运筹学与最优化方法：线性规划案例分析报告

案例： 连续投资的优化问题

一、题目：

某企业在今后五年内考虑对下列项目投资，已知：

项目A，从第一年到第四年每年年初需要投资，并于次年末收回本利115%。

项目B，第三年年初需要投资，到第五年末能收回本利125%，但规定最大投资额不超过40万元。

项目C，第二年年初需要投资，到第五年末能收回本利140%，但规定最大投资额不超过30万元。

项目D，五年内每年年初可购买公债，于当年末归还，并加利息6%。 该企业5年内可用于投资的资金总额为100万元，问它应如何确定给这些项目的每年投资使得到第五年末获得的投资本利总额为最大？

二、建立上述问题的数学模型

设X1A,XiB , XiC, XiD（i=1.2.3.4.5）为第i年初给项目A,B,C,D的投资额，它们都是待定的未知量。由于项目D每年年初均可投资，年末收回本利，固每年的投资额应该等于手中拥有的资金额。

建立该问题的线性规划模型如下： Max Z=1.15X4A+1.40X2C+1.25X3B+1.06X5D

X1A+X1D=1000000 (1) X2A+X2C+X2D=1.06X1D (2) X3A+X3B+X3D=1.15X1A+1.06X2D (3) s.t. X4A+X4D=1.15X2A+1.06X3D (4) X5D=1.15X3A+1.06X4D (5)

X3B<=400000

(6)

X2C<=300000 (7) X1A , XiB , XiC, XiD>=0 i=1,2,3,4,5

经过整理后如下：

Max Z=1.15X4A+1.40X2C+1.25X3B+1.06X5D

X1A+X1D=1000000 -1.06X1D+ X2A+X2C+X2D =0 -1.15X1A-1.06X2D+ X3A+X3B+X3D=0 s.t. -1.15X2A-1.06X3D +X4A+X4D=0 -1.15X3A-1.06X4D+ X5D=0

X3B<=400000

X2C<=300000 X1A , XiB , XiC, XiD>=0 i=1,2,3,4,5

三、Excel求解过程以及相应的结果

（1）在Excel中进行布局并输入相应的公式

相应公式说明：

其中目标函数单元格B16中公式为：=G3*E11+G4*D12+G5*C13+G6*F14 约束条件为投资额的限制以及每年资金分配部分： 每年资金分配部分为原模型中约束（1）~（5）：

J11 =SUMPRODUCT(B11:B14,J3:J6)； K11 =SUMPRODUCT(C11:C14,K3:K6)； L11 =SUMPRODUCT(D11:D14,L3:L6)； M11 =SUMPRODUCT(E11:E14,M3:M6)； N11 =SUMPRODUCT(F11:F14,N3:N6)； 投资额约束：原模型中约束（6）~（7） D12<=P4; C13<=P5;

（2）设置规划求解参数并进行求解 如右图所示：

另外单击选项-采用线性模型，假定非负

2

（3）规划求解结果与分析

实验数据分析：

线性模型的优化的结果将显示在Excel的界面中，决策变量及目标函数的位置就会出现相应的优化结果值，目标函数的优化结果值是143.75。或者在上述规划求解窗口中选择运算结果报告项，点击确定同样得到相应的优化结果值，显示如下图所示。中间是决策变量的优化结果值，下面是约束条件在最优结果下的状态描述。最优解为x1A=34.782608,x2A=39.130436, x4A=45,x3B=40,x2C=30, x1D=65.217392,x3A=x2D=x3D=x4D=x5D=0,最优值z=143.75,在最优条件下，所有的约束条件都刚好达到限制值。

目标单元格 (最大值) 单元格 可变单元格 单元格 $B$11 A

$C$11 A

$D$11 A

$E$11 A

$F$11 A

$G$11 A

$B$12 B

初值

终值

初值 71.69811321 6.17863E-15 42.45283018

0 0 0 0

终值

143.75

34.7826087 39.13043478

0 45 0 0 0 143.75

3

名字

名字

$B$16 目标函数值

$C$12 B

$D$12 B

$E$12 B

$F$12 B

$G$12 B

$B$13 C

$C$13 C

$D$13 C

$E$13 C

$F$13 C

$G$13 C

$B$14 D

$C$14 D

$D$14 D

$E$14 D

$F$14 D $G$14 约束 单元格 $J$11

D

名字

投资额 第1年

单元格值

0 40 0 0 0 0 30 0 0 0 0

28.30188679

0 0 0

48.8207547

0

公式

100 $J$11=$J$13

0 40 0 0 0 0 30 0 0 0 0

65.2173913

0 0 0 0 0

状态 到达限制值

型数值

0 0 0 0 0 0

$K$11 投资额 第2年

$L$11 投资额 第3年

$M$11 投资额 第4年

$N$11 投资额 第5年

$C$13 C

69.13043478 $K$11=$K$13 到达限制值

40 $L$11=$L$13 到达限制值 45 $M$11=$M$13 到达限制值 0 $N$11=$N$13 到达限制值 30 $C$13<=$P$5 到达限制值

$D$12 B 40 $D$12<=$P$4 到达限制值 0

除了上述运算结果报告之外，还可以选择敏感性报告选择项，点击确定后就会出现相应的敏感性报告如下图所示。在此报告中分成上下两部分，上部分是对决策变量目标系数的灵敏度分析，给出了目标系数的当前值和允许的增量和减量；下半部分是对各个约束条件右端常数项的灵敏度分析，给出了约束左端的实际值、右端常数项的当前值以及允许的增量和允许的减量。

可变单元格 单元格 名字 $B$11 A

$C$11 A

$D$11 A

终

值 34.7826087 39.13043478

0

递减 成本

0 0 0

目标式 系数

0 0

允许的 增量 0 0.033632075

0

允许的 减量 0 0.032937736

0 1E+30

4

$E$11 A

$F$11 A

$G$11 A $B$12 B $C$12 B $D$12 B $E$12 B $F$12 B $G$12 B $B$13 C $C$13 C $D$13 C $E$13 C $F$13 C $G$13 C

$B$14 D

$C$14 D

$D$14 D

$E$14 D

$F$14 D

$G$14 D 约束 单元格 名字 $J$11 第1年

终 值

45 0 0 0 0 40 0 0 0 0 30 0 0 0 0

65.2173913

0 0 0 0

阴影 价格

100

0 0 0 0 0 0.031

0 0 0 0 0.0775

0 0 0 0 0

-0.03036

0 0 0

1.15 0.029245283 0 0 0 0 1.25 0 0 0 0 1.4 0 0 0 0 0 0 1.06 0

约束 限制值

100 0 0 0 0

允许的 增量

0 0 0 0 1E+30

0 0 0 0 1E+30

0 0 0 0 0.03036

0 0 0

允许的 减量

0 1E+30 1E+30 1E+30 1E+30 0.031 1E+30 1E+30 1E+30 1E+30 0.0775 1E+30 1E+30 1E+30 1E+30

0 1E+30 1E+30 1E+30 1E+30 1E+30

0 0.032937736

0 -0.026400001 0 0.026400001

1.40185 1.3225 1.219 1.15 1.06

1E+30 36.91550451 1E+30 39.13043478

40 42.45283019 1E+30 1E+30

45 0

$K$11 第2年 69.13043478

$L$11 第3年

$M$11 第4年

$N$11 第5年

40 45 0

四、Lindo求解过程以及相应的结果

（1）运行lindo程序，在程序主界面下编辑程序文件，文件内容如下： Max1.15X4A+1.40X2C+1.25X3B+1.06X5D ST

X1A+X1D=1000000

-1.06X1D+ X2A+X2C+X2D =0 -1.15X1A-1.06X2D+ X3A+X3B+X3D=0

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