西北师范大学数学与应用数学专业-西北师范大学数学与统计学院

西北师范大学数学与应用数学专业

专业基础课程教学大纲

解析几何

一、说明

（一）、课程性质

《空间解析几何》是数学与应用数学专业（本科）的核心课程之一。

解析几何就是用代数方法研究几何。它把局限于形、相的定性研究推进到可以计算的定量研究的层面。为初等几何提供了新的研究方法；为学习高等代数提供了具体的模型；为学习经典分析准备必要的知识。同时也为力学、物理学以及一切程技术提供必要的数学工具。

（二）、教学目的

现实的三维空间是人们可直接接触和直接观察的欧氏空间。深入了解三维欧氏空间的结构及其度量性质有助于学生建立起更广泛的“空间”概念以及向n维空间的推广。通过《空间解析几何》课程的学习，掌握解析几何的思想，基本理论和研究方法；积累必要的数学知识；培养学生抽象思维能力、建立数学模型的能力、推理与演算的能力。

（三）、教学内容

《空间解析几何》课程的主要内容有向量代数、轨迹与方程、平面及空间中的直线和曲线、几类特殊曲面、二次曲面的一般理论等五个部分。

在空间中引进向量，实质是使空间的几何结构代数的过程。向量的运算能够解决几何中的具有仿射性质的几类基本问题和有关变量的几类基本问题。再通过坐标法、建立轨迹（曲面、曲线）的方程，从而将研究曲线和曲面的几何问题归结为研究其方程的代数问题。包括研究图形的性质、相互位置关系、方程的形式及相互转化以及建立各种形式的方程的方法等方面。对二次曲面的一般理论的讨论，自然而然地引进了坐标变换的方法，再进一步就可以转到关于线性变换的代数理论的研究。由二次曲面方程的系数构成的若干个不变量和半不变

量，完全可以刻划二次曲面的各种性质，但不能确定二次曲面在空间中的位置。这也是一个十分重要的概念和思想。

（四）教学时数

本课程应在大学一年级第一学期完成教学。教学总时数90。应配置12~16学时的习题课，使学生掌握解题方法。

二、具体内容的安排和要求

第一章 向量与坐标

教学要点：

向量的概念与运算、坐标与坐标系、用坐标进行向量的运算、向量共线或共面的必要条件。

教学时数：20~22学时

1·1向量的概念 （1学时）

向量的定义、向量的模、单位向量、零向量、相等的向量、相反的向量、向量的共线与共面、向量的自由平移性

1·2向量的线性运算 （2学时） 向量的加法及运算律、向量的减法、向量的数乘及运算律。 1·3向量的线性关系和向量分解 （3学时）

向量的线性组合、向量由其它向量的线性表出、向量的线性相关和线性无关的定义和有关定理。

1·4坐标系与向量的坐标 （4学时）

仿射坐标系与直角坐标系、右手系、向量在坐标系下的坐标、坐标系的基底、用坐标进行向量的线性运算、共线与共面的充要条件、定比分点。

1·5向量在给定方向上的射影 （2学时） 射影的定义和有关定理

1·6向量的内积 （4学时）

向量内积的定义和运算律、二向量垂直的充要条件、用坐标进行向量内积运算、两点距

离公式、向量的方向余弦、二向量之夹角。

1·7向量的外积 （2~3学时）

向量外积的定义及运算律、几何意义、用坐标进行外积运算、二向量共线的充要条件。 1·8三向量的混合积 （2~3学时）

混合积的定义及运算律、几何意义、三矢共面的充要条件、用坐标进行混合积运算。 要求：

本章是建立解析几何理论的基础和工具。学生应深刻理解空间的几何结构是如何实现代数化的。并能熟练掌握和运用向量的基本知识，解决关于共线、共面、定比分点等仿射性质的问题；解决关于长度、夹角、面积、体积等度量问题。

第二章 轨迹与方程

教学要点：

轨迹与方程的关系、普通方程与参数方程、建立方程的方法。 教学时数：8~10学时

2·1平面曲线的方程 （2学时）

平面曲线与其方程的关系、平面曲线的普通方程和参数方程、各种形式的方程相互转化。 2·2曲面的方程 （2学时）

曲面的直角坐标方程和参数方程、建立曲面方程的方法、球面和圆柱面的方程。 2·3母线平行于坐标轴的柱面方程 （2学时）

柱面的准线和母线、母线平行于坐标轴的椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面的方程。 2·4空间曲线的方程 （2学时） 空间中的二曲面的交线、空间曲线的参数方程、空间曲线的投影柱面。

要求：建立动点轨迹的方程是解析几何的基本思想。学生应当深刻理解轨迹与其方程之间的关系，能熟练地掌握建立曲面或曲线的方程的方法以及直角坐标方程和参数方程的相互转化。

第三章 平面与空间直线

教学要点：

平面与空间直线的各种形式的方程，平面与平面、平面与点、平面与直线、直线与点、直线与直线之间的相关位置。

教学时数：（16~18学时）

3·1平面的方程 （3学时）

平面的方位向量、向量式参数方程、平面的一般方程及讨论、平面的单位正法向量、法式方程。

3·2平面与点的相关位置 （2学时） 点到平面的离差、距离、平面划分空间问题及三元一次不等式的几何意义 3·3两平面的相关位置 （2学时） 二平面平行、重合、相交、二平面所成的二面角、二平面垂直的充要条件。 3·4空间直线的方程 （3学时）

直线的方向向量、直线的向量或参数方程、直线的标准方程、直线的一般方程、直线射影式方程

3·3直线与平面的相关位置 （2学时） 直线平行于平面、直线在平面上、直线与平面相交、直线与平面的夹角。 3·6空间两直线的相关位置 （2学时）

直线的共面与异面、空间两直线异面、相交、平行、重合的充要条件、空间两直线的夹角、异面直线间的距离与公垂线方程。

3·7空间直线与点的相关位置 （1学时） 点到直线的距离

3·8平面束 （2学时） 有轴平面束的方程、平行平面束的方程。

要求：本章是空间解析几何的基本内容、学生应当熟练掌握平面和空间直线的各种形式的方程和建立这些方程的方法、熟练掌握各种相关位置的解析表达式和计算公式。