第四节 归纳与类比
[最新考纲] 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推理，体会合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的含义.3.掌握演绎推理的基本模式，能运用它们进行一些简单的演绎推理．
1．归纳推理
(1)定义：根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个都有这种属性的推理方式．
(2)特点：①是由部分到整体，由个别到一般的推理． ②利用归纳推理得出的结论不一定是正确的． 2．类比推理
(1)定义：由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征的推理过程．
(2)特点：①是两类事物特征之间的推理，是由特殊到特殊的推理． ②利用类比推理得出的结论不一定是正确的． 3．合情推理
(1)定义：是根据实验和实践的结果，个人的经验和直觉，已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式．
(2)归纳推理和类比推理是最常见的合情推理．
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．( ) (2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．( ) (3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× 二、教材改编
1．已知数列{an}中，a1＝1，n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想
an的表达式是( )
A．an＝3n－1 C．an＝n
2
B．an＝4n－3 D．an＝3
2
n－1
C [a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n.]
1
2．观察下列各式：
a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )
A．28 C．123
C [由题意可知，a＋b＝7＋11＝18；
6
6
B．76 D．199
a7＋b7＝11＋18＝29；a8＋b8＝18＋29＝47； a9＋b9＝29＋47＝76； a10＋b10＝47＋76＝123.]
3．如图(1)有面积关系：________.
S△PA′B′PA′·PB′VP—A′B′C′
＝，则由图(2)有体积关系：＝S△PABPA·PBVP—ABC
(1) (2)
PA′·PB′·PC′
[平面上的面积可类比到空间上的体积．
PA·PB·PC1
·S△PA′B′·h′
VP—A′B′C′3PA′·PB′·PC′
＝＝.] VP—ABC1PA·PB·PC·S△PAB·h3
4．在等差数列{an}中，若a10＝0，则有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n (n<19，n∈N
＋
)成立，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若b9＝1，则存在的等式为________．
b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N＋) [利用类比推理，借助等比数列的性质， b29＝b1＋
n·b17－n，
可知存在的等式为b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N＋)．]
考点1 归纳推理
与数字或式子有关的推理
(1)与数字有关的数阵(或数表)问题，要观察数字特征，数字与序号间的关系
及其变化规律，一般要结合数列知识求解．
(2)与式子有关的问题，要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律，归纳推理得出一般结论．
(1)(2019·皖南八校月考)将正整数依次排列如下：
2
1 2 4 7 11 16 … 3 5 8 12 17 … 6 9 13 18 … 10 14 19 … 15 20 … 21 … 由表知第5行第3列的数是13，若第2 020行第2列的数是a，则a的各位数字中，数字0的个数为( )
A．0 C．2
B．1 D．2
111
(2)(2019·山东省实验中学等四校联考)观察下列式子，ln 2＞，ln 3＞＋，ln 4
335111
＞＋＋，…，根据上述规律，第n个不等式应该为________． 357
111
(1)B (2)ln(n＋1)＞＋＋…＋ [(1)由题前n行中共有1＋2＋3＋…＋n＝
352n＋1
nn＋1
22 0192 019＋1
个整数，故第2 019行中最后一个数：＝2 039 190，
2
第2020行中第2列的数为：2 039 190＋2＝2 039 192，故0的个数为1，故选B. 11
(2)根据题意，对于第一个不等式，ln 2＞，则有ln(1＋1)＞，
32×1＋111
对于第二个不等式，ln 3＞＋，则有
3511
ln(2＋1)＞＋，
32×2＋1
111
对于第三个不等式，ln 4＞＋＋，则有
357111
ln(3＋1)＞＋＋，
352×3＋1依此类推：
111
第n个不等式为：ln(n＋1)＞＋＋…＋.]
352n＋1
与数字或式子有关的推理主要考查数列的通项的求法，即从题设信息中发现
数式变化规律，运用归纳猜想可解，重视由特殊到一般的数学思想．
1.(2019·安庆模拟)《周易》历来被人们视为儒家经典之首，它表现了古代
3
中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映了中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻““
”当做数字“0”，则八卦代表的数表示如下： 卦名 坤 震 坎 兑 符号 表示的二进制数 000 001 010 011 表示的十进制数 0 1 2 3 ”表示的十进制数是( )
”当做数字“1”，把阴爻
以此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“A．18 C．16
B．17 D．15
B [由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符号“”表示二进制数的010001，转
化为十进制数的计算为1×20＋0×21＋0×22＋0×23＋1×24＋0×25＝17，故选B.]
2．对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解方式：
2＝1＋3；3＝1＋3＋5；4＝1＋3＋5＋7；2＝3＋5；3＝7＋9＋11；4＝13＋15＋17＋19.
根据上述分解规律，则5＝1＋3＋5＋7＋9，若m(m∈N＋)的分解中最小的数是73，则m的值为________．
9 [根据2＝3＋5；3＝7＋9＋11；4＝13＋15＋17＋19，从2起，m的分解规律恰为数列3,5,7,9…中若干连续项之和，2为前两项和，3为接下来三项和，故m的首个数为m－m＋1.因为m(m∈
N＋)的分解中最小的数是73，所以m－m＋1＝73，解得m＝9.]
与图形变化有关的推理
与图形变化有关的推理，其解题切入点：
(1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与序号的关系；(2)从图形的结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，结构、数值发生了怎样的变化，探求规律．
如图所示，第n个图形是由正n＋2边形拓展而来(n＝1,2，…)，则第n－2(n≥3)
个图形共有________个顶点．
2
3
3
3
3
2
3
3
3
3
3
2
3
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3
3
4
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