(I)E(X)??????xf(x;?)dx??x??111??dx?， 1??21????2X?1,?X，解得?令E(X)?X，即

2n1nX??Xi为?的矩估计量 ；

ni?1(II)似然函数L(?)??i?1??1?n??,??xi?1， f(xi;?)???1?????其他?0,当??xi?1时，L(?)??1???(1??)i?1n11n，则lnL(?)??nln(1??).

从而

dlnL(?)n?，关于?单调增加，

d?1????min{X,X,?,X}为?的最大似然估计量. 所以?12n

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