[奥赛]2015年第二十届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组d卷）

2015年第二十届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小

高组D卷）

一、填空题（每小题10分，共80分） 1．计算：84

×1.375+105

×0.8＝ ．

2．如图是用六个正方形，六个三角形、一个正六边形组成的图案，正方形边长都是2cm，这个图案的周长是 cm．

3．某项工程需要100天完成，开始由10个人用30天完成了全部工程的，随后再增加10个人来完成这项工程，那么能提前 天完成任务．

4．王教授早上8点到达车站候车，登上列车时，站台上的时钟的时针和分针恰好左右对称．列车8点35分出发，下午2点15分到达终点站．当王教授走下列车时，站台上时钟的时针和分针恰好上下对称，走出车站时恰好3点整．那么王教授在列车上的时间共计 分钟．

5．由四个非零数字组成的没有重复数字的所有四位数的和为73326，则这些四位数中最大的是 ．

6．如图所示，从长、宽、高分别为15 cm，5 cm，4 cm的长方体中切割走一块长、宽、高分别为ycm，5cm，xcm的长方体（x，y为整数），余下部分的体积为120 cm3，那么x+y＝ ．

7．一次数学竞赛有A，B，C三题，参赛的39个人中，每人至少答对了一道题．在答对A的人中，只答对A的比还答对其它题目的多5人； 在没答对A的人中，答对B的是答对C的2倍； 又知道只答对A的等于只答对B的与只答对C的人数之和．那么答对A的最多有 人．

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8．甲，乙进行乒乓球比赛，三局两胜制．每局比赛中，先得11 分且对方少于10分者胜； 10平多得2 分者胜．甲、乙二人得分总和都是30分，在不计比分先后顺序时，三局的比分共有 种情况．

二、解答下列各题（每小题10分，共40分，要求写出简要过程）

9．两个自然数之和为667，它们的最小公倍数除以最大公约数所得的商等于120．求这两个数．

10．酒店有100个标准间，房价为400元/天，但入住率只有50%．若每降低20元的房价，则能增加5间入住．求合适的房价，使酒店收到的房费最高．

11．如图，长方形ABCD的面积是56cm2．BE＝3cm，DF＝2cm．请你回答：三角形AEF的面积是多少？

12．当N取遍1，2，3，…，2015中所有的数时，形如3n+n3的数中能够被7整除的有多少个？

三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）

13．（15分）如图所示，ABCD是平行四边形，AM＝MB，DN＝CN，BE＝EF＝FC，四边形EFGH的面积是1，求平行四边形ABCD的面积．

14．（15分）“虚有其表”，“表里如一”，“一见如故”，“故弄玄虚”四个成语中每个汉字代表11个非零连续自然数中的一个，相同的汉字代表相同的数，不同的汉字代表不同的数，且“表”＞“一”＞“故”＞“如”＞“虚”，且各个成语中四个汉字所代表的数的和都是21．则“弄”可以代表的数最大是多少？

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2015年第二十届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试

卷（小高组D卷）

参考答案与试题解析

一、填空题（每小题10分，共80分） 1．计算：84

×1.375+105

×0.8＝ 200 ．

【分析】先把带分数化成假分数、小数化成分数，再约分求解即可． 【解答】解：84＝＝＝＝200

故答案为：200．

2．如图是用六个正方形，六个三角形、一个正六边形组成的图案，正方形边长都是2cm，这个图案的周长是 24 cm．

×+

+

×1.375+105×

×0.8

【分析】这个图案的周长＝六个三角形的边长+六个正方形的边长，依此列出算式计算即可求解．

【解答】解：2×6+2×6 ＝12+12 ＝24（cm）

答：这个图案的周长是24cm． 故答案为：24．

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3．某项工程需要100天完成，开始由10个人用30天完成了全部工程的，随后再增加10个人来完成这项工程，那么能提前 10 天完成任务．

【分析】首先把这项工程看作单位“1”，根据工作效率＝工作量÷工作时间，用10个人用30天完成的工作量除以10×30，求出每个工人每天完成这项工程的几分之几；然后求出再增加10个人每天一共完成这项工程的几分之几，再根据工作时间＝工作量÷工作效率，用剩下的工作量除以再增加10个人每天一共完成的工作量，求出剩下的工程需要多少天；最后用100减去实际需要的时间，求出能提前多少天完成任务即可． 【解答】解：100﹣30﹣（1﹣）÷[＝70﹣÷＝70﹣60 ＝10（天）

答：能提前10天完成任务． 故答案为：10．

4．王教授早上8点到达车站候车，登上列车时，站台上的时钟的时针和分针恰好左右对称．列车8点35分出发，下午2点15分到达终点站．当王教授走下列车时，站台上时钟的时针和分针恰好上下对称，走出车站时恰好3点整．那么王教授在列车上的时间共计 360 分钟．

【分析】钟面上12个数字把钟面平均分成12份，每份所对应的圆心角是360°÷12＝30°，即每两个相邻数字间的夹角是30°，分针每分钟走

＝6°，时针每分钟走

×（10+10）]

＝0.5°，8时整时分针与时针的夹角是120°，由于登上列车时，站台上的时钟

的时针和分针恰好左右对称，是8时过120÷（6+0.5）＝

（分），此时是8时

分；

下午2时15分时，分钟与时针的夹角是15×6﹣（60+0.5×15）＝22.5（度），又有王教授走下列车时，站台上时钟的时针和分针恰好上下对称，是下午2时15分过22.5÷（6+0.5）＝

（分），此时是下午2时15分+

分＝下午2时

分，两个时间之差就是王教授

在车上的时间．

【解答】解：8时整时分针与时针的夹角是120°，120÷（6+0.5）＝

（分），王教

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授登上车的时间是：8时分；

下午2时15分时，分钟与时针的夹角是15×6﹣（60+0.5×15）＝22.5（度），22.5÷（6+0.5）＝

（分），王教授下车的时间是：2时15分+

分化成24计时法是14时

分＝6小时

分＝下午2时分

分；

下午下午2时14时

分﹣8时

6小时＝360分钟． 故答案为：360．

5．由四个非零数字组成的没有重复数字的所有四位数的和为73326，则这些四位数中最大的是 5321 ．

【分析】设四个数字分别为a、b、c、d．根据题意可得以a开头的组合有：abcd，abdc，acbd，acdb，adbc，adcb6个，则这六个四位数分别是：a×1000+b×100+c×10+d×1，a×1000+b×100+c×1+d×10，…a×1000+b×1+c×10+d×100，这6个数的和是6000a+222b++222c++222d；同理，以b开头的6个四位数的和是222a+6000b+222c+222d；以c开头的6个四位数的和是222a+222b+6000c+222d；以d开头的6个四位数的和是222a+222b+222c+6000d；把它们组成的四位数全部加起来，就是6666（a+b+c+d），则6666（a+b+c+d）＝73326，即a+b+c+d＝11，则分析可得a、b、c、d是1、2、3、5中的一个数字，所以组成的四位数中最大四位数是5321，最小是1235．

【解答】解：设四个数字分别为a、b、c、d．根据题意可得以a开头的组合有：abcd，abdc，acbd，acdb，adbc，adcb6个，

则这六个四位数分别是：a×1000+b×100+c×10+d×1，a×1000+b×100+c×1+d×10，…a×1000+b×1+c×10+d×100，

这6个数的和是6000a+222b++222c++222d；

同理，以b开头的6个四位数的和是222a+6000b+222c+222d； 以c开头的6个四位数的和是222a+222b+6000c+222d； 以d开头的6个四位数的和是222a+222b+222c+6000d； 则6666（a+b+c+d）＝73326，即a+b+c+d＝11， 分析可得a、b、c、d是1、2、3、5中的一个数字， 所以组成的四位数中最大四位数是5321．

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