考点6、导数及其应用

ak?1?ak?2?1，也就是说当n?k?1时，an?an?1?1也成立；

根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数n，an?an?1?1恒成立. （Ⅲ）证明：由f(x)?x?xlnx．an?1?f(an)可得

?a1?b??ailnai a?b?a?b?alnak?1kkki?11， 若存在某i≤k满足ai?b，则由（Ⅱ）知：ak?1?b?ai?b≥0 2， 若对任意i≤k都有ai?b，则a ?b?a?b?alnak?1kkkk?a1?b??ailnaii?1k?a1?b??ailnbi?1k?a1?b?(?ai)lnbi?1k?a?b?kalnb 11?0，即ak?1?b成立. ?a?b?(a?b)?a?b?kalnb?111128、（2008全国Ⅱ）设函数f(x)?（Ⅰ）求f(x)的单调区间；

（Ⅱ）如果对任何x≥0，都有f(x)≤ax，求a的取值范围． 【解析】（Ⅰ）f?(x)?sinx．

2?cosx(2?cosx)cosx?sinx(?sinx)2cosx?1?． ·························· 2分

(2?cosx)2(2?cosx)22π2π1?x?2kπ?（k?Z）时，cosx??，即f?(x)?0； 3322π4π1?x?2kπ?当2kπ?（k?Z）时，cosx??，即f?(x)?0． 332当2kπ?因此f(x)在每一个区间?2kπ???2π2π?，2kπ??（k?Z）上是增函数， 33?2π4π??·································· 6分 f(x)在每一个区间?2kπ?，2kπ??（k?Z）上是减函数． ·

33??（Ⅱ）令g(x)?ax?f(x)，则

g?(x)?a?2cosx?1

(2?cosx)2?a?23? 22?cosx(2?cosx)11?1??3????a?．

3?2?cosx3?故当a≥21时，g?(x)≥0． 3又g(0)?0，所以当x≥0时，g(x)≥g(0)?0，即f(x)≤ax． ································ 9分 当0?a?1时，令h(x)?sinx?3ax，则h?(x)?cosx?3a． 3故当x??0，arccos3a?时，h?(x)?0． 因此h(x)在?0，arccos3a?上单调增加． 故当x?(0，arccos3a)时，h(x)?h(0)?0， 即sinx?3ax．

于是，当x?(0，arccos3a)时，f(x)?当a≤0时，有f?sinxsinx??ax．

2?cosx3π?π?1． ??0≥a??222???1?3??因此，a的取值范围是?，···························································································· 12分 ???．·

29、（2008北京高考）知函数f(x)?2x?b，求导函数f?(x)，并确定f(x)的单调区间．

(x?1)22(x?1)2?(2x?b)?2(x?1)【解析】f?(x)?

(x?1)4??2x?2b?2

(x?1)32[x?(b?1)]． 3(x?1)??令f?(x)?0，得x?b?1．

当b?1?1，即b?2时，f?(x)的变化情况如下表：

x (??，b?1) b?1 0 (b?11)， (1，??)f?(x)? ? ?