当-11时,a>; 当a=时,a=.
【点评】(1)有时无理数比较大小,通过平方转化以后也无法进行比较,那么我们可以利用倒数关系比
较;
(2)这道题实际上是互为倒数的两个数之间的比较大小,我们可以利用数轴进行比较,我们知
道,0没有倒数,±1的倒数等于它本身,这样数轴就被这3个数分成了4部分,下面就可以分类讨论每种情况.我们还可以利用函数图象来解决这个问题,把的值看成是关于a的反比例函数,把a的值看成是关于a的正比例函数,在坐标系中画出它们的图象,可以很直观的比较出它们的大小. 举一反三:
【变式】比较下列每组数的大小: (1)和 (2)和 【答案】
(1)将其通分,转化成同分母分数比较大小, ,,, 所以. (2)
因为, 所以.
类型四、平方根的应用
5.已知:x ,y是实数,,若axy-3x=y,则实数a的值是_______. 【答案】. 【解析】,即
两个非负数相加和为0,则这两个非负数必定同时为0,
2
∴,(y-3)=0, ∴ x=, y=3 又∵axy-3x=y, ∴ a=.
【点评】此题考查的是非负数的性质.
类型五、实数运算中的规律探索
6.细心观察图形,认真分析各式,然后解答问题
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(1)请用含有n(n是正整数)的等式表示上述变化规律; (2)推算出OA10的长;
2222
(3)求出S1+ S2+ S3+…+ S10的值. 【答案与解析】
(1)由题意可知,图形满足勾股定理,
(2)因为OA1=,OA2=,OA3=…,
所以OA10= 2222
(3)S1+ S2+ S3+…+ S10
= = =.
【点评】近几年各地的中考题中越来越多的出现了一类探究问题规律的题目,这些问题素材的选择、文
字的表述、题型的设计不仅考察了数学的基础知识,基本技能,更重点考察了创新意识和能力,还考察了认真观察、分析、归纳、由特殊到一般,由具体到抽象的能力. 举一反三:
【变式】图中是一幅“苹果图”,第一行有1个苹果,第二行有2个,第三行有4个,?第四行有8个,……
你是否发现苹果的排列规律?猜猜看,第十行有______个苹果.
【答案】2(512).
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中考总复习:实数—巩固练习 (基础)
【巩固练习】
一、选择题
1. 在实数-,0,,-3.1415,,,-0.1010010001…(每两个1之间依次多1个0),sin30° 这8个实数中,无理数有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.我国第六次全国人口普查数据显示,居住在城镇的人口总数达到665 575 306人.将665 575 306用科学记数法表示(保留三个有效数字)约为( ) A.66.6×10 B.6.66×10 C.0.666×10
7
8
8
D.6.66×10
7
3.(2015?杭州)若k<<k+1(k是整数),则k=( ) A.6 B.7 C.8 D.9 4.在三个数0.5、、中,最大的数是( )
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A.0.5 B. C. D.不能确定
5.用四舍五入法按要求对0.05049分别取近似值,其中错误的是( ) A.0.1(精确到0.1)
B.0.05(精确到百分位)
C.0.050(精确到0.001) D.0.05(精确到千分位)
6.我国古代的“河图”是由3×3的方格构成,每个方格内均有数目不同的点图,每一行、每一列以及每一条对角线上的三个点图的点数之和均相等.图中给出了“河图”的部分点图,请你推算出P处所对应的点图是( )
二、填空题 7.则= .
8. (2014?辽阳)5﹣的小数部分是 . 9.若互为相反数,则a+b的值为________.
10.已知a与b互为相反数,c与d互为倒数,m的绝对值是1,则的值为________.
11.已知:若符合前面式子的规律,则a+b=________. 12.将正偶数按下表排列:
第1列 第2列 第3列 第4列 第1行 2
第2行 4 6
第3行 8 10 12
第4行 14 16 18 20 ……
根据上面的规律,则2006所在行、列分别是________.
三、解答题 13. 计算:(1) (2)
14.若,比较a、b、c的大小。
15.在数学活动中,小明为了求的值(结果用n表示),设计如图(1)所示的几何图形.
(1)请你利用这个几何图形求的值为_______.
(2)请你利用图(2)再设计一个能求的值的几何图形.
2432
16.(2014春?双流县月考)求(2+1)(2+1)(2+1)…(2+1)+1的个位数字.
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【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】C;
【解析】对实数分类,不能只为表面形式迷惑,而应从最后结果去判断.首先明确无理数的概念,即
“无限不循环小数叫做无理数”.一般来说,用根号表示的数不一定就是无理数,如是有理数,关键在于这个形式上带根号的数的最终结果是不是无限不循环小数.同样,用三角符号表示的数也不一定就是无理数,如sin30°、tan45°等.而-0.1010010001…尽管有规律,?但它是无限不循环小数,是无理数.是无理数,而不是分数.在上面所给的实数中,只有,,-0.1010010001…这三个数是无理数,其他五个数都是有理数,故选C.
2.【答案】B;
【解析】科学记数法的表示形式为×10的形式,其中1≤||<10,n为整数.确定n的值是关键点,
由于665 575 306有9位,所以可以确定n=9﹣1=8.有效数字的计算方法是:从左边第一个不是0的数字起,后面所有的数字都是有效数字,故选B.
3.【答案】D.
【解析】∵k<<k+1(k是整数),9<<10,∴k=9.故选:D. 4.【答案】B; 5.【答案】D;
【解析】根据近似数与有效数字的概念对四个选项进行逐一分析即可:
A、0.05049精确到0.1应保留一个有效数字,是0.1,故本选项正确; B、0.05049精确到百分位应保留一个有效数字,是0.05,故本选项正确; C、0.05049精确到0.001应是0、050,故本选项正确; D、0.05049精确到千分位应是0.050,故本选项错误. 故选D.
6.【答案】C;
【解析】设左下角小方格内的点数为x(如图),则依题意得2+5+x=x+1+p,解得p=6.
二、填空题 7.【答案】-1; 【解析】根据非负数的性质,要使,必须,即.
因此.
8.【答案】2﹣ ;
【解析】由1<<2,得﹣2<﹣<﹣1.
不等式的两边都加5,得5﹣2<5﹣<5﹣1, 即3<5﹣<4,
5﹣的小数部分是(5﹣)﹣3=2﹣,故答案为:2﹣. 9.【答案】0;
【解析】由绝对值非负特性,可知,又由题意可知:
n
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所以只能是:a–2=0,b+2=0,即a=2,b= –2 ,所以a+b=0.
10.【答案】0; 【解析】原式=. 11.【答案】109;
【解析】规律,所以a=99,b=10,a+b=109. 12.【答案】第45行第13列
【解析】观察数列2,4,6,8,10,...每个比前一个增大2,2006是这列数字第1003个.
每行数字的个数按照1,2,3,4,5,...,n 递增,根据等差数列求和公式,第n行(包括n行)以前的所有数字的个数. 如果2006在第n行,那么
设,解得n约为44.5,n取整数,因此n=45。
到第44行(含44行)共有数字(44+1)×=990个; 到第45行(含45行)共有数字(45+1)×=1035个; 2006是第1003个,在45行13列.
三、解答题
13.【答案与解析】 (1)原式= (2)原式==
14.【答案与解析】
<-1;>-1且<0;c>0;所以容易得出:a<b<c.
15.【答案与解析】 (1) (2)
16.【答案与解析】
224832
解:原式=(2﹣1)(2+1)(2+1)(2+1)…(2+1)+1
44832
=(2﹣1)(2+1)(2+1)…(2+1)+1 64
=2﹣1+1 64
=2; 12345
∵2=2,2=4,2=8,2=16,2=32,…
∴2的整数次幂的个位数字每4个数字为一个循环组依次循环, ∵64=16×4, 644
∴2的个位数字与2的个位数字相同,为6, ∴原式的个位数字为6.
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重点题型(常考知识点)巩固练习
中考总复习:整式与因式分解—知识讲解(基础)
【考纲要求】
1.整式部分主要考查幂的性质、整式的有关计算、乘法公式的运用,多以选择题、填空题的形式出现; 2.因式分解是中考必考内容,题型多以选择题和填空题为主,也常常渗透在一元二次方程和分式的化简中进行考查. 【知识网络】
【考点梳理】 考点一、整式 1.单项式
数与字母的积的形式的代数式叫做单项式.单项式是代数式的一种特殊形式,它的特点是对字母来说只含有乘法的运算,不含有加减运算.在含有除法运算时,除数(分母)只能是一个具体的数,可以看成分数因数.单独一个数或一个字母也是单项式. 要点诠释:
(1)单项式的系数是指单项式中的数字因数.
(2)单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和. 2.多项式
几个单项式的代数和叫做多项式.也就是说,多项式是由单项式相加或相减组成的. 要点诠释:
(1)在多项式中,不含字母的项叫做常数项.
(2)多项式中次数最高的项的次数,就是这个多项式的次数.
(3)多项式的次数是n次,有m个单项式,我们就把这个多项式称为n次m项式.
(4)把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把这个多项式按这个字母降幂排列.另外,把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来,叫做把这个多项式按这个字母升幂排列. 3.整式
单项式和多项式统称整式. 4.同类项
所含字母相同,并且相同字母的指数也分别相同的项,叫做同类项. 5.整式的加减
整式的加减其实是去括号法则与合并同类项法则的综合运用.
把多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项.合并同类项后,所得项的系数是合并前各同类项的系数的和,且字母部分不变.
如果括号外的因数是正数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同;如果括号外的因数是负数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.
整式加减的运算法则:一般地,几个整式相加减,如果有括号就先去括号,然后再合并同类项. 6.整式的乘除
①幂的运算性质:
②单项式相乘:两个单项式相乘,把系数、相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.
③单项式与多项式相乘:单项式与多项式相乘,用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加.用式子表达:
④多项式与多项式相乘:一般地,多项式乘以多项式,先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.用式子表达: 平方差公式:
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完全平方公式:
在运用乘法公式计算时,有时要在式子中添括号,添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变符号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号.
⑤单项式相除:两个单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式.
⑥多项式除以单项式:多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加.
要点诠释:
(1)同底数幂是指底数相同的幂,底数可以是任意的有理数,也可以是单项式、多项式. (2)三个或三个以上同底数幂相乘时,也具有这一性质,
即(都是正整数).
(3)公式的推广: (,均为正整数) (4)公式的推广: (为正整数).
考点二、因式分解 1.因式分解
把一个多项式化成几个整式的积的形式,这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解. 2.因式分解常用的方法 (1)提取公因式法: (2)运用公式法:
平方差公式:;完全平方公式: (3)十字相乘法: 3.因式分解的一般步骤
(1)如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式;
(2)提出公因式或无公因式可提,再考虑可否运用公式或十字相乘法; (3)对二次三项式,应先尝试用十字相乘法分解,不行的再用求根公式法; (4)最后考虑用分组分解法及添、拆项法.
要点诠释:
(1)因式分解的对象是多项式; (2)最终把多项式化成乘积形式; (3)结果要彻底,即分解到每个因式都不能再分解为止.
(4)十字相乘法分解思路为“看两端,凑中间”,二次项系数一般都化为正数,如果是负数,则提出负号,分解括号里面的二次三项式,最后结果不要忘记把提出的负号添上.
【典型例题】
类型一、整式的有关概念及运算
1.若3xy与xy的和是单项式,则n .
【答案】
m+523nm+523n
【解析】由3xy与xy的和是单项式得3xy与xy是同类项,
m+52
3n
m
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∴ 解得, n=2=
【点评】本题考查同类项定义结合求解二元一次方程组,负整数指数幂的计算. 同类项的概念为:所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的单项式. 举一反三:
【变式】若单项式是同类项,则的值是( ) A、-3 B、-1 C、 D、3 【答案】由题意单项式是同类项, 所以,解得,,应选C.
m
-2
2.下列各式中正确的是( )
236236538
A. B.a·a=a C.(-3a)=-9a D.a+a=a
【答案】A;
【解析】选项B为同底数幂乘法,底数不变,指数相加,a2·a3=a5,所以B错;
236
选项C为积的乘方,应把每个因式分别乘方,再把所得的幂相乘,(-3a)=-27a,所以C错;选项D为两个单项式的和,此两项不是同类项,不能合并,所以D错;
选项A为负指数幂运算,一个数的负指数幂等于它的正指数幂的倒数,A正确.答案选A.
【点评】考查整数指数幂运算. 举一反三:
【变式1】下列运算正确的是 ( )
A. B. C. D. -3
【答案】A.2= ; B. ;C. 正确 ;D.. 故选C.
【高清课程名称: 整式与因式分解 高清:399488 :例1-例2】
【变式2】下列运算中,计算结果正确的个数是( ).
43126325510
(1)a·a=a; (2)a÷a=a; (3)a+a=a;
329224
(4)(a)=a; (5)(-ab)=ab; (6) A.无 B.1个 C.2个 D.3个
【答案】A.
3.利用乘法公式计算:
(1)(a+b+c) (2)(2a-3b+2)(2-2a+3b) 【答案与解析】
(1)(a+b+c)可以利用完全平方公式,将a+b看成一项,则 (a+b+c)=[(a+b)+2(a+b)c+c] =a+2ab+b+2ac+2bc+c =a+b+c+2ab+2ac+2bc.
(2)(2a-3b+2)(2-2a+3b)两个多项式中,每一项都只有符号的区别,所以,我们考虑用平方差公 式,将符号相同的看作公式中的a,将符号相反的项,看成公式中的b,
2
2
2
2
2
2
2
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2
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2
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原式=[2+(2a-3b)][2-(2a-3b)] =4-(2a-3b)=4-4a+12ab-9b.
【点评】利用乘法公式去计算时,要特别注意公式的形式及符号特点,灵活地进行各种变形. 举一反三:
【变式】如果a+ma+9是一个完全平方式,那么m=______. 【答案】利用完全平方公式:(a±3)=a±6a+9. m=±6.
2
2
22
22
4
22
4
2
2
2
2
类型二、因式分解
4.(2015春?兴化市校级期末)因式分解
2
(1)9x﹣81
22222
(2)(x+y)﹣4xy
(3)3x(a﹣b)﹣6y(b﹣a)
223
(4)6mn﹣9mn﹣n. 【思路点拨】
(1)如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式;
(2)提出公因式或无公因式可提,再考虑可否运用公式或十字相乘法; (3)对二次三项式,应先尝试用十字相乘法分解,不行的再用求根公式法; (4)最后考虑用分组分解法及添、拆项法. 【答案与解析】
2
解:(1)原式=9(x﹣9)=9(x+3)(x﹣3);
222222
(2)原式=(x+y+2xy)(x+y﹣2xy)=(x+y)(x﹣y); (3)原式=3(a﹣b)(x+2y);
(4)原式=﹣n(9m+n﹣6mn)=﹣n(3m﹣n).
【点评】把一个多项式进行因式分解,首先要看多项式是否有公因式,有公因式就要先提取公因式,再
看是否还可以继续进行分解,是否可以利用公式法进行分解,直到不能进行分解为止. 举一反三:
【高清课程名称: 整式与因式分解 高清:399488 :例3(1)-(2)】 【变式】(2015春?陕西校级期末)分解因式:
22
(1)(2x+y)﹣(x+2y)
232
(2)﹣8ab+2a+8ab. 【答案】
解:(1)原式=[(2x+y)+(x+2y)][(2x+y)﹣(x+2y)]=3(x+y)(x﹣y);
222
(2)原式=2a(a﹣4ab+4b)=2a(a﹣2b).
5.若能分解为两个一次因式的积,则m的值为( ) A. 1 B. -1 C. D. 2
【思路点拨】
对二元二次多项式分解因式时,要先观察其二次项能否分解成两个一次式乘积,再通过待定系数法确定其系数,这是一种常用的方法. 【答案】C. 【解析】
2
2
2
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解:
-6可分解成或,因此,存在两种情况:
由(1)可得:, 由(2)可得:. 故选择C.
【总结升华】十字相乘法分解思路为“看两端,凑中间”,二次项系数一般都化为正数,如果是负数,
则提出负号,分解括号里面的二次三项式,最后结果不要忘记把提出的负号添上.
举一反三:
【变式】因式分解: _______________. 【答案】
类型三、因式分解与其他知识的综合运用
222
6.已知a、b、c 是△ABC的三边的长,且满足: a+2b+c-2b(a+c)=0,试判断此三角形的形状.
【思路点拨】
2222
式子a+2b+c-2b(a+c)=0体现了三角形三边长关系,从形式上看与完全平方式相仿,把2b写成22
b+b,故等式可变成2个完全平方式,从而得到结论. 【答案与解析】
222
解: a+2b+c-2b(a+c)=0
2222
a+b+ b+c-2ba-2bc=0
2 2
(a-b)+(b-c)=0
即: a-b=0 , b-c=0,所以a=b=c. 所以△ABC是等边三角形.
【总结升华】通过对式子变化,化为平方和等于零的形式,从而求出三边长的关系.
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【巩固练习】
一、选择题
1.下列计算中错误的是( )
A. B.
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C. D.
2. 已知与一个多项式之积是,则这个多项式是( )
A. B.
C. D.3.把代数式分解因式,下列结果中正确的是( ) A. B. C. D.
2
4.(2015?佛山)若(x+2)(x﹣1)=x+mx+n,则m+n=( ) A.1 B.﹣2 C.﹣1 D.2
5. 如果,则为 ( )
A.5 B.-6 C.-5 D.6 6.把进行分组,其结果正确的是( ) A. B. C. D.
二、填空题
7.已知,则的值为 .
8.(1)已知=3,=2, __________.(2)已知=6,=8, ___________. 9.分解因式: _________________. 10.(2015秋?乌海校级期中)在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a>b)(如图甲),把余下的部分拼成一个矩形(如图乙),根据两个图形中阴影部分的面积相等,可以验证 (填写序号).
222222
①(a+b)=a+2ab+b ②(a﹣b)=a﹣2ab+b
2222③a﹣b=(a+b)(a﹣b) ④(a+2b)(a﹣b)=a+ab﹣2b.
11.多项式可分解为,则,的值分别为_________. 12.分解因式:=__ ______.
三、解答题
13.将下列各式分解因式: (1); (2); (3); (4).
14.(2015春?故城县期末)(1)实验与观察:(用“>”、“=”或“<”填空) 当x=﹣5时,代数式x﹣2x+2 1;
2
当x=1时,代数式x﹣2x+2 1;…
(2)归纳与证明:换几个数再试试,你发现了什么?请写出来并证明它是正确的; (3)拓展与应用:求代数式a+b﹣6a﹣8b+30的最小值.
15. 已知,求下列代数式的值:(1); (2).
16.若三角形的三边长是,且满足,试判断三角形的形状. 小明是这样做的: 解:∵,∴. 即
2
2
2
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∵,∴.
∴该三角形是等边三角形. 仿照小明的解法解答问题:
已知:为三角形的三条边,且,试判断三角形的形状.
【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】D; 【解析】. 2.【答案】C;
【解析】这个多项式为. 3.【答案】D;
【解析】运用提取公因式法和公式法因式分解.
4.【答案】C;
22
【解析】∵原式=x+x﹣2=x+mx+n,
∴m=1,n=﹣2.
∴m+n=1﹣2=﹣1.故选:C. 5.【答案】B; 【解析】由题意. 6.【答案】D; 【解析】原式=.
二、填空题 7.【答案】5;
【解析】由得.∴ . 8.【答案】(1);(2); 【解析】(1);(2). 9.【答案】; 【解析】原式
令, .
10.【答案】 ③;
22
【解析】∵图甲中阴影部分的面积=a﹣b,图乙中阴影部分的面积=(a+b)(a﹣b),
而两个图形中阴影部分的面积相等, 22
∴a﹣b=(a+b)(a﹣b).
故可以验证③.故答案为:③. 11.【答案】; 【解析】,所以,. 12.【答案】; 【解析】. 三、解答题
13.【答案与解析】
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(1); (2). (3); (4)因为
所以:原式
14.【答案与解析】
2
解:(1)把x=﹣5代入x﹣2x+2中得:25+10﹣2=33>1;
2
把x=1代入x﹣2x+2中得:1﹣2+1=1, 故答案为:>,=;
222
(2)∵x﹣2x+2=x﹣2x+1+1=(x﹣1)+1,
2
X为任何实数时,(x﹣1)≥0,
2
∴(x﹣1)+1≥1;
2222
(3)a+b﹣6a﹣8b+30=(a﹣3)+(b﹣4)+5.
22
∵(a﹣3)≥0,(b﹣4)≥0,
22
∴(a﹣3)+(b﹣4)+5≥5,
22
∴代数式a+b﹣6a﹣8b+30的最小值是5.
15.【答案与解析】
(1) ∴.
(2)已知两边同除以,得 ∴ ∴.
16.【答案与解析】 ∵ ∴ ∴
∴,该三角形是等边三角形.
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重点题型(常考知识点)巩固练习
中考总复习:分式与二次根式—知识讲解(基础)
【考纲要求】
1. 了解分式的概念,会利用分式的基本性质进行约分和通分,会进行分式的加、减、乘、除、乘方运算;能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程,会解简单的可化为一元一次方程的分式方程; 2. 利用二次根式的概念及性质进行二次根式的化简,运用二次根式的加、减、乘、除法的法则进行二次根式的运算. 【知识网络】
【考点梳理】
考点一、分式的有关概念及性质 1.分式
设A、B表示两个整式.如果B中含有字母,式子就叫做分式.注意分母B的值不能为零,否则分式没有意义.
2.分式的基本性质
(M为不等于零的整式). 3.最简分式
分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式,要进行约分化简. 要点诠释:
分式的概念需注意的问题:
(1)分式是两个整式相除的商,其中分母是除式,分子是被除式,而分数线则可以理解为除号,还含有括号的作用;
(2)分式中,A和B均为整式,A可含字母,也可不含字母,但B中必须含有字母且不为0; (3)判断一个代数式是否是分式,不要把原式约分变形,只根据它的原有形式进行判断. (4)分式有无意义的条件:在分式中,
①当B≠0时,分式有意义;当分式有意义时,B≠0. ②当B=0时,分式无意义;当分式无意义时,B=0. ③当B≠0且A = 0时,分式的值为零. 考点二、分式的运算 1.基本运算法则
分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下: (1)加减运算 ±=
同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减.
;
异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法则进行计算. (2)乘法运算
两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母. (3)除法运算
两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘. (4)乘方运算 (分式乘方)
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分式的乘方,把分子分母分别乘方. 2.零指数 . 3.负整数指数 4.分式的混合运算顺序
先算乘方,再算乘除,最后加减,有括号先算括号里面的. 5.约分
把一个分式的分子和分母的公因式约去,这种变形称为分式的约分. 6.通分
根据分式的基本性质,异分母的分式可以化为同分母的分式,这一过程称为分式的通分. 要点诠释:
约分需明确的问题:
(1)对于一个分式来说,约分就是要把分子与分母都除以同一个因式,使约分前后分式的值相等; (2)约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式,其思考过程与分解因式中提取公因式时确定公因式的思考过程相似;在此,公因式是分子、分母系数的最大公约数和相同字母最低次幂的积.
通分注意事项:
(1)通分的关键是确定最简公分母;最简公分母应为各分母系数的最小公倍数与所有因式的最高次幂的积.
(2)不要把通分与去分母混淆,本是通分,却成了去分母,把分式中的分母丢掉. (3)确定最简公分母的方法:
最简公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数;
最简公分母的字母,取各分母所有字母因式的最高次幂的积. 考点三、分式方程及其应用 1.分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 2.分式方程的解法
解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程. 3.分式方程的增根问题
验根:因为解分式方程可能出现增根,所以解分式方程必须验根.验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中,看它是否为0,如果为0,即为增根,不为0,就是原方程的解. 4.分式方程的应用
列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似,但要稍复杂一些.解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节,从而正确列出方程,并进行求解.另外,还要注意从多角度思考、分析、解决问题,注意检验、解释结果的合理性.
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要点诠释:
解分式方程注意事项:
(1)去分母化成整式方程时不要与通分运算混淆;
(2)解完分式方程必须进行检验,验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中,看它是否为0,如果为0,即为增根,不为0,就是原方程的解.
列分式方程解应用题的基本步骤: (1)审——仔细审题,找出等量关系; (2)设——合理设未知数; (3)列——根据等量关系列出方程; (4)解——解出方程; (5)验——检验增根; (6)答——答题.
考点四、二次根式的主要性质
1.; 2.; 3.;
4. 积的算术平方根的性质:; 5. 商的算术平方根的性质:. 6.若,则. 要点诠释: 与的异同点:
(1)不同点:与表示的意义是不同的,表示一个正数a的算术平方根的平方,而表示一个实数a的平方的算术平方根;在中,而中a可以是正实数,0,负实数.但与都是非负数,即,.因而它的运算的结果是有差别的, ,而
(2)相同点:当被开方数都是非负数,即时, =;时,无意义, 而.
考点五、二次根式的运算 1.二次根式的乘除运算
(1)运算结果应满足以下两个要求:①应为最简二次根式或有理式;②分母中不含根号. (2)注意知道每一步运算的算理; 2.二次根式的加减运算
先化为最简二次根式,再类比整式加减运算,明确二次根式加减运算的实质; 3.二次根式的混合运算
(1)对二次根式的混合运算首先要明确运算的顺序,即先乘方、开方,再乘除,最后算加减,如有括号,应先算括号里面的;
(2)二次根式的混合运算与整式、分式的混合运算有很多相似之处,整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用. 要点诠释:
怎样快速准确地进行二次根式的混合运算.
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1.明确运算顺序,先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号先算括号里面的; 2.在二次根式的混合运算中,原来学过的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用;
3.在二次根式的混合运算中,如能结合题目特点,灵活运用二次根式的性质,选择恰当的解题途径,往往能收到事半功倍的效果.
(1)加法与乘法的混合运算,可分解为两个步骤完成,一是进行乘法运算,二是进行加法运算,使难点分散,易于理解和掌握.在运算过程中,对于各个根式不一定要先化简,可以先乘除,进行约分,达到化简的目的,但最后结果一定要化简.
例如,没有必要先对进行化简,使计算繁琐,可以先根据乘法分配律进行乘法运算,,通过约分达到化简目的;
(2)多项式的乘法法则及乘法公式在二次根式的混合运算中同样适用. 如:,利用了平方差公式.
所以,在进行二次根式的混合运算时,借助乘法公式,会使运算简化. 【典型例题】 类型一、分式的意义
1.使代数式有意义的的取值范围是( )
A. B. C.且 D.一切实数 【答案】C;
【解析】解不等式组得且,故选C.
【点评】代数式有意义,就是要使代数式中的分式的分母不为零;代数式中的二次根式的被开方数是非
负数,即需要中的x0;分母中的2x-10.
举一反三:
【高清课程名称:分式与二次根式 高清:399347 :例1】
【变式】当x取何值时,分式有意义?值为零? 【答案】
当时,分式有意义,即时,分式有意义. 当且时,分式值为零,
解得,且,即时,分式值为零. 类型二、分式的性质
2.已知,求下列各式的值.
(1); (2). 【答案与解析】
(1)因为,所以. 即.所以. (2), 所以.
【点评】观察(1)和已知条件可知,将已知等式两边分别平方再整理,即可求出(1)的值;对于(2),直接求
值很困难,根据其特点和已知条件,能够求出其倒数的值,这样便可求出(2)的值.
举一反三:
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【变式】已知求的值. 【答案】 由得
所以即. 所以.
类型三、分式的运算 3.(2015?眉山)计算:. 【答案与解析】 解: =?=.
异分母分式相加减,先根据分式的基本性质进行通分,转化为同分母分式,再进行相加减.在【点评】
通分时,先确定最简公分母,然后将各分式的分子、分母都乘以分母与最简公分母所差的因式.运算的结果应根据分式的基本性质化为最简形式. 举一反三:
【高清课程名称:分式与二次根式 高清:399347 :例2】 【变式】(2015?宁德)化简: ?. 【答案】解:原式=: ?
=.
类型四、分式方程及应用
4.如果方程有增根, 那么增根是 . 【答案与解析】
因为增根是使分式的分母为零的根,由分母或可得.所以增根是. 答案: 【点评】使分母为0的根是增根.
5.为创建“国家卫生城市”,进一步优化市中心城区的环境,德州市政府拟对部分路段的人行道地砖、花池、排水管道等公用设施全面更新改造,根据市政建设的需要,须在60天内完成工程.现在甲、乙两个工程队有能力承包这个工程.经调查知道:乙队单独完成此项工程的时间比甲队单独完成多用25天,甲、乙两队合作完成工程需要30天,甲队每天的工程费用2500元,乙队每天的工程费用2000元.
(1)甲、乙两个工程队单独完成各需多少天?
(2)请你设计一种符合要求的施工方案,并求出所需的工程费用. 【答案与解析】
(1)设甲工程队单独完成该工程需x天,则乙工程队单独完成该工程需(x+25)天.
根据题意得:.
方程两边同乘以x(x+25),得30(x+25)+30x=x(x+25),
2
即x﹣35x﹣750=0.
解之,得x1=50,x2=﹣15.
经检验,x1=50,x2=﹣15都是原方程的解. 但x2=﹣15不符合题意,应舍去. ∴当x=50时,x+25=75.
答:甲工程队单独完成该工程需50天,则乙工程队单独完成该工程需75天. (2)此问题只要设计出符合条件的一种方案即可.
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方案一:由甲工程队单独完成.( 所需费用为:2500×50=125000(元). 方案二:由甲乙两队合作完成. 所需费用为:(2500+2000)×30=135000(元).
【点评】本题考查分式方程在工程问题中的应用.分析题意,找到关键描述语,找到合适的等量关系是
解决问题的关键.工程问题的基本关系式:工作总量=工作效率×工作时间.
(1)如果设甲工程队单独完成该工程需x天,那么由“乙队单独完成此项工程的时间比甲队单独
完成多用25天”,得出乙工程队单独完成该工程需(x+25)天.再根据“甲、乙两队合作完成工程需要30天”,可知等量关系为:甲工程队30天完成该工程的工作量+乙工程队30天完成该工程的工作量=1.
(2)首先根据(1)中的结果,排除在60天内不能单独完成该工程的乙工程队,从而可知符合要求的施工方案有两种:方案一:由甲工程队单独完成;方案二:由甲乙两队合作完成.针对每一种情况,分别计算出所需的工程费用. 举一反三:
【变式】莱芜盛产生姜,去年某生产合作社共收获生姜200吨,计划采用批发和零售两种方式销售.经
市场调查,批发每天售出6吨.
(1)受天气、场地等各种因素的影响,需要提前完成销售任务.在平均每天批发量不变的情况下,
实际平均每天的零售量比原计划增加了2吨,结果提前5天完成销售任务.那么原计划零售平均每天售出多少吨?
(2)在(1)的条件下,若批发每吨获得利润为2000元,零售每吨获得利润为2200元,计算实
际获得的总利润.
【答案】
(1)设原计划零售平均每天售出x吨. 根据题意,得,
解得x1=2,x2=﹣16.
经检验,x=2是原方程的根,x=﹣16不符合题意,舍去. 答:原计划零售平均每天售出2吨. (2).
实际获得的总利润是:2000×6×20+2200×4×20=416000(元).
类型五、二次根式的定义及性质
6.当x取何值时,的值最小?最小值是多少? 【答案与解析】
∵
∴,
∴当9x+1=0,即时,有最小值,最小值为3.
【点评】解决此类问题一定要熟练掌握二次根式的非负性,即≥0(a≥0).
由二次根式的非负性可知的最小值为0,因为3是常数, 所以的最小值为3.
类型六、二次根式的运算
【高清课程名称:分式与二次根式 高清:399347
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:例3】 7.计算:; 【答案与解析】
原式
【点评】本题主要考查的是二次根式的混合运算,在进行此类运算时一般先把二次根式化为最简二次根
式的形式后再运算.
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中考总复习:分式与二次根式—巩固练习(基础)
【巩固练习】
一、选择题
1. 下列各式与相等的是( )
A. B. C. D. 2.(2015?泰安)化简:(a+)(1﹣)的结果等于( ) A.a﹣2 B.a+2 C. D. 3.若分式的值是0,则x为( )
A.0 B.1 C.-1 D.±1 4.下列计算正确的是 ( )
5.在实施“中小学生蛋奶工程”中,某配送公司按上级要求,每周向学校配送鸡蛋10000 个,鸡蛋用甲、乙两种不同规格的包装箱进行包装,若单独使用甲型包装箱比单独使用 乙型包装箱可少用10个,每个甲型包装箱比每个乙型包装箱可多装50个鸡蛋,设每个 甲型包装箱可装x个鸡蛋,根据题意下列方程正确的是( )
A.-=10 C.-=10
B.-=10 D.-=10
6.函数中自变量x的取值范围是( )
A. x≤2 B. x=3 C. x<2且x≠3 D. x≤2且x≠3
二、填空题 7.(2014春?张家港市校级期末)下列分式中,不属于最简分式的,请在括号内写出化简后的结果,否则请在括号内打“√”.
① ② ③ ④ ⑤ .
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8.化简的结果是__________.
9.某同学步行前往学校时的行进速度是6千米/时,从学校返回时行进速度为4千米/时,那么该同学往返学校的平均速度是____________千米/时. 10.在中,是最简二次根式的有 个.
11. 若最简二次根式是同类二次根式,则x的值为 . 12.(1)把化简的结果是 .
(2)估计的运算结果应在 之间.(填整数)
三、解答题 13.(2015?南京)计算:(﹣)÷.
14.(1)已知:,求的值. (2)已知:,求的值.
15.在“情系海啸”捐款活动中,某同学对甲、乙两班捐款情况进行统计,得到如下三条信息.
信息1:甲班共捐款300 元, 乙班共挡捐款232 元.
信息2: 乙班平均每人捐款钱数是甲班平均每人捐款钱数的. 信息3 : 甲班比乙班多2人.
请根据以上三条信息,求出甲班平均每人捐款多少元.
16.已知.
【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】C;
【解析】化简= . 2.【答案】B;
【解析】?=?=a+2.故选B.
3.【答案】B;
【解析】分式的值为0,则解得. 4.【答案】A;
【解析】根据具体选项,应先进行化简,再计算. A选项中,
B选若可化为,C选项逆用平方差公式可求得,而D选项应将分子、分母都乘,得.故选A. 5.【答案】B;
【解析】设每个甲型包装箱可装x个鸡蛋,
-=10. 故选B.
6.【答案】A;
【解析】2-x≥0,∴x≤2,3不在x≤2的范围内.
二、填空题
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7.【答案】×,√,×,×,√; 【解析】①=; ②是最简分式; ③==; ④=﹣1;
⑤是最简分式;
只有②⑤是最简分式.故答案为:×,√,×,×,√. 8.【答案】
;
【解析】找到最简公分母为(m+3)(m-3),再通分.] 9.【答案】4.8;
【解析】平均速度=总路程÷总时间,设从学校到家的路程为s,则. 10.【答案】3; 【解析】是最简二次根式. 11.【答案】-1;
【解析】根据题意得x+3=3x+5,解得x=-1. 12.【答案】(1); (2)3和4; 【解析】(1)
(2)
三、解答题
13.【答案与解析】 解:(﹣)÷ =[﹣]× =[﹣]× =× =.
14.【答案与解析】
2
(1)∵ ∴=+1
原式======1 (2)∵ ∴.
15.【答案与解析】
设甲班平均每人捐款x元,则乙班平均每人捐款x元. 根据题意, 得,解这个方程得. 经检验,是原方程解.
答:甲班平均每人捐款5元.
16.【答案与解析】
由二次根式的定义及分式性质,得
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中考总复习:数与式综合复习—知识讲解(基础)
【考纲要求】
(1) 借助数轴理解相反数和绝对值的意义,会求有理数的倒数、相反数与绝对值.理解有理数的运算律,
并能运用运算律简化运算;
(2)了解平方根、算术平方根、立方根的概念,了解无理数和实数的概念,知道实数与数轴上的点一
一对应;会用根号表示数的平方根、立方根.了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则,会用它们进行有关实数的简单四则运算;
(3)了解整式、分式的概念,会进行简单的整式加、减运算;会进行简单的整式乘法运算.会利用分
式的基本性质进行约分和通分,会进行简单的分式加、减、乘、除运算.
【知识网络】
【考点梳理】
考点一、实数的有关概念、性质 1.实数及其分类
实数可以按照下面的方法分类:
实数还可以按照下面的方法分类:
要点诠释:
整数和分数统称有理数.无限不循环小数叫做无理数. 有理数和无理数统称实数. 2.数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反过来,数轴上的每一个点都表示一个实数.实数和数轴上的点是一一对应的关系. 要点诠释:
实数和数轴上的点的这种一一对应的关系是数学中把数和形结合起来的重要基础. 3.相反数
实数a和-a叫做互为相反数.零的相反数是零.
一般地,数轴上表示互为相反数的两个点,分别在原点的两旁,并且离原点的距离相等. 要点诠释:
两个互为相反数的数的运算特征是它们的和等于零,即如果a和b互为相反数,那么a+b=0;反过来,如果a+b=0,那么a和b互为相反数. 4.绝对值
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一个实数的绝对值就是数轴上表示这个数的点与原点的距离.
一个正实数的绝对值是它本身;一个负实数的绝对值是它的相反数;零的绝对值是零,即 如果a>0,那么|a|=a; 如果a<0,那么|a|=-a; 如果a=0,那么|a|=0. 要点诠释:
从绝对值的定义可以知道,一个实数的绝对值是一个非负数. 5.实数大小的比较
在数轴上表示两个数的点,右边的点所表示的数较大. 6.有理数的运算
(1)运算法则(略). (2)运算律:
加法交换律 a+b=b+a;
加法结合律 (a+b)+c=a+(b+c); 乘法交换律 ab=ba;
乘法结合律 (ab)c=a(bc); 分 配 律 a(b+c)=ab+ac.
(3)运算顺序:在加、减、乘、除、乘方、开方这六种运算中,加、减是第一级运算,乘、除是第二级运算,乘方、开方是第三级运算.在没有括号的算式中,首先进行第三级运算,然后进行第二级运算,最后进行第一级运算,也就是先算乘方、开方,再算乘、除,最后算加、减. 算式里如果有括号,先进行括号内的运算. 如果只有同一级运算,从左到右依次运算. 7.平方根
2
如果x=a,那么x就叫做a的平方根(也叫做二次方根). 要点诠释:
正数的平方根有两个,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根. 8.算术平方根
正数a的正的平方根,叫做a的算术平方根.零的算术平方根是零. 要点诠释:
从算术平方根的概念可以知道,算术平方根是非负数. 9.近似数及有效数字
近似地表示某一个量准确值的数,叫做这个量准确值的近似数.一个近似数,四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位.这时,从左边第一个不是0的数字起,到精确到的数位止,所有的数字都叫这个数的有效数字. 10.科学记数法
把一个数记成±a×的形式(其中n是整数,a是大于或等于1而小于10的数),称为用科学记数法表示这个数.
考点二、二次根式、分式的相关概念及性质 1.二次根式的概念
形如 (a≥0) 的式子叫做二次根式. 2.最简二次根式和同类二次根式的概念
最简二次根式是指满足下列条件的二次根式: (1)被开方数不含分母;
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(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,这几个二次根式就叫做同类二次根式. 要点诠释:
把分母中的根号化去,分式的值不变,叫做分母有理化.两个含有二次根式的代数式相乘,若它们的积不含二次根式,则这两个代数式互为有理化因式. 常用的二次根式的有理化因式: (1)互为有理化因式;
(2)互为有理化因式;一般地互为有理化因式; (3)互为有理化因式;一般地互为有理化因式. 3.二次根式的主要性质
(1); (2); (3);
(4)积的算术平方根的性质:; (5)商的算术平方根的性质:. 4. 二次根式的运算 (1)二次根式的加减
二次根式相加减,先把各个二次根式化成最简二次根式,再把同类二次根式分别合并. (2)二次根式的乘除
二次根式相乘除,把被开方数相乘除,根指数不变.
要点诠释:
二次根式的混合运算:
1.明确运算顺序,先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号先算括号里面的; 2.在二次根式的混合运算中,原来学过的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用;
3.在二次根式的混合运算中,如能结合题目特点,灵活运用二次根式的性质,选择恰当的解题途径,往往能收到事半功倍的效果. 5.代数式的有关概念
(1)代数式:用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连接而成的式子,叫做代数式.
用数值代替代数式里的字母,计算后所得的结果,叫做代数式的值.
代数式的分类:
(2)有理式:只含有加、减、乘、除、乘方运算(包含数字开方运算)的代数式,叫做有理式. (3)整式:没有除法运算或者虽有除法运算但除式里不含字母的有理式叫做整式. 整式包括单项式和多项式.
(4)分式:除式中含有字母的有理式,叫做分式.分式的分母取值如果为零,分式没有意义. 6.整式的运算
(1)整式的加减:整式的加减运算,实际上就是合并同类项.在运算时,如果遇到括号,根据去括号法则,先去括号,再合并同类项.
(2)整式的乘法:
①正整数幂的运算性质:
; ; ;
(a≠0,m>n).
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其中m、n都是正整数.
②整式的乘法:单项式乘单项式,用它们的系数的积作为积的系数,对于相同字母,用它们的指数的和作为积里这个字母的指数,对于只在一个单项式里含有的字母,连同它的指数作为积的一个因式. 单项式乘多项式,用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加.
多项式乘多项式,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.
③乘法公式: ; .
④零和负整数指数:在 (a≠0,m,n都是正整数)中,当m=n时,规定; 当m<n时,如m-n=-p(p是正整数),规定. 7.因式分解
(1)因式分解的概念
把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫做多项式的因式分解. 在因式分解时,应注意:
①在指定数(有理数、实数)的范围内进行因式分解,一定要分解到不能再分解为止,题目中没有指定数的范围,一般是指在有理数范围内分解.
②因式分解以后,如果有相同的因式,应写成幂的形式,并且要把各个因式化简. (2)因式分解的方法
①提公因式法:ma+mb+mc=m(a+b+c). ②运用公式法:;;
③十字相乘法:. (3)因式分解的步骤
①多项式的各项有公因式时,应先提取公因式; ②考虑所给多项式是否能用公式法分解. 要点诠释:
因式分解时应注意:①在指定数(有理数、实数)的范围内进行因式分解,一定要分解到不能再分解为止,若题目中没有指定数的范围,一般是指在有理数范围内因式分解;②因式分解后,如果有相同因式,应写成幂的形式,并且要把各个因式化简,同时每个因式的首项不含负号;③多项式的因式分解是多项式乘法的逆变形. 8.分式
(1)分式的概念
形如的式子叫做分式,其中A和B均为整式,B中含有字母,注意B的值不能为零. (2)分式的基本性质
分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变. ,.(其中M是不等于零的整式) (3)分式的运算 ①加减法:,.
②乘法:. ③除法:. ④乘方:(n为正整数). 要点诠释:
解分式方程的注意事项:
(1)去分母化成整式方程时不要与通分运算混淆;
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(2)解完分式方程必须进行检验,验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中,看它是否为0,如果为0,即为增根,不为0,就是原方程的解.
列分式方程解应用题的基本步骤: (1)审——仔细审题,找出等量关系; (2)设——合理设未知数; (3)列——根据等量关系列出方程; (4)解——解出方程; (5)验——检验增根; (6)答——答题.
【典型例题】
类型一、实数的有关概念及运算
1.实数,,,,中,无理数的个数是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【思路点拨】常见的无理数有以下几种形式:
(1)字母型:如π是无理数,等都是无理数,而不是分数;
(2)构造型:如2.10100100010000…(每两个1之间依次多一个0)就是一个无限不循环的小数; (3)根式型:…都是一些开方开不尽的数;
(4)三角函数型:sin35°、tan27°、cos29°等. 【答案】A;
【解析】本题主要考查无理数的概念.无理数是指无限不循环小数,,都是无限不循环小数,
故共有2个无理数.
【总结升华】无理数通常有以下几类:①开方开不尽的数;②含的数;③看似循环但实际不循环的小数;
④三角函数型:sin35°、tan27°、cos29°等.抓住这几类无理数特征,则可以轻松解决有关无理数的相关试题. 举一反三:
【高清课程名称:数与式综合复习 高清: 402392 :例1—2】
【变式】如图,数轴上A、B两点表示的数分别为-1和,点B关于点A的对称点为C,则点C所表示的
数为( ).
A.
【答案】A.
2.计算:
(1); (2) .
【思路点拨】注意在第(1)题中,与的不同运算顺序和的运算顺序. 【答案与解析】
(1)
B.- C. D.
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. (2).
【总结升华】在进行有理数运算时,要注意运算的顺序,要有灵活运用运算律、运算法则和相反数、倒
数、0、1的运算特性的意识,寻求简捷的运算途径.
举一反三: 【变式】; 【答案】.
3. 若,计算.
【思路点拨】几个非负数相加和为0,则这几个非负数必定同时为0,进而求出x、y的值. 【答案与解析】
依题意得解得 ∴
【总结升华】这三个非负数中任意几个相加得0,则每一个都得0. 举一反三:
【变式】已知,则 .
【答案】本题考查绝对值与算数平方根的非负性,两个非负数的和为0,所以这两数都为0.
因为,所以a=-1,b=8.﹣9.
类型二、分式的有关运算
4.对于分式,当x取何值时,
(1)分式有意义? (2)分式的值等于零?
【思路点拨】当分母等于零时,分式没有意义,此外,分式都有意义;当分子等于零,并且分母不等于零时,分式的值等于零. 【答案与解析】
(1)由分母x+1=0,得x=-1. ∴ 当x≠-1时,分式有意义.
(2)由分子,得或.
而当x=-1时,分母x+1=0; 当x=1时,分母.
∴ 当x=l时,分式的值等于零.
【总结升华】讨论分式有无意义时,一定要对原分式进行讨论,而不能讨论化简后的分式.
类型三、二次根式的运算
5.(2014春?平泉县校级期中)已知a=,求﹣的值. 【思路点拨】
先利用因式分解原式进行化简,再进行约分和利用二次根式的性质计算,由于a==4﹣2, 则a﹣4<0,所以原式可化简为a﹣3+,然后把a的值代入计算即可. 【答案与解析】
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解:原式=﹣ =a﹣3﹣, ∵a==4﹣2, ∴a﹣4<0, ∴原式=a﹣3+ =a﹣3+, =4﹣2﹣3+ =2﹣.
【总结升华】本题考查了二次根式的化简求值:一定要先化简再代入求值.二次根式运算的最后,注意结果要化到最简二次根式,二次根式的乘除运算要与加减运算区分,避免互相干扰.也考查了分式的混合运算.
举一反三: 【变式】计算:; 【答案】
.
6.当x为何值时,下列式子有意义?
(1); (2).
【思路点拨】第(1)题中,根号外的负号与根号是否有意义无关;第(2)题中,因为与分式有关,因此要综合考虑x的取值范围. 【答案与解析】
(1),即.
∴ 当时,有意义. (2),且x+5≠0,
∴ 当,且x≠-5时,有意义.
【总结升华】要使偶次根式有意义,被开方数为非负数;分式有意义分母不为0.
举一反三:
【高清课程名称:数与式综合复习 高清:402392 :例1—2】 【变式】下列说法中,正确的是( )
A.3的平方根是 B.5的算术平方根是
C.-7的平方根是 D.a的算术平方根是
【答案】B.
类型四、数与式的综合运用 7.(2014秋?崂山区校级期末)用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖,按下图的方式铺地面:
(1)观察图形,填写下表: … 图形 (1) (2) (3) … 4 7 黑色瓷砖的块数 … 15 25 黑白两种瓷砖的总块数 资料来源于网络 仅供免费交流使用
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(2)依上推测,第n个图形中黑色瓷砖的块数为 ;黑白两种瓷砖的总块数为 (都用含n的代数式表示)
(3)白色瓷砖的块数可能比黑色瓷砖的块数多2015块吗?若能,求出是第几个图形;若不能,请说明理由.
【思路点拨】找规律题至少要推算出三个式子的值,再去寻求规律,考察了认真观察、分析、归纳、由特殊到一般,由具体到抽象的能力. 【答案与解析】解:(1)填表如下: … 图形 (1) (2) (3) … 4 7 黑色瓷砖的块数 10 15 25 黑白两种瓷砖的总块数 35 … (2)第n个图形中黑色瓷砖的块数为3n+1;黑白两种瓷砖的总块数为10n+5;
(3)能,理由如下:
10n+5﹣(3n+1)﹣(3n+1)=2015, 解得:n=503
答:第503个图形.
【总结升华】本题考查数形结合、整理信息,将图形转化为数据,猜想规律、探求结论.抓住其中的黑
色瓷砖数目的变化规律,结合图形,观察其变化规律.
举一反三:
【变式】如图所示的是一块长、宽、高分别为7cm,5cm和3cm的长方体木块,一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处,沿着长方体的表面爬到和顶点A相对的顶点B处吃食物,那么它要爬行的最短路径的长是多少?
【答案】路径①的长为 (cm).
路径②的长为 (cm). 路径③的长为 (cm).
所以它要爬行的最短路径长为cm.
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中考总复习:数与式综合复习—巩固练习(基础)
【巩固练习】
一、选择题
1.下列运算中,计算结果正确的是( )
A. B. C. D. 2.=( )
A.1 B.-1 C.2 D.-2 3.已知,化简的结果是( )
A.6 B.2m-8 C.2m D.-2m 4.当x<1时,化简的结果为 ( )
A. x-1 B. -x-1 C. 1-x D. x+1 5.计算的正确结果是 ( )
A. B. C. D.
6.(2015春?重庆校级期中)用同样大小的黑色的小三角形按如图所示的规律摆放,则第100个图形有( )个黑色的小三角形.
A.300 B.303 C.306 D.309
二、填空题
7.若单项式与是同类项,则x= . 8.(2015春?萧山区校级期中)化简的结果是 .已知x+|x﹣1|=1,则化简的结果是 . 9.已知两个分式:A=,B=,其中x≠±2.下面有三个结论:
①A=B; ②A、B互为倒数; ③A、B互为相反数. 正确的是 .(填序号)
10.已知a为实数,则代数式的值为 . 11.在实数范围内因式分解= _____ _____.
12.如图,正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张,如果要拼一个长为(a+2b)、宽为(a+b)的大长方形,则需要C类卡片 张.
三、解答题 13.(2015春?扬中市校级月考)计算 (1); (2).
14.观察下列各式及其验证过程:
验证: =.
验证: = = =;
验证: =.验证: == =.
(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路,猜想4的变形结果并进行验证;
(2)针对上述各式反映的规律,写出用n(n为任意自然数,且n≥2)表示的等式,并给出证明.
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15.(2014秋?泾川县校级月考)分解因式:
22
(1)﹣4xyz﹣12xyz+4xyz;
2
(2)ax﹣4ax+4a;
2
(3)x﹣5x+6;
2
(4)(b﹣a)﹣2a+2b;
22222
(5)(a+b)﹣4ab.
16. A、B两地路程为150千米,甲、乙两车分别从A、B两地同时出发,相向而行,2小时后相遇,相遇后,各以原来的速度继续行驶,甲车到达B后,立即沿原路返回,返回时的速度是原来速度的2倍,结果甲、乙两车同时到达A地,求甲车原来的速度和乙车的速度.
【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】B;
【解析】同底数幂的乘法法则是底数,不变指数相加,而除法可能转化为乘法进行,幂的乘方是底数
不变,指数相乘.A项结果应等于,C项结果应等于,而D项无法运算.
2.【答案】C; 【解析】原式=. 3.【答案】选D;
【解析】原式按多项式乘法运算后为,再将代入,可得-2m. 4.【答案】C;
【解析】开方的结果必须为非负数. 5.【答案】B;
【解析】将括号内的式子分别通分. 6.【答案】B; 【解析】(1)第一个图需三角形6个,第二个图需三角形9,第三个图需三角形12, 第四个图需三角形15,第五个图需三角形18, …
第n个图需三角形3(n+1)枚.
∴第100个图形有3(100+1)=303个黑色的小三角形.故选:B. 二、填空题 7.【答案】1;
【解析】 ∵ 与是同类项, ∴ ,
解得x=1. 8.【答案】6;﹣2x+3. 【解析】=6; ∵x+|x﹣1|=1,
∴|x﹣1|=﹣(x﹣1), ∴x﹣1≤0,
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∴x≤1,
∴原式=|x﹣1|+|2﹣x| =﹣(x﹣1)+2﹣x =﹣x+1+2﹣x
=﹣2x+3.故答案为:6;﹣2x+3. 9.【答案】③;
【解析】因为:B=
= =
=-A 故选③.
10.【答案】 【解析】∵,∴≤0,而≥0,∴a=0,
∴原式=
11.【答案】;
【解析】观察多项式,发现其有平方差公式特点,所以可以使用平方差公式进行因式分解.
需要注意要将因式分解在实数范围内进行到底,且不可半途而废.
12.【答案】3张;
【解析】本题考查的相关知识有整式的乘法,乘法公式,数形结合思想.解答思路:可由面积相等入
22
手,图形拼合前后面积不变,所以(a+2b) (a+b)=a+3ab+2b.
三、解答题
13.【答案与解析】 解:(1)原式= ÷
= ?
=;
(2)原式=?(﹣)?3? = =.
14.【答案与解析】 (1)4=.
验证:4====
(2)由题设及(1)的验证结果,?可猜想对任意自然数n(n≥2)都有: n=.
证明:∵n = ==, ∴n=.
15.【答案与解析】
22
解:(1)﹣4xyz﹣12xyz+4xyz =﹣4xyz(x+3y﹣1);
2
(2)ax﹣4ax+4a
2
=a(x﹣4x+4)
2
=a(x﹣2);
2
(3)x﹣5x+6
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=(x﹣2)(x﹣3);
2
(4)(b﹣a)﹣2a+2b
2
=(b﹣a)﹣2(a﹣b) =(a﹣b)(a﹣b﹣2);
22222
(5)(a+b)﹣4ab
2222
=(a+b﹣2ab)(a+b+2ab)
22
=(a﹣b)(a+b).
16.【答案与解析】
设甲车原来的速度为千米/时,乙车的速度为千米/时,据题意得: 解得
经检验为方程组的解,并且符合题意.
答:甲车原来的速度为45千米/时,乙车的速度为30千米/时.
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中考总复习:一次方程及方程组--知识讲解
【考纲要求】
1.了解等式、方程、一元一次方程的概念,会解一元一次方程;
2.了解二元一次方程组的定义,会用代入消元法、加减消元法解二元一次方程组; 3.能根据具体问题中的数量关系列出方程(组),体会方程思想和转化思想.
【知识网络】
【考点梳理】
考点一、一元一次方程 1.等式性质
(1)等式的两边都加上(或减去)同一个数(或式子),结果仍是等式. (2)等式的两边都乘以(或除以)同一个数(除数不为零),结果仍是等式. 2.方程的概念
(1)含有未知数的等式叫做方程.
(2)使方程两边相等的未知数的值,叫做方程的解(一元方程的解也叫做根). (3)求方程的解的过程,叫做解方程.
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3.一元一次方程
(1)只含有一个未知数,且未知数的次数是一次的整式方程叫做一元一次方程. (2)一元一次方程的一般形式:. (3)解一元一次方程的一般步骤:
①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤系数化成1;⑥检验(检验步骤可以不写出来). 要点诠释:
解一元一次方程的一般步骤 ..步名 称 骤 方 法 在方程两边同时乘以所有分母的最小公倍数(即把每个含分母的部分和不含分母的部分都乘以所有分母的最小公倍数) 去括号法则(可先分配再去括号) 依 据 注 意 事 项 1 去分母 等式性质2 1、不含分母的项也要乘以最小公倍数;2、分子是多项式的一定要先用括号括起来. 注意正确的去掉括号前带负数的括号 移项一定要改变符号 2 去括号 乘法分配律 3 把未知项移到方程的一边移项 (左边),常数项移到另一边(右边) 合并 分别将未知项的系数相加、同类常数项相加 项 系数在方程两边同时除以未知数化为的系数(或方程两边同时乘以“1” 未知数系数的倒数) 等式性质1 1、整式的加减; 2、有理数的加法法则 等式性质2 4 单独的一个未知数的系数为“±1” 5 不要颠倒了被除数和除数(未知数的系数作除数——分母) *6 方法:把x=a分别代入原方程的两边,分别计算出结果. 检根 ① 若 左边=右边,则x=a是方程的解; x=a ② 若 左边≠右边,则x=a不是方程的解. 注:当题目要求时,此步骤必须表达出来. 说明: (1)上表仅说明了在解一元一次方程时经常用到的几个步骤,但并不是说,解每一个方程都必须经过六个步骤;
(2)解方程时,一定要先认真观察方程的形式,再选择步骤和方法;
(3)对于形式较复杂的方程,可依据有效的数学知识将其转化或变形成我们常见的形式,再依照一般方法解.
考点二、二元一次方程组 1. 二元一次方程组的定义
两个含有两个未知数,且未知数的次数是一次的整式方程组成的一组方程,叫做二元一次方程组. 要点诠释:
判断一个方程组是不是二元一次方程组应从方程组的整体上看,若一个方程组内含有两个未知数,并且未知数的次数都是1次,这样的方程组都叫做二元一次方程组. 2.二元一次方程组的一般形式
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要点诠释:
a1、a2不同时为0,b1、b2不同时为0,a1、b1不同时为0,a2、b2不同时为0. 3. 二元一次方程组的解法
(1) 代入消元法; (2) 加减消元法. 要点诠释:
(1)二元一次方程组的解有三种情况,即有唯一解、无解、无限多解.教材中主要是研究有唯一解的情况,对于其他情况,可根据学生的接受能力给予渗透.
(2)一元一次方程与一次函数、一元一次不等式之间的关系:
当二元一次方程中的一个未知数的取值确定范围时,可利用一元一次不等式组确定另一个未知数的取值范围,由于任何二元一次方程都可以转化为一次函数的形式,所以解二元一次方程可以转化为:当y=0时,求x的值.从图象上看,这相当于已知纵坐标,确定横坐标的值.
考点三、一次方程(组)的应用
列方程(组)解应用题的一般步骤:
1.审:分析题意,找出已知、未知之间的数量关系和相等关系;
2.设:选择恰当的未知数(直接或间接设元),注意单位的统一和语言完整; 3.列:根据数量和相等关系,正确列出代数式和方程(组); 4.解:解所列的方程(组);
5.验: (有三次检验 ①是否是所列方程(组)的解;②是否使代数式有意义;③是否满足实际意义); 6.答:注意单位和语言完整.
要点诠释:
列方程应注意:(1)方程两边表示同类量;(2)方程两边单位一定要统一;(3)方程两边的数值相等.
【典型例题】
类型一、一元一次方程及其应用
1.如果方程是关于x的一元一次方程,则n的值为( ). A.2 B.4 C.3 D.1 【思路点拨】未知数x的指数是1即可. 【答案】B;
【解析】由题意可知2n-7=1,∴n=4.
【总结升华】根据一元一次方程的定义求解. 举一反三:
【变式1】已知关于x的方程4x-3m=2的解是x=5,则m的值为 . 【答案】由题意可知4×5-3m=2,∴m=6.
【高清课程名称:一次方程及方程组 高清:404191 :例4】
【变式2】若a,b为定值,关于x的一元一次方程无论k为何值时,它的解总是1,求a,b的值. 【答案】a=0,b=11.
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2.(2015?顺德区校级三模)一收割机收割一块麦田,上午收割了麦田的25%,下午收割了剩下麦田的20%,结果还剩下6公顷麦田未收割.这块麦田一共有多少公顷?
【思路点拨】设这块麦田一共有x公顷,根据上午收割了麦田的25%,则剩余x(1﹣25%)公顷,再利用下午收割了剩下麦田的20%,则剩余x(1﹣25%)(1﹣20%)公顷,进而求出即可. 【答案与解析】解:设这块麦田一共有x公顷, 根据题意得出:x(1﹣25%)(1﹣20%)=6, 解得:x=10,
答:这块麦田一共有10公顷.
【总结升华】此题主要考查了一元一次方程的应用,正确表示出两次剩余小麦的亩数是解题关键.
举一反三:
【变式】“五一”期间,某电器按成本价提高30%后标价,再打8折(标价的80%)销售,售价为2080
元.设该电器的成本价为x元,根据题意,下面所列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】成本价提高30%后标价为,打8折后的售价为.
根据题意,列方程得,故选A.
类型二、二元一次方程组及其应用 3.(2015春?宁波期中)解下列方程组. (1) (2). 【思路点拨】代入消元法或加减消元法均可. 【答案与解析】
解:(1),
将②代入①得:2(﹣2y+3)+3y=7, 去括号得:﹣4y+6+3y=7, 解得:y=﹣1,
将y=﹣1代入②得:x=2+3=5, 则方程组的解; (2),
①×4+②×3得:17m=34, 解得:m=2,
将m=2代入①得:4+3n=13, 解得:n=3,
则方程组的解为.
【总结升华】解方程组要善于观察方程组的特点,灵活选用适当的方法,提高解题速度.
举一反三:
【变式1解方程组
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【答案】方程②化为,再用加减法解,答案:
【高清课程名称:一次方程及方程组 高清: 404191 :例3 】 【变式2】解方程组
【答案】a=9,b=12,c=15. 4.小王购买了一套经济适用房,他准备将地面铺上地砖,地面结构如图所示.根据图中的数据(单位:),解答下列问题:
(1)写出用含x、y的代数式表示的地面总面积;
(2)已知客厅面积比卫生间面积多21,且地面总面积是卫生间面积的15倍,铺1地砖的平均费用为80元,求铺地砖的总费用为多少元?
【思路点拨】根据题意找出等量关系式,列出方程或方程组解题. 【答案与解析】
(1)地面总面积为:(6x+2y+18); (2)由题意,得 解之,得
2
∴地面总面积为:6x+2y+18=6×4+2×+18=45().
2
2
2
∵铺1地砖的平均费用为80元,
∴铺地砖的总费用为:45×80=3600(元). 【总结升华】注意不要丢掉题中的单位. 举一反三:
【变式】利用两块长方体木块测量一张桌子的高度.首先按图①方式放置,再交换两木块的位置,按图
②方式放置.测量的数据如图,则桌子的高度是( )
A.73cm
B.74cm
C.75cm
D.76cm
2
【答案】设桌子高度为acm,木块竖放为bcm,木块横放为ccm.则.故选C.
类型三、一次方程(组)的综合运用
5.某县为鼓励失地农民自主创业,在2012年对60位自主创业的失地农民进行奖励,共计划奖励10万元.奖励标准是:失地农民自主创业连续经营一年以上的给予1000元奖励;自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的,再给予2000元奖励.问:该县失地农民中自主创业连续经营一年以上的和自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的农民分别有多少人?
【思路点拨】根据失地农民自主创业连续经营一年以上的给予1000元奖励:自主创业且解决5人以上
失业人员稳定就业一年以上的,再给予2000元奖励列方程求解.
【答案与解析】
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方法一:
设失地农民中自主创业连续经营一年以上的有x人,
则根据题意列出方程 1000x+(60–x)(1000+2000)=100000, 解得:x=40, ∴60-x =60-40=20
答:失地农民中自主创业连续经营一年以上的有40人,自主创业且解决5人以上失业人员稳定
就业一年以上的农民有20人.
方法二:
设失地农民中自主创业连续经营一年以上的和自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以
上的农民有分别有x,y人,
根据题意列出方程组:
解得:
答:失地农民中自主创业连续经营一年以上的有40,自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的农民有20人.
【总结升华】本题考查理解题意的能力,关键是找到人数和钱数作为等量关系.
举一反三:
【变式】某公园的门票价格如下表所示:
购票人数 票价 1~50人 10元/人 51~100人 8元/人 100人以上 5元/人 某校七年级甲、乙两班共多人去该公园举行联欢活动,其中甲班多人,乙班不足人.如果以班为单位分别买票,两个班一共应付元;如果两个班联合起来作为一团体购票,一共只要付元.问:甲、乙两班分别有多少人?
【答案】设甲班有x人,乙班有y人,由题意得:
解得:.
答:甲班有55人,乙班有48人.
6.在社会实践活动中,某校甲、乙、丙三位同学一同调查了高峰时段北京的二环路、三环路、四环路的车流量(每小时通过观测点的汽车车辆数),三位同学汇报高峰时段的车流量情况如下:
甲同学说:“二环路车流量为每小时10000辆”; 乙同学说:“四环路比三环路车流量每小时多2000辆”;
丙同学说:“三环路车流量的3倍与四环路车流量的差是二环路车流量的2倍”; 请你根据他们所提供的信息,求出高峰时段三环路、四环路的车流量各是多少? 【思路点拨】根据甲、乙、丙三位同学提供的信息找出等量关系列出方程组求解. 【答案与解析】
设高峰时段三环路的车流量为每小时辆,四环路的车流量为每小时辆,根据题意得: 解得
答:高峰时段三环路的车流量为每小时11000辆,四环路的车流量为每小时13000辆.
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【总结升华】通过甲、乙、丙三位同学调查结果找到车流量的等量关系式是解题的关键.
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重点题型(常考知识点)巩固练习
中考总复习:一次方程及方程组--巩固练习
【巩固练习】 一、选择题
1. 小明在解关于x、y的二元一次方程组时得到了正确结果后来发现“?”“ ?”处被墨水污损了,请你帮他找出?、? 处的值分别是( )
A.? = 1,? = 1 B.? = 2,? = 1 C.? = 1,? = 2 D.? = 2,? = 2 2.方程组的解是( ).
A. B. C. D.
3.已知方程组的解为,则2a-3b的值为( ).
A.4 B.-4 C.6 D.-6 4.(2014春?昆山市期末)方程x+2y=5的正整数解有( ) A.一组 B.二组 C.三组 D.四组
5.小明买书需用48元,付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张,设所用的1元纸币为x张,根题意,下列所列方程正确的是( )
A.x+5(12-x)=48 B.x+5(x-12)=48 C.x+12(x-5)=48 D.5x+(12-x)=48 6.九(3)班的50名同学进行物理、化学两种实验测试,经最后统计知:物理实验做对的有40人,化学实验做对的有31人,两种实验都做错的有4人,则这两种实验都做对的有( ) A.17人 B.21人 C.25人 D.37人
二、填空题
7.已知x、y满足方程组则x-y的值为________. 8.已知│x-1│+(2y+1)=0,且2x-ky=4,则k=_____.
9.(2014春?故城县期末)如图所示,在桌面上放着A、B两个正方形,共遮住了27cm的面积,若这两
2
个正方形重叠部分的面积为3cm,且正方形B除重叠部分外的面积是正方形A除重叠部分外的面积的2倍,则正方形A的面积是 .
10.已知关于x、y的二元一次方程(a-1)x+(a+2)y+5-2a=0,当a每取一个值时,就有一个方程,
而这些方程有一个公共解,这个公共解是________.
11.已知关于x的方程a(2x-1)=3x-2无解,则a的值为 .
12.已知下面两个方程3(x+2)=5x …①;4x-3(a-x)=6x-7(a-x) …②;有相同的解,则a的值
2
2
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为 .
三、解答题
13.某校的一间阶梯教室,第1排的座位数为a,从第2排开始,每一排都比前一排增加b个座位。
⑴请你在下表的空格里填写一个适当的代数式: 第1排的座位数 第2排的座位数 第3排的座位数 第4排的座位数 …… a a+b a+2b …… ⑵已知第4排有18个座位,第15排座位数是第5排座位数的2倍,求第21排有多少个座位?
14. (2014春?文登市校级期中)(1); (2).
15.某体育彩票经销商计划用45000?元从省体彩中心购进彩票20扎,每扎1000张,已知体彩中心有A,
B,C三种不同价格的彩费,进价分别是A?种彩票每张1.5元,B种彩票每张2元,C种彩票每张2.5元.
(1)若经销商同时购进两种不同型号的彩票20扎,用去45000元,请你设计进票方案;
(2)若销售A型彩票一张获手续费0.2元,B型彩票一张获手续费0.3元,C型彩票一张获手续费
0.5元.在购进两种彩票的方案中,为使销售完时获得手续费最多,你选择哪种进票方案? (3)若经销商准备用45000元同时购进A,B,C三种彩票20扎,请你设计进票方案.
16. 某玩具厂工人的工作时间规定:每月25天,每天8h,待遇:按件订酬,多劳多得,每月另加福利
工资100元,按月结算。该厂生产A、B两种产品,工人每生产一件A产品,可得到报酬0.75元,每生产一件B种产品,可得报酬1.40元,下表记录了工人小李的工作情况: 生产A种产品件数(件) 生产B种产品件数(件) 1 3 1 2 总时间(min) 35 85 根据上表提供的信息,请回答下列问题:
(1)小李每生产一件A种产品、每生产一件B种产品,分别需要多少分钟?
(2)如果生产各种产品的数目没有限制,那么小李每月的工资数目在什么范围之内?
【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】B;
【解析】把 代入
得 解得
2.【答案】B;
【解析】①+②,得3x=3,∴x=1.把x=1代入①,得1+3y=4, ∴y=1. 3.【答案】C;
【解析】由题意可知,解得,∴2a-3b=6. 4.【答案】B;
【解析】由已知,得x=5﹣2y, 要使x,y都是正整数, 则y=1,2时, 相应x=3,1.
所以有2组,分别,.故选B.
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5.【答案】A;
【解析】1元纸币x张,则5元纸币(12-x)张,共值48元,则1·x+5(12-x)=48. 6.【答案】C;
【解析】设这两种实验都做对的有x人,(40﹣x)+(31﹣x)+x+4=50,x=25.
故都做对的有25人.故选C.
二、填空题 7.【答案】1;
【解析】 ①-②,得x-y=1. 8.【答案】k=4; 【解析】由已知得x-1=0,2y+1=0,
∴x=1,y=-,把代入方程2x-ky=4中,2+k=4,∴k=4.
9.【答案】11cm;
22
【解析】设正方形A的面积为xcm,正方形B的面积为ycm,由题意,得
, 解得:.
故答案为:11cm. 10.【答案】 【解析】
解法一:取a=1,得3y+3=0,y=-1, 取a=-2,得-3x+9=0,x=3, ∴
解法二:整理,得(x+y-2)a=x-2y-5, ∵方程有一个公共解, ∴解得 11.【答案】a=;
【解析】将原方程变形为2ax-a=3x-2,
即 (2a-3)x=a-2.由已知该方程无解,所以 解得a=,所以a=即为所求.
12.【答案】;
【解析】由方程①可得3x-5x=-6,所以x=3.由已知,x=3也是方程②的解,根据方程解的定义,
把x=3代入方程②,有4×3-3(a-3)=6×3-7(a-3),7(a-3)-3(a-3)=18-12, 4(a-3)=6,4a-12=6,4a=18,a==.
三、解答题
13.【答案与解析】
(1)
(2)依题意得 解得
∴12+20×2=52
答:第21排有52个座位. 14.【答案与解析】 解:(1),
①×24,②×12得: ,
2
2
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④﹣③得: m=162,
代入①得:n=204, ∴方程组的解为:;
(2)
由②得:y=2x﹣9, ∴=2(2x﹣9), 解得:x=5,
代入y=2x﹣9得:y=1, ∴方程组的解为:. 15.【答案与解析】
设经销商从体彩中心购进A种彩票x张,?B种彩票y张,C种彩票z张, 则可分以下三种情况考虑:
(1)只购进A种彩票和B种彩票,依题意可列方程组 解得x<0,所以无解.只购进A种彩票和C种彩票, 依题意可列方程组,
只购进B种彩票和C种彩票,依题可列方程组,
综上所述,若经销商同时购进不同型号的彩票,共有两种方案可行, 即A种彩票5扎,C种彩票15扎或B种彩票与C种彩票各10扎.
(2)若购进A种彩票5扎,C种彩票15扎,销售完后获手续费为0.2×5000+0.5×15000=8500(元);
若购进B种彩票与C种彩票各10扎,销售完后获手续费为0.3×10000+0.5×10000=8000(元), ∴为使销售完时获得手续费最多,选择的进票方案为A种彩票5扎,C种彩票15扎. (3)若经销商准备用45000元同时购进A,B,C三种彩票共20扎.
设购进A种彩票x扎,B种彩票y扎,C种彩票z扎, 则 ∴1≤x<5,
又∵x为正整数,共有4种进票方案,即A种1扎,B种8扎,C种11扎,或A种2扎,B种6扎,C种12扎,或A种3扎,B种4扎,C种13扎,或A种4扎,B种2扎,C种14扎. 16.【答案与解析】
(1)设小李每生产一件A种产品、每生产一件B种产品分别需要x分钟和y分钟,
据题意,得解之,得
(2)方法一:设小李每月生产A种产品x件,B种产品y件(x、y均为非负整数),
月工资数目为w元,根据题意, 得 即
w最大=-0.3·0+940,当x=800时,w最小=-0.3·800+940=700,
因为生产各种产品的数目没有限制,所以700≤w≤940,即小李每月的工资数目不低于700元而
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不高于940元.
方法二:由(1)知小李生产A种产品每分钟可获利0.05元,生产B种产品每分钟可获利0.07元,若小李全部生产A种产品,每月的工资数目为700元,若小李全部生产B种产品,每月的工资数目为940元,小李每月的工资数目不低于700元而不高于940元.
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中考总复习:一元一次不等式(组)—知识讲解
【考纲要求】
1.会解一元一次不等式(组),理解一元一次不等式(组)的解集的含义,进一步体会数形结合的思想; 2.会用不等式(组)进行解题,能利用不等式(组)解决生产、生活中的实际问题.
【知识网络】
【考点梳理】
考点一、不等式的相关概念 1.不等式
用不等号连接起来的式子叫做不等式.
常见的不等号有五种: “≠”、 “>” 、 “<” 、 “≥”、 “≤”. 2.不等式的解与解集
不等式的解:使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解.
不等式的解集:一个含有未知数的不等式的解的全体,叫做不等式的解集.
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不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来,具体表示方法是先确定边界点:解集包含边界点,是实心圆点;不包含边界点,则是空心圆圈;再确定方向:大向右,小向左. 3.解不等式
求不等式的解集的过程或证明不等式无解的过程,叫做解不等式. 要点诠释:
不等式的解与一元一次方程的解是有区别的:不等式的解是不确定的,是一个范围,而一元一次方程的解则是一个具体的数值.
考点二、不等式的性质 性质1:
不等式两边加上(或减去)同一个数(或式子),不等号的方向不变,即如a>b,那么a±c>b±c. 性质2:
不等式两边乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即如果a>b,c>0,那么ac>bc(或>). 性质3:
不等式两边乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即如果a>b,c<0,那么ac<bc(或<). 要点诠释:
(1)不等式的其他性质:①若a>b,则b<a;②若a>b,b>c,则a>c;③若a≥b,且b≥a,?则a=b;④若a≤0,则a=0;⑤若ab>0或,则a、b同号;⑥若ab<0或,则a、b异号. (2)任意两个实数a、b的大小关系:①a-b>Oa>b;②a-b=Oa=b;③a-b<Oa<b. 不等号具有方向性,其左右两边不能随意交换:但a<b可转换为b>a,c≥d可转换为d≤c.
考点三、一元一次不等式(组) 1.一元一次不等式的概念
只含有一个未知数,且未知数的次数是1,系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式.其标准形式:ax+b>0(a≠0)或ax+b≥0(a≠0) ,ax+b<0(a≠0)或ax+b≤0(a≠0). 2.一元一次不等式的解法
一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似,?但要特别注意不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数时,不等号要改变方向.
解一元一次不等式的一般步骤:(1)去分母;(2)去括号;(3)移项;(4)合并同类项;(5)化系数为1. 要点诠释:
解一元一次不等式和解一元一次方程类似.不同的是:一元一次不等式两边同乘以(或除以)同一个负数时,不等号的方向必须改变,这是解不等式时最容易出错的地方. 3.一元一次不等式组及其解集
2
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含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组,叫做一元一次不等式组. 一元一次不等式组中,几个不等式解集的公共部分.叫做这个一元一次不等式组的解集.
一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定. 要点诠释:
判断一个不等式组是一元一次不等式组需满足两个条件:①组成不等式组的每一个不等式必须是一元一次不等式,且未知数相同;②不等式组中不等式的个数至少是2个,也就是说,可以是2个、3个、4个或更多. 4.一元一次不等式组的解法
由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表.
注:不等式有等号的在数轴上用实心圆点表示. 要点诠释:
解不等式组时,一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集并表示在数轴上,再求出它们的公共部分,就得到不等式组的解集. 5.一元一次不等式(组)的应用
列一元一次不等式(组)解实际应用问题,可类比列一元一次方程解应用问题的方法和技巧,不同的是,列不等式(组)解应用题,寻求的是不等关系,因此,根据问题情境,抓住应用问题中“不等”关系的关键词语,或从题意中体会、感悟出不等关系显得十分重要. 要点诠释:
列一元一次不等式组解决实际问题是中考考查的一个重要内容,在列不等式解决实际问题时,应掌握以下三个步骤:(1)?找出实际问题中的所有不等关系或相等关系(有时要通过不等式与方程综合来解决),设出未知数,列出不等式组(?或不等式与方程的混合组);(2)解不等式组;(3)从不等式组
不等式组 (其中a>b) 图示 解集 口诀 (同大取大) (同小取小) (大小取中间) 无解 (大大、小小 (空集) 找不到) 资料来源于网络 仅供免费交流使用
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(或不等式与方程的混合组)?的解集中求出符合题意的答案. 6.一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系
一次函数,当函数值时,一次函数转化为一元一次方程;当函数值或时,一次函数转化为一元一次不等式,利用函数图象可以确定的取值范围.
【典型例题】
类型一、解不等式(组)
1.(2014春?巴中期中)解不等式(组),并把它们的解集在数轴上表示出来 (1)2x﹣1<3x+2; (2).
【思路点拨】
(1)先移项,再合并同类项、系数化为1即可; (2)先求两个不等式的解集,再求公共部分即可. 【答案与解析】
解:(1)移项得,2x﹣3x<2+1, 合并同类项得,﹣x<3,
系数化为1得,x>﹣3 在数轴上表示出来:. (2),
解①得,x<1, 解②得,x≥﹣4.5 在数轴上表示出来:
不等式组的解集为﹣4.5≤x<1.
【总结升华】解不等式(组)是中考中易考查的考点,必须熟练掌握. 举一反三:
【变式】.
【答案】解:去分母,得 (不要漏乘!每一项都得乘) 去括号,得 (注意符号,不要漏乘!) 移 项,得 (移项要变号)
合并同类项,得 (计算要正确)
系数化为1, 得 (同除负,不等号方向要改变,分子分母别颠倒了)
2.解不等式组并将其解集在数轴上表示出来.
【思路点拨】分别解出两个不等式的解集,再求出公共的解集即可. 【答案与解析】
解:
由(1)式得<5, 由(2)式得≥-1,
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∴ -1≤<5
数轴上表示如图:
【总结升华】注意解不等式组的解题步骤. 举一反三:
【变式1】解不等式组,并把它的解集在数轴上表示出来. 【答案】不等式组的解集为-3≤x<1,数轴上表示如图:
【高清课程名称:不等式(组)及应用 高清: 370028 :经典例题2】
【变式2】解不等式组,并写出不等式组的整数解;
【答案】不等式组的解集为1≤x<5,故其整数解为:1,2,3,4.
类型二、一元一次不等式(组)的特解问题
3.(2014?青羊区校级自主招生)若不等式组的正整数解有3个,那么a必须满足( ) A.5<a<6 B.5≤a<6 C.5<a≤6 D.5≤a≤6 【思路点拨】首先解得不等式组的解集,然后根据不等式组只有三个正整数解即可确定a的范围. 【答案】C;
【解析】解不等式5≤2x﹣1≤11得:3≤x≤6.
若不等式组有3个正整数解则不等式组的解集是:3≤x<a. 则正整数解是:3,4,5. ∴5<a≤6.故选C.
【总结升华】本题主要考查学生是否会利用逆向思维法解决含有待定字母的一元一次不等式组的特解问
题. 举一反三:
【高清课程名称:不等式(组)及应用 高清:370028 :经典例题3-4】
【变式1】关于x的方程,如果3(x+4)-4=2a+1的解大于 的解,求a的取值范围. 【答案】.
【变式2】若不等式-3x+n>0的解集是x<2,则不等式-3x+n<0的解集是_______. 【答案】∵-3x+n>0,∴x<,∴=2 即n=6
代入-3x+n<0得:-3x+6<0,
∴x>2.
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类型三、一元一次不等式(组)的应用
4.仔细观察下图,认真阅读对话:
根据对话内容,试求出一盒饼干和一袋牛奶的标价各是多少元.
【思路点拨】根据对话找到下列关系:①饼干的标价+牛奶的标价>10元;②饼干的标价<10; ③饼干标价的90%+牛奶的标价=10元-0.8元,然后设未知数列不等式组. 【答案与解析】
解:设饼干的标价为每盒x元,牛奶的标价为每袋y元. 则
由(2)得 y=9.2-0.9x (4)
把(4)代入(1)得:9.2-0.9x+x>10,解得x>8. 由(3)综合得 8<x<10. 又∵x是整数,∴x=9.
把x=9代入(4)得:y=9.2-0.9×9=1.1(元)
答:一盒饼干标价9元,一袋牛奶标价1.1元.
【总结升华】不等式、方程与实际生活相联系的问题,主要是审好题,计算准确.
举一反三:
【变式】某牛奶乳业有限公司经过市场调研,决定从明年起对甲、乙两种产品实行“限产压库”,要求这两种产品全年共新增产量20件,这20件的总产值p(万元)满足:110<p<120.已知有关数据如表所示,?那么该公司明年应怎样安排新增产品的产量?
产品 每件产品的产值 甲 乙 4.5万元 7.5万元
【答案】
解:设该公司安排生产新增甲产品x件,那么生产新增乙产品(20-x)件,
由题意得:110<4.5x+7.5(20-x)<120 ∴10<x<,依题意,得x=11,12,13
当x=11时,20-11=9;当x=12时,20-12=8;当x=13时,20-13=7.
所以该公司明年可安排生产新增甲产品11件,乙产品9件;或生产新增甲产品12件,乙产品8件;
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或生产新增甲产品13件,乙产品7件.
类型四、一元一次不等式(组)与方程的综合应用
5.某钱币收藏爱好者,想把3.50元纸币兑换成的1分,2?分,5分的硬币;他要求硬币总数为150枚,2分硬币的枚数不少于20枚且是4的倍数,5?分的硬币要多于2分的硬币;请你根据此要求,设计所有的兑换方案.
【思路点拨】题目中包含的相等关系有:①所有硬币的总价值是3.50元;②共有硬币150枚.?不等
关系有:①2分的硬币的枚数不少于20枚;②5分的硬币要多于2分的硬币.且硬币的枚数为整数,2分的硬币的数量是4的倍数. 【答案与解析】
解:(法一)设兑换成1分,2分,5分硬币分别为x枚,y枚,z枚,依据题意,得
由(1),(2)得 将y代入(3),(4)得
解得40<z≤45,∵z为正整数,∴z只能取41,42,43,44,45,由此得出x,y的对应值, 共有5种兑换方案.
(法二):设兑换成的1分,2分,5分硬币分别为x枚,y枚,z枚,依据题意可得
∵y是4的倍数,可设y=4k(k为自然数), ∵y≥20,∴4k≥20,即k≥5. 将y=4k代入(1),(2)可解得z=50-k, ∵z>y,∴50-k>4k,即k<10.
∴5≤k<10,又k为自然数,∴k取5,6,7,8,9.由此得出x,y的对应值,共有5种兑换方案:
【总结升华】这是一道方案设计题,?是涉及到方程和不等式的综合应用题.
6.某校组织学生到外地进行综合实践活动,共有680名学生参加,并携带300件行李.学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共20辆.经了解,甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李,乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李.
⑴ 如何安排甲、乙两种汽车可一次性地将学生和行李全部运走?有哪几种方案?
⑵ 如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元、1800元,请你选择最省钱的一种租车方案 【思路点拨】根据题意列出不等式组,解出未知数的取值范围,分类讨论各种方案. 【答案与解析】
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解:(1)设安排辆甲型汽车,安排(20-x)辆乙型汽车.
由题意得: 解得,
∴整数可取8、9、10. ∴共有三种方案:
①租用甲型汽车8辆、乙型汽车12辆; ②租用甲型汽车9辆、乙型汽车11辆; ③租用甲型汽车10辆、乙型汽车10辆. (2)设租车总费用为元,则 随的增大而增大, ∴当时,,
∴最省钱的租车方案是:租用甲型汽车8辆、乙型汽车12辆. 【总结升华】考查不等式与方程综合应用问题,体现了分类讨论的思想.
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【巩固练习】 一、选择题
1. 不等式-x-5≤0的解集在数轴上表示正确的是( )
A B C D 2.若实数a>1,则实数M=a,N=,P=的大小关系为( ) A.P>N>M B.M>N>P C.N>P>M D.M>P>N
3.如图所示,一次函数y=kx+b的图象经过A,B两点,则不等式kx+b>0?的解集是( )
A.x>0 B.x>2 C.x>-3 D.-3<x<2
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4.如果不等式+1>的解集是x<,则a的取值范围是( ) A.a>5 B.a=5 C.a>-5 D.a=-5
5.(2015?杭州模拟)已知整数x满足是不等式组,则x的算术平方根为( )
A.2 B.±2 C. D.4 6.不等式组无解,则a的取值范围是( ) A.a<1 B.a≤1 C.a>1 D.a≥1
二、填空题
7.若不等式ax<a的解集是x>1,则a的取值范围是__ ____. 8.(2014春?北京校级月考)若(m﹣1)x
|2m﹣1|
﹣8>5是关于x的一元一次不等式,则m= .
9.已知3x+4≤6+2(x-2),则│x+1│的最小值等于__ ____.
10.若不等式a(x-1)>x-2a+1的解集为x<-1,则a的取值范围是____ __. 11.满足≥的x的值中,绝对值不大于10的所有整数之和等于__ ____.
12.有10名菜农,每个可种甲种蔬菜3亩或乙种蔬菜2亩,?已知甲种蔬菜每亩可收入0.5万元,乙种蔬菜每亩可收入0.8万元,若要总收入不低于15.6万元,?则最多只能安排_______人种甲种蔬菜.
三、解答题
13.解下列不等式(组),并把解集在数轴上表示出来.
(1)x-3≥. (2)解不等式组
14. 若,求的取值范围.
15.(2015?东莞)某电器商场销售A、B两种型号计算器,两种计算器的进货价格分别为每台30元,40元,商场销售5台A型号和1台B型号计算器,可获利润76元;销售6台A型号和3台B型号计算器,可获利润120元.
(1)求商场销售A、B两种型号计算器的销售价格分别是多少元?(利润=销售价格﹣进货价格) (2)商场准备用不多于2500元的资金购进A、B两种型号计算器共70台,问最少需要购进A型号的计算器多少台?
16. 如图所示,一筐橘子分给若干个儿童,如果每人分4个,?则剩下9个;如果每人分6个,则最后
一个儿童分得的橘子数少于3个,问共有几个儿童,?分了多少个橘子?
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【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】B;
【解析】解不等式得x ≥-5,故选B. 2.【答案】D;
【解析】方法一:取a=2,则M=2,N=,P=,由此知M>P>N,应选D. 方法二:由a>1知a-1>0. 又M-P=a-=>0,∴M>P; P-N=-=>0,∴P>N. ∴M>P>N,应选D.
3.【答案】C;
【解析】不等式kx+b>0?的解集 即y>0的解集,观察图象得x>-3. 4.【答案】B;
【解析】化简原不等式得(2-a)x>-5,因为原不等式解集是x<,所以2-a<0,且, 解得a>2,且a=5. 5.【答案】A;
【解析】解:, 解①得:x>3, 解②得:x<5,
则不等式组的解集是:3<x<5. 则x=4.
x的算术平方根是:2.故选A. 6.【答案】B;
【解析】 解不等式组得x≥1,x<a, 因为不等式组无解,所以a≤1.
二、填空题 7.【答案】a<0;
【解析】结果不等号的方向改变了,故a<0. 8.【答案】0;
【解析】由(m﹣1)x﹣8>5是关于x的一元一次不等式,得 ,解得m=0,故答案为:0. 9.【答案】1;
【解析】解不等式得x≤-2,当x=-2时,│x+1│有最小值,有最小值等于1. 10.【答案】a<1;
【解析】解不等式得(a-1)x>1-a, 因为不等式a(x-1)>x-2a+1的解集为x<-1,所以a-1<0,
即a<1.
11.【答案】-19;
|2m﹣1|
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【解析】解不等式得x≤8,绝对值不大于10的所有整数之和为(-9)+(-10)=-19. 12.【答案】4. 三、解答题
13.【答案与解析】
(1)x≥7, 数轴上表示略; (2)由不等式组:
解不等式①,得 解不等式②,得
由图可知不等式组的解集为:
14.【答案与解析】 解:由
得或
∴或(无解) 即.
15.【答案与解析】 解:(1)设A种型号计算器的销售价格是x元,B种型号计算器的销售价格是y元,由题意得: , 解得:;
答:A种型号计算器的销售价格是42元,B种型号计算器的销售价格是56元; (2)设购进A型计算器a台,则购进B台计算器:(70﹣a)台, 则30a+40(70﹣a)≤2500, 解得:a≥30,
答:最少需要购进A型号的计算器30台.
16.【答案与解析】
解:设共有x个儿童,则共有(4x+9)个橘子,依题意,得0≤4x+9-6(x-1)<3 解这个不等式组,得6<x≤7.5. 因为x为整数,所以x取7. 所以4x+9=4×7+9=37.
答:共有7个儿童,分了37个橘子.
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重点题型(常考知识点)巩固练习
中考总复习:一元二次方程、分式方程的解法及应用—知识讲解(基础)
【考纲要求】
1.理解配方法,会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程;
2. 会解分式方程,解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程,把未知问题转化成已知问题,从而渗透数学的转化思想.
【知识网络】
【考点梳理】
考点一、一元二次方程 1.一元二次方程的定义
只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程,叫做一元二次方程. 它的一般形式为 (a≠0). 2.一元二次方程的解法
(1)直接开平方法:把方程变成的形式,当m>0时,方程的解为;当m=0时,方程的解;当m<0时,方程没有实数解.
(2)配方法:通过配方把一元二次方程变形为的形式,再利用直接开平方法求得方程的解.
(3)公式法:对于一元二次方程,当时,它的解为.
(4)因式分解法:把方程变形为一边是零,而另一边是两个一次因式积的形式,使每一个因式等于零,就得到两个一元一次方程,分别解这两个方程,就得到原方程的解. 要点诠释:
直接开平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法,配方法和公式法是解一元二次方程的一般方法.
3.一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式为.
△>0方程有两个不相等的实数根; △=0方程有两个相等的实数根; △<0方程没有实数根.
上述由左边可推出右边,反过来也可由右边推出左边. 要点诠释:
△≥0方程有实数根. 4.一元二次方程根与系数的关系
如果一元二次方程 (a≠0)的两个根是,那么.
考点二、分式方程 1.分式方程的定义
分母中含有未知数的有理方程,叫做分式方程. 要点诠释:
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(1)分式方程的三个重要特征:①是方程;②含有分母;③分母里含有未知量.
(2)分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数),分母中含有未知数的方程是分式方程,不含有未知数的方程是整式方程,如:关于的方程和都是分式方程,而关于的方程和都是整式方程. 2.分式方程的解法
去分母法,换元法. 3.解分式方程的一般步骤
(1)去分母,即在方程的两边都乘以最简公分母,把原方程化为整式方程; (2)解这个整式方程;
(3)验根:把整式方程的根代入最简公分母,使最简公分母不等于零的根是原方程的根,使最简公
分母等于零的根是原方程的增根.
口诀:“一化二解三检验”. 要点诠释:
解分式方程时,有可能产生增根,增根一定适合分式方程转化后的整式方程,但增根不适合原方程,可使原方程的分母为零,因此必须验根.
考点三、一元二次方程、分式方程的应用 1.应用问题中常用的数量关系及题型 (1)数字问题(包括日历中的数字规律)
关键会表示一个两位数或三位数,对于日历中的数字问题关键是弄清日历中的数字规律. (2)体积变化问题
关键是寻找其中的不变量作为等量关系. (3)打折销售问题
其中的几个关系式:利润=售价-成本价(进价),利润率=×100%. 明确这几个关系式是解决这类问题的关键. (4)关于两个或多个未知量的问题
重点是寻找到多个等量关系,能够设出未知数,并且能够根据所设的未知数列出方程. (5)行程问题
对于相遇问题和追及问题是列方程解应用题的重点问题,也是易出错的问题,一定要分析其中的特点,同向而行一般是追及问题,相向而行一般是相遇问题.
注意:追及和相遇的综合题目,要分析出哪一部分是追及,哪一部分是相遇. (6)和、差、倍、分问题 增长量=原有量×增长率; 现有量=原有量+增长量; 现有量=原有量-降低量.
2.解应用题的步骤
(1)分析题意,找到题中未知数和题给条件的相等关系; (2)设未知数,并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数; (3)找出相等关系,并用它列出方程; (4)解方程求出题中未知数的值;
(5)检验所求的答数是否符合题意,并做答. 要点诠释:
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方程的思想,转化(化归)思想,整体代入,消元思想,分解降次思想,配方思想,数形结合的思想用数学表达式表示与数量有关的语句的数学思想.
注意:①设列必须统一,即设的未知量要与方程中出现的未知量相同;②未知数设出后不要漏棹单位;③列方程时,两边单位要统一;④求出解后要双检,既检验是否适合方程,还要检验是否符合题意.
【典型例题】
类型一、一元二次方程
1.用配方法解一元二次方程: 【思路点拨】
把二次项系数化为1,常数项右移,方程两边都加上一次项系数一半的平方,再用直接开平方法解出未知数的值. 【答案与解析】
移项,得
二次项系数化为1,得 配方 由此可得 ,
【总结升华】用配方法解一元二次方程的一般步骤: ①把原方程化为的形式;
举一反三:
【变式】用配方法解方程x2-7x-1=0. 【答案】
将方程变形为x2-7x=1,两边加一次项系数的一半的平方,得
x2-7x+=1+,所以有=1+. 直接开平方,得x-=或x-=-. 所以原方程的根为 x=或x=.
②将常数项移到方程的右边;方程两边同时除以二次项的系数,将二次项系数化为1; ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方;
④再把方程左边配成一个完全平方式,右边化为一个常数;
⑤若方程右边是非负数,则两边直接开平方,求出方程的解;若右边是一个负数,则判定此方程 无实数解.
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2.(2015?咸宁)已知关于x的一元二次方程mx﹣(m+2)x+2=0. (1)证明:不论m为何值时,方程总有实数根; (2)m为何整数时,方程有两个不相等的正整数根. 【思路点拨】判别式大于0,二次项系数不等于0. 【答案与解析】
(1)证明:△=(m+2)﹣8m 2
=m﹣4m+4
2
=(m﹣2),
2
∵不论m为何值时,(m﹣2)≥0, ∴△≥0,
∴方程总有实数根;
(2)解:解方程得,x=, x1=,x2=1,
∵方程有两个不相等的正整数根, ∴m=1或2,
∵m=2不合题意, ∴m=1.
【总结升华】
(1)注意隐含条件m≠0;(2)注意整数根的限制条件的应用,求出m的值,要验证m的值是否符合题意.
举一反三:
【变式】已知关于x的方程.
(1)求证方程有两个不相等的实数根.
(2)当m为何值时,方程的两根互为相反数?并求出此时方程的解. 【答案】
(1)证明:因为△= =
所以无论取何值时, △>0,所以方程有两个不相等的实数根. (2)解:因为方程的两根互为相反数,所以,
根据方程的根与系数的关系得,解得, 所以原方程可化为,解得,.
2
2
类型二、分式方程
3.(2015?贺州)解分式方程: =﹣.
【思路点拨】先去分母将分式方程化为整式方程,求出整式方程的解,再进行检验. 【答案与解析】
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解:方程两边同乘以(2x+1)(2x﹣1),得 x+1=3(2x-1)-2(2x+1) x+1=2x-5, 解得x=6.
检验:x=6是原方程的根. 故原方程的解为:x=6.
【总结升华】首先要确定各分式分母的最简公分母,在方程两边乘这个公分母时不要漏乘,解完后记着要验根. 举一反三:
【变式1】解分式方程:. 【答案】方程两边同乘以,得 . .
.
经检验:是原方程的解,
所以原方程的解是.
【高清课程名称:一元二次方程、分式方程的解法及应用 高清: 405754 :例1(1)】 【变式2】方程的解是x= . 【答案】.
4.若解分式方程产生增根,则m的值是( ) A.
B. C. D.
【思路点拨】先把原方程化为整式方程,再把可能的增根分别代入整式方程即可求出m的值. 【答案】D;
【解析】由题意得增根是:
化简原方程为:把代入解得, 故选择D.
【总结升华】分式方程产生的增根,是使分母为零的未知数的值. 举一反三:
【高清课程名称:一元二次方程、分式方程的解法及应用 高清: 405754 :例1(2)-例2】
【变式】若关于的方程无解,则的值是 . 【答案】1.
类型三、一元二次方程、分式方程的应用
5.轮船在一次航行中顺流航行80千米,逆流航行42千米,共用了7小时;在另一次航行中,用相同
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的时间,顺流航行40千米,逆流航行70千米.求这艘轮船在静水中的速度和水流速度.
【思路点拨】
在航行问题中的等量关系是“顺流速度=静水速度+水流速度; 逆流速度=静水速度-水流速度”,两次航行提供了两个等量关系. 【答案与解析】
设船在静水中的速度为x千米/小时,水流速度为y千米/小时 由题意,得
答:水流速度为3千米/小时,船在静水中的速度为17千米/小时. 【总结升华】
流水问题公式:顺流速度=静水速度+水流速度; 逆流速度=静水速度-水流速度; 静水速度=(顺流速度+逆流速度)÷2;水流速度=(顺流速度-逆流速度)÷2.
举一反三:
【变式】甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动,已知乙班每小时比甲班多种2棵树,甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等,求甲、乙两班每小时各种多少棵树? 【答案】设甲班每小时种x棵树,则乙班每小时种(x+2)棵树, 由题意得:
答:甲班每小时种树20棵,乙班每小时种树22棵.
6.某服装厂生产一批西服,原来每件的成本价是500元,销售价为625元,经市场预测,该产品销售价第一个月将降低20%,第二个月比第一个月提高6%,为了使两个月后的销售利润达到原来水平,该产品的成本价平均每月应降低百分之几?
【思路点拨】
设该产品的成本价平均每月降低率为x,那么两个月后的销售价格为625(1-20%)(1+6%),两个
2
月后的成本价为500(1-x),然后根据已知条件即可列出方程,解方程即可求出结果. 【答案与解析】
设该产品的成本价平均每月应降低的百分数为x. 625(1-20%)(1+6%)-500(1-x)=625-500 整理,得500(1-x)=405,(1-x)=0.81. 1-x=±0.9,x=1±0.9, x1=1.9(舍去),x2=0.1=10%.
2
22
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答:该产品的成本价平均每月应降低10%. 【总结升华】
题目中该产品的成本价在不断变化,销售价也在不断变化,?要求变化后的销售利润不变,即利润仍要达到125元,?关键在于计算和表达变动后的销售价和成本价.
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中考总复习:一元二次方程、分式方程的解法及应用—巩固练习(基础)
【巩固练习】 一、选择题
1. 用配方法解方程时,原方程应变形为( )
A. B.
C.D.
2.关于的一元二次方程的两个实数根分别是,且,则的值是( ) A.1 B.12
C.13
D.25
2
3.(2015?成都)关于x的一元二次方程kx+2x+1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是( )
A.k>﹣1 B.k≥﹣1 C.k≠0 D.k<1且k≠0 4.若关于x的一元二次方程的常数项为0,则m的值等于( )
A.1 B.2 C.1或2 D.0
5.在一幅长为80cm,宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边,制成一幅矩形挂图,如图所示,如果要使整个挂图的面积是5400cm,设金色纸边的宽为cm,那么满足的方程是( ).
A.
B.
2
C. D.
6.甲、乙两地相距S千米,某人从甲地出发,以v千米/小时的速度步行,走了a小时后改乘汽车,又过b小时到达乙地,则汽车的速度( )
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A. B. C.
D.
二、填空题 7.(2015?宿迁)方程﹣=0的解是 .
8.如果方程ax+2x+1=0有两个不等实根,则实数a的取值范围是___ ___.
9.某种商品原价是120元,经两次降价后的价格是100元,求平均每次降价的百分率.设平均每次降价的百分率为,可列方程为 __ .
10.当为 时,关于的一元二次方程有两个相等的实数根;
此时这两个实数根是 .
11.如果分式方程= 无解, 则 m = .
12.已知关于x 的方程 - = m有实数根,则 m 的取值范围是 .
三、解答题
13. (1); (2).
14.一列火车从车站开出,预计行程450千米,当它开出3小时后,因特殊任务多停一站,耽误30分
钟,后来把速度提高了0.2倍,结果准时到达目的地,求这列火车的速度.
22
15.(2015?泗洪县校级模拟)已知关于x的方程x+(2m﹣1)x+m=0有实数根, (1)求m的取值范围;
(2)若方程的一个根为1,求m的值;
22
(3)设α、β是方程的两个实数根,是否存在实数m使得α+β﹣αβ=6成立?如果存在,请求出来,若不存在,请说明理由.
16.如图,利用一面墙,用80米长的篱笆围成一个矩形场地
(1)怎样围才能使矩形场地的面积为750平方米? (2)能否使所围的矩形场地面积为810平方米,为什么?
【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】B;
【解析】根据配方法的步骤可知在方程两边同时加上一次项系数一半的平方,
整理即可得到B项是正确的.
2.【答案】C;
2
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【解析】∵∴,
解得m=5(此时不满足根的判别式舍去)或m=-1. 原方程化为, =
3.【答案】D;
【解析】依题意列方程组
,
解得k<1且k≠0.故选D. 4.【答案】B; 【解析】有题意解得. 5.【答案】B ;
【解析】(80+2x)(50+2x)=5400,化简得. 6.【答案】B;
【解析】由已知,此人步行的路程为av千米,所以乘车的路程为千米。 又已知乘车的时间为b小时,故汽车的速度为
二、填空题 7.【答案】x=6;
【解析】去分母得:3(x﹣2)﹣2x=0, 去括号得:3x﹣6﹣2x=0, 整理得:x=6,
经检验得x=6是方程的根.故答案为:x=6. 8.【答案】a<1且a≠0; 【解析】△>0且a≠0.
9.【答案】;
【解析】平均降低率公式为(a为原来数,x为平均降低率,n为降低次数,b为降低后的量.) 10.【答案】m=;x1=x2=2.
【解析】由题意得,△=(-4)-4(m-)=0
即16-4m+2=0,m=.
当m=时,方程有两个相等的实数根x1=x2=2.
11.【答案】-1;
【解析】原方程可化为:x= m.
∵ 原分式方程无解 ∴x=-1,故代入一次方程有m=-1. 所以,当m=-1时,原分式方程无解. 12.【答案】当m≤且m≠0时;
2
【解析】原方程可化为:mx-x+1=0
当m=0时,得x=1,原分式方程无解,不符合题意舍去.
2
当m≠0时, ⊿=1-4m≥0,解之m≤
所以,当m≤且m≠0时,原分式方程有实数根.
2
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三、解答题
13.【答案与解析】
14.【答案与解析】
设这列火车的速度为x千米/时 根据题意,得
方程两边都乘以12x,得 解得
经检验,是原方程的根
答:这列火车原来的速度为75千米/时.
15.【答案与解析】
22
解:(1)根据题意得△=(2m﹣1)﹣4m≥0, 解得m≤;
2
(2)把x=1代入方程得1+2m﹣1+m=0, 解得m1=0,m2=﹣2, 即m的值为0或﹣2; (3)存在.
2
根据题意得α+β=﹣(2m﹣1),αβ=m,
22
∵α+β﹣αβ=6,
2
∴(α+β)﹣3αβ=6,
22
即(2m﹣1)﹣3m=6,
2
整理得m﹣4m﹣5=0,解得m1=5,m2=﹣1, ∵m≤;
∴m的值为﹣1.
16.【答案与解析】
设AD=BC=xm,则AB=(80-2x)m (1)由题意得:x(80-2x)=750 解得:x1=15, x2=25 , 当x=15时,AD=BC=15m,AB=50m (1)部分移项得:
∴x=2
经检验:x=2是原分式方程的根.
(2)原方程可化为:
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当x=25时,AD=BC=25m,AB=30m
答:当平行于墙面的边长为50m,斜边长为15m时,矩形场地面积为750m;或当平行于墙面的边长为30m,邻边长为25m时矩形场地面积为750m. (2)由题意得:x(80-2x)=810 △=40-4×405=1600-1620=-20<0 ∴方程无解,即不能围成面积为810m的矩形场地.
2
2
2
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知识点梳理
重点题型(常考知识点)巩固练习
中考总复习:方程与不等式综合复习—知识讲解(基础)
【考纲要求】
1.会从定义上判断方程(组)的类型,并能根据定义的双重性解方程(组)和研究分式方程的增根情况; 2.掌握解方程(组)的方法,明确解方程组的实质是“消元降次”、“化分式方程为整式方程”、“化无理式为有理式”;
3.理解不等式的性质,一元一次不等式(组)的解法,在数轴上表示解集,以及求特殊解集; 4.列方程(组)、列不等式(组)解决社会关注的热点问题;
5. 解方程或不等式是中考的必考点,运用方程思想与不等式(组)解决实际问题是中考的难点和热点.
【知识网络】
【考点梳理】
考点一、一元一次方程 1.方程
含有未知数的等式叫做方程. 2.方程的解
能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解. 3.等式的性质
(1)等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,所得结果仍是等式. (2)等式的两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能是零),所得结果仍是等式. 4.一元一次方程
只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程,其中方程叫做一元一次方程的标准形式,a是未知数x的系数,b是常数项. 5.一元一次方程解法的一般步骤
整理方程 —— 去分母—— 去括号—— 移项—— 合并同类项——系数化为1——(检验方程的
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解).
6.列一元一次方程解应用题
(1)读题分析法:多用于“和,差,倍,分问题”
仔细读题,找出表示相等关系的关键字,例如:“大,小,多,少,是,共,合,为,完成,增加,减少,配套”,利用这些关键字列出文字等式,并且根据题意设出未知数,最后利用题目中的量与量的关系填入代数式,得到方程.
(2)画图分析法:多用于“行程问题”
利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现,仔细读题,依照题意画出有关图形,使图形各部分具有特定的含义,通过图形找相等关系是解决问题的关键,从而取得布列方程的依据,最后利用量与量之间的关系(可把未知数看作已知量),填入有关的代数式是获得方程的基础. 要点诠释:
列方程解应用题的常用公式:
(1)行程问题: 距离=速度×时间 ; (2)工程问题: 工作量=工效×工时 ; (3)比率问题: 部分=全体×比率 ;
(4)顺逆流问题: 顺流速度=静水速度+水流速度,逆流速度=静水速度-水流速度; (5)商品价格问题: 售价=定价·折·,利润=售价-成本,;
(6)周长、面积、体积问题:C圆=2πR,S圆=πR,C长方形=2(a+b),S长方形=ab, C正方形=4a, S正方形=a,S环形=π(R-r),V长方体=abh,V正方体=a,V圆柱=πRh ,V圆锥=πRh.
考点二、一元二次方程 1.一元二次方程
含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程. 2.一元二次方程的一般形式
,它的特征是:等式左边是一个关于未知数x的二次多项式,等式右边是零,其中叫做二次项,a叫做二次项系数;bx叫做一次项,b叫做一次项系数;c叫做常数项. 3.一元二次方程的解法
(1)直接开平方法
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.直接开平方法适用于解形如的一元二次方程.根据平方根的定义可知,是b的平方根,当时,,,当b<0时,方程没有实数根.
(2)配方法
配方法是一种重要的数学方法,它不仅在解一元二次方程上有所应用,而且在数学的其他领域也有着广泛的应用.配方法的理论根据是完全平方公式,把公式中的a看做未知数x,并用x代替,则有.
(3)公式法
公式法是用求根公式求一元二次方程的解的方法,它是解一元二次方程的一般方法. 一元二次方程的求根公式: (4)因式分解法
因式分解法就是利用因式分解的手段,求出方程的解的方法,这种方法简单易行,是解一元二次方程最常用的方法.
2
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3
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4.一元二次方程根的判别式
一元二次方程中,叫做一元二次方程的根的判别式,通常用“”来表示,即.
5.一元二次方程根与系数的关系
如果方程的两个实数根是,那么,.也就是说,对于任何一个有实数根的一元二次方程,两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数;两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.
要点诠释:
一元二次方程的解法中直接开平方法和因式分解法是特殊方法,比较简单,但不是所有的一元二次方程都能用这两种方法去解,配方法和公式法是普通方法,一元二次方程都可以用这两种方法去解.
考点三、分式方程 1.分式方程
分母里含有未知数的方程叫做分式方程. 2.解分式方程的一般方法
解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”.它的一般解法是: ①去分母,方程两边都乘以最简公分母; ②解所得的整式方程;
③验根:将所得的根代入最简公分母,若等于零,就是增根,应该舍去;若不等于零,就是原方程的根.
3.分式方程的特殊解法
换元法:
换元法是中学数学中的一个重要的数学思想,其应用非常广泛,当分式方程具有某种特殊形式,一般的去分母不易解决时,可考虑用换元法. 要点诠释:
解分式方程时,求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根.
考点四、二元一次方程(组) 1.二元一次方程
含有两个未知数,并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程,它的一般形式是 ax+by=c(a≠0,b≠0). 2.二元一次方程的解
使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值,叫做二元一次方程的一个解. 3.二元一次方程组
两个(或两个以上)二元一次方程合在一起,就组成了一个二元一次方程组. 4.二元一次方程组的解
使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程组的解. 5.二元一次方程组的解法
①代入消元法;②加减消元法. 6.三元一次方程(组)
(1)三元一次方程
把含有三个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫三元一次方程. (2)三元一次方程组
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由三个(或三个以上)一次方程组成,并且含有三个未知数的方程组,叫做三元一次方程组.
要点诠释:
二元一次方程组的解法: 消元:将未知数的个数由多化少,逐一解决的想法,叫做消元思想.
(1)代入消元法:将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来,再代入另一个方程,实现消元,
进而求得这个二元一次方程组的解,这种方法叫做代入消元法,简称代入法.
(2)加减消元法:当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时,将两个方程的两边分别相加或相减,
就能消去这个未知数,这种方法叫做加减消元法,简称加减法.
考点五、不等式(组) 1.不等式的概念 (1)不等式
用不等号表示不等关系的式子,叫做不等式. (2)不等式的解集
对于一个含有未知数的不等式,任何一个适合这个不等式的未知数的值,都叫做这个不等式的解. 对于一个含有未知数的不等式,它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合,简称这个不等式的解集.
求不等式的解集的过程,叫做解不等式. 2.不等式基本性质
(1)不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变; (2)不等式两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变; (3)不等式两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变. 3.一元一次不等式
(1)一元一次不等式的概念
一般地,不等式中只含有一个未知数,未知数的次数是1,且不等式的两边都是整式,这样的不等式叫做一元一次不等式.
(2)一元一次不等式的解法 解一元一次不等式的一般步骤:
①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤将x项的系数化为1. 4.一元一次不等式组
(1)一元一次不等式组的概念
几个一元一次不等式合在一起,就组成了一个一元一次不等式组.
几个一元一次不等式的解集的公共部分,叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集. 求不等式组的解集的过程,叫做解不等式组.
当任何数x都不能使不等式同时成立,我们就说这个不等式组无解或其解为空集. (2)一元一次不等式组的解法
①分别求出不等式组中各个不等式的解集;
②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分,即这个不等式组的解集. 要点诠释:
用符号“<”“>”“≤ ”“≥”“≠”表示不等关系的式子,叫做不等式.
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【典型例题】
类型一、方程的综合运用
1.如图所示,已知函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P,则根据图象可得,关于的二元一次方程组的解是________.
【思路点拨】两图象的交点就是方程组的解. 【答案】
【解析】由图象可知y=ax+b与y=kx的交点P的坐标为(-4,-2),
所以二元一次方程组的解为
【总结升华】
方程组与函数图象结合体现了数形结合的数学思想,这也是中考所考知识点的综合与相互渗透,平时应加强这方面的练习与思考.
举一反三:
【变式】已知关于的一元二次方程.
(1)求证:不论取何值时,方程总有两个不相等的实数根.
(2)若直线与函数的图象的一个交点的横坐标为2,求关于的一元二次方程的解. 【答案】 (1)证明:
∵不论取何值时, ∴,即
∴不论取何值时,方程总有两个不相等的实数根.. (2)将代入方程, 得 再将代入,原方程化为, 解得.
2.已知: 关于x的一元一次方程kx=x+2 ①的根为正实数,二次函数y=ax-bx+kc(c≠0)的图象与x轴一个交点的横坐标为1.
(1)若方程①的根为正整数,求整数k的值; (2)求代数式的值;
2
(3)求证: 关于x的一元二次方程ax-bx+c=0 ②必有两个不相等的实数根. 【思路点拨】
(1)根据一元一次方程及根的条件,求k的值; (2)把交点坐标代入二次函数的解析式求出值;
(3)根据根的判别式和一元一次方程的根为正实数得出x有两不相等的实数根. 【答案与解析】
(1)解:由 kx=x+2,得(k-1) x=2.
依题意 k-1≠0.
2
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∴.
∵ 方程的根为正整数,k为整数, ∴ k-1=1或k-1=2. ∴ k1= 2, k2=3.
(2)解:依题意,二次函数y=ax2
-bx+kc的图象经过点(1,0), ∴ 0 =a-b+kc, kc = b-a .
∴=
(3)证明:方程②的判别式为 Δ=(-b)2-4ac= b2
-4ac. 由a≠0, c≠0, 得ac≠0.
( i ) 若ac<0, 则-4ac>0. 故Δ=b2
-4ac>0. 此时方程②有两个不相等的实数
根.
( ii ) 证法一: 若ac>0, 由(2)知a-b+kc =0, 故 b=a+kc.
Δ=b2-4ac= (a+kc)2-4ac=a2+2kac+(kc)2-4ac = a2-2kac+(kc)2
+4kac-4ac
=(a-kc)2
+4ac(k-1).
∵ 方程kx=x+2的根为正实数, ∴ 方程(k-1) x=2的根为正实数.
由 x>0, 2>0, 得 k-1>0. ∴ 4ac(k-1)>0.
∵ (a-kc)2
?0,
∴Δ=(a-kc)2
+4ac(k-1)>0. 此时方程②有两个不相等的实数根. 证法二: 若ac>0,
∵ 抛物线y=ax2
-bx+kc与x轴有交点,
∴ Δ22
1=(-b)-4akc =b-4akc?0. (b2-4ac)-( b2
-4akc)=4ac(k-1).
由证法一知 k-1>0,
∴ b2-4ac> b2
-4akc?0.
∴ Δ= b2
-4ac>0. 此时方程②有两个不相等的实数根. 综上, 方程②有两个不相等的实数根. 【总结升华】方程与函数综合题. 中考所考知识点的综合与相互渗透. 举一反三:
【变式】已知关于x的一元二次方程.
(1)若x=-2是这个方程的一个根,求m的值和方程的另一个根; (2)求证:对于任意实数m,这个方程都有两个不相等的实数根. 【答案】
(1)解:把x=-2代入方程,得,
即.解得,.
当时,原方程为,则方程的另一个 当时
,
原
方
程
为
,
则
方
程
的
另
一
个
(2)证明:,
∵对于任意实数m,, ∴.
∴对于任意实数m,这个方程都有两个不相等的实数根.
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根为. 根
为
.
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类型二、解不等式(组)
3.(2015?江西样卷)解不等式组,并把解集在数轴上表示出来. 【思路点拨】
求出每个不等式的解集,根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可. 【答案与解析】 解:,
∵解不等式①得:x≤1, 解不等式②得:x>﹣2,
∴不等式组的解集为:﹣2<x≤1. 在数轴上表示不等式组的解集为:
【总结升华】注意解不等式组的解题步骤,在数轴上表示不等式组时,能根据不等式的解集找出不等式组的解集. 举一反三: 【变式】(2014?泗县校级模拟)求不等式组的整数解,并在数轴上表示出来. 【答案】 解:,
由①得:x>﹣2, 由②得:x≤6,
∴不等式组的解集是:﹣2<x≤6.
∴整数解是:﹣1,0,1,2,3,4,5,6. 在数轴上表示出来为: .
类型三、方程(组)与不等式(组)的综合应用
4.如果关于x的方程的解也是不等式组的一个解,
求m的取值范围. 【思路点拨】
解方程求出x的值(是用含有m的式子表示的),再解不等式组求出x的取值范围,最后方程的解与不等式组的解结合起来求m的取值范围. 【答案与解析】
解方程,得x=-m-2. 因为,
所以m≠-4且m≠0时,有. 所以方程的解为x=-m-2. 其中m≠-4且m≠0. 解不等式组得x≤-2.
由题意,得-m-2≤-2,解得m≥0. 所以m的取值范围是m>0.
【总结升华】方程与不等式的综合题,是中考考查的重点之一.
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举一反三:
【高清课程名称:方程与不等式综合复习 高清: 405277 :例1】
【变式】如果不等式组的解集是,那么的值为 . 【答案】解不等式组得:,因为不等式组的解集是,所以解得所以.
5. 某采摘农场计划种植两种草莓共6亩,根据表格信息,解答下列问题:
项目 品种 A B
年亩产(单位:千克) 1200 2000 采摘价格(单位:元/千克) 60 40
(1)若该农场每年草莓全部被采摘的总收入为46000O元,那么两种草莓各种多少亩?
(2)若要求种植种草莓的亩数不少于种植种草莓的一半,那么种植种草莓多少亩时,可使该农场每
年草莓全部被采摘的总收入最多? 【思路点拨】
(1)根据等量关系:总收入=A地的亩数×年亩产量×采摘价格+B地的亩数×年亩产量×采摘价格,列方程求解;
(2)这是一道只有一个函数关系式的求最值问题,根据题意确定自变量的取值范围,由函数y随x的变化求出最大利润.
【答案与解析】
设该农场种植种草莓亩,种草莓亩 依题意,得: 解得: , (2)由,解得
设农场每年草莓全部被采摘的收入为y元,则:
∴当时,y有最大值为464000
答:(l)A种草莓种植2.5亩, B种草莓种植3.5亩.
(2)若种植A种草莓的亩数不少于种植B种草莓的一半,那么种植A种草莓2亩时,可使农场
每年草莓全部被采摘的总收入最多.
【总结升华】
本题考查的是用一次函数解决实际问题,此类题是近年中考中的热点问题.注意利用一次函数求最值时,关键是应用一次函数的性质;即由函数y随x的变化,结合自变量的取值范围确定最值. 举一反三:
【变式】某运输公司用10辆相同的汽车将一批苹果运到外地,每辆汽车能装8吨甲种苹果,
或10吨乙种苹果,或11吨丙种苹果.公司规定每辆车只能装同一种苹果,而且必须 满载.已知公司运送了甲、乙、丙三种苹果共100吨,且每种苹果不少于一车.
(1)设用x辆车装甲种苹果,y辆车装乙种苹果,求y与x之间的函数关系式,并写 出自变量x的取值范围;
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(2)若运送三种苹果所获利润的情况如下表所示:
苹果品种 每吨苹果所获利润(万元) 甲 0.22 乙 0.21 丙 0.2 设此次运输的利润为W(万元),问:如何安排车辆分配方案才能使运输利润W 最大,并求出最大利润.
【答案】
(1)∵,
∴ y与x之间的函数关系式为. ∵ y≥1,解得x≤3.
∵ x≥1,≥1,且x是正整数,
∴ 自变量x的取值范围是x =1或x =2或x =3.
(2).
因为W随x的增大而减小,所以x取1时,可获得最大利润,
此时(万元).
获得最大运输利润的方案为:用1辆车装甲种苹果,用7辆车装乙种苹果,2辆车装丙种苹果.
类型四、用不等式(组)解决决策性问题
6.为了美化家园,创建文明城市,园林部门决定利用现有的3600盆甲种花卉和2900盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个,摆放在迎宾大道两侧,搭配每个造型所需花卉的情况如下表所示;
造型 A B 甲 90盆 40盆 乙 30盆 100盆 综合上述信息,解答下列问题: (1)符合题意的搭配方案有哪儿种?
(2)若搭配一个A种造型的成本为1000元,搭配一个B种选型的成本为1200元,试说明选用(1)中哪种方案成本最低? 【思路点拨】
本题首先需要从文字和表格中获取信息,建立不等式(组),然后求出其解集,根据实际问题的意义,再求出正整数解,从而确定搭配方案. 【答案与解析】
解:(1)设搭配x个A种造型,则需要搭配(50-x)个B种造型,由题意,得 解得30≤x≤32.
所以x的正整数解为30,31,32.
所以符合题意的方案有3种,分别为: A种造型30个,B种造型20个; A种造型31个,B种造型19个; A种造型32个,B种造型18个.
(2)由题意易知,三种方案的成本分别为: 第一种方案:30×1000+20×1200=54000; 第二种办案:31×1000+19×1200=53800; 第三种方案:32×1000+18×1200=53600. 所以第三种方案成本最低.
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【总结升华】实际问题的“最值问题”一般是指“成本最低”、“利润最高”、“支出最少”等问题. 举一反三:
【高清课程名称:方程与不等式综合复习 高清: 405277 :例4】
【变式】某商场“家电下乡”指定型号冰箱,彩电的进价和售价如下表所示:
(1)按国家政策,购买“家电下乡”产品享受售价13%的政府补贴.若到该商场购买了冰箱,彩电各一
台,可以享受多少元的补贴?
(2)为满足需求,商场决定用不超过85000元采购冰箱,彩电共40台,且冰箱的数量不少于彩电数量 的. ①请你帮助该商场设计相应的进货方案;
②用哪种方案商场获得利润最大?(利润=售价-进价),最大利润是多少? 【答案】 (1)(2420+1980)×13%=572(元)
(2)①设冰箱采购x台,则彩电采购(40-x)台,
解不等式组得,因为x为整数,所以x=19、20、21, 方案一:冰箱购买19台,彩电购买21台, 方案二:冰箱购买20台,彩电购买20台, 方案一:冰箱购买21台,彩电购买19台.
②设商场获得总利润为y元,则y=(2420-2320)x+(1980-1900)(40-x)=20x+3200 ∵20>0,∴y随x的增大而增大,
∴当x=21时,y最大=20×21+3200=3620(元).
沪教版初中数学中考总复习
知识点梳理
重点题型(常考知识点)巩固练习
中考总复习:方程与不等式综合复习—巩固练习(基础)
【巩固练习】
一、选择题
1.某城市2010年底已有绿化面积300公顷,经过两年绿化,绿化面积逐年增加,到2012年底增加 到363公顷.设绿化面积平均每年的增长率为x,由题意,所列方程正确的是( )
22
A.300(1+x)=363 B.300(1+2x)=363 C.300(1+x)=363 D.363(1-x)=300 2.若方程组的解是,则方程的解是( )
A. B. C.
D.
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3.若使代数式的值在-1和2之间,x可以取的整数有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.(2014春?港闸区校级月考)不等式组的最小整数解是( )
A.﹣1 B.0 C.2 D.﹣3
5.如果不等式3x-m≤0的正整数解是1、2、3,那么实数m的取值范围是( ) A.3<m<9 B.9<m<12 C.9≤m<1 D.9≤m<12
22
6.两个不相等的实数m、n满足m-6m=4,n-6n=4,则mn的值是( ) A.6 B.-6 C.4 D.-4
二、填空题
2
7.若方程x-m=0有整数根,则m的值可以是________.(只填一个) 8.设x1、x2是关于x的方程 (a≠0)的两个根,则________.
9.已知一个一元二次方程有一个根为1,那么这个方程可以是________.(只要写出一个即可)
10.张欣和李明相约到图书城去买书.请你根据他们的对话内容(如图所示),求出李明上次所买书籍的原价为________.
11. 已知满足,则=__________. 12.(2014?永嘉县校级模拟)若关于x的不等式组的整数解只有2,则a的取值范围为 . 三、解答题 13.(2015?宁夏)某校在开展“校园献爱心”活动中,准备向南部山区学校捐赠男、女两种款式的书包.已知男款书包的单价50元/个,女款书包的单价70元/个.
(1)原计划募捐3400元,购买两种款式的书包共60个,那么这两种款式的书包各买多少个?
(2)在捐款活动中,由于学生捐款的积极性高涨,实际共捐款4800元,如果购买两种款式的书包共80个,那么女款书包最多能买多少个?
2
14. 已知关于x的方程2x-kx+1=0的一个解与方程的解相同. (1)求k的值;
2
(2)求方程2x-kx+1=0的另一个解.
15.已知关于x的方程,其中a、b为实数. (1)若此方程有一个根为2 a(a <0),判断a与b的大小关系并说明理由; (2)若对于任何实数a ,此方程都有实数根,求b的取值范围.
16. 某班到毕业时共结余经费1 800元,班委会决定拿出不少于270元但不超过300元的资金为老师购
买纪念品,其余资金用于在毕业晚会上给50位同学每人购买一件文化衫或一本相册作为纪念品.已知每件文化衫比每本相册贵9元,用200元恰好可以买到2件文化衫和5本相册. (1)求每件文化衫和每本相册的价格分别为多少元?
(2)有几种购买文化衫和相册的方案?哪种方案用于购买老师纪念品的资金更充足?
【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】C;
【解析】平均增长率公式为(a为原来数,x为平均增长率,n为增长次数,b为增长后的量.)
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2.【答案】C;
【解析】由已知可得 解得. 3.【答案】B;
【解析】依题意-1<<2 得,x可以取的整数为0,1. 4.【答案】D; 【解析】,
解①得:x<2, 解②得:x>﹣4.
则不等式组的解集是:﹣4<x<2. 则最小整数解是:﹣3.故选D. 5.【答案】D;
【解析】原不等式的解集为,故,可知9≤m<12. 6.【答案】D; 【解析】∵ ,,
2
∴ m、n是方程x-6x-4=0的两根. ∴ mn=x1·x2=-4.
二、填空题 7.【答案】1或4(答案不唯一); 8.【答案】0; 【解析】.
2
9.【答案】x-1=0(不唯一); 10.【答案】160元;
【解析】设李明上次所买书籍的原价为元,根据题意列方程得: 解方程得:. 11.【答案】-5;
【解析】方法一:利用加减消元或代入消元解方程组求出的值,代入求出值;
方法二:观察系数的特点,发现两个方程相减即可得到的值.
12.【答案】 ﹣3≤a<0; 【解析】,
解①得:x<3, 解②得:x>,
则不等式组的解集是:<x<3, ∵整数解只有2, ∴1≤<2,
解得:﹣3≤a<0.故答案是:﹣3≤a<0.
三、解答题
13.【答案与解析】 解:(1)设原计划买男款书包x个,则女款书包(60﹣x)个, 根据题意得:50x+70(60﹣x)=3400, 解得:x=40,
60﹣x=60﹣40=20,
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答:原计划买男款书包40个,则女款书包20个.
(2)设女款书包最多能买y个,则男款书包(80﹣y)个, 根据题意得:70y+50(80﹣y)≤4800, 解得:y≤40,
∴女款书包最多能买40个. 14.【答案与解析】
(1)∵ ,∴ 2x+1=4-4x. ∴ .经检验是原方程的解.
2
把代入方程2x-kx+1=0, 解得k=3.
2
(2)解2x-3x+1=0,得,x2=1.
2
∴ 方程2x-kx+1=0的另一个解为x=1.
15.【答案与解析】
(1)∵ 方程有一个根为2a , ∴. 整理,得. ∵, ∴,即. (2)
对于任何实数此方程都有实数根, ∴ 对于任何实数都有≥0 ,即≥0.
∴ 对于任何实数都有b≤. ∵ ,
当时,有最小值.
∴ b的取值范围是b≤.
16.【答案与解析】
(1)设文化衫和相册的价格分别为x元和y 元,则 解得.
答:一件文化衫和一本相册的价格分别为35元和26元. (2)设购买文化衫件,则购买相册本, 则, 解得.
∵为正整数,∴23,24,25,即有三种方案.
第一种方案:购文化衫23件,相册27本,此时余下资金293元; 第二种方案:购文化衫24件,相册26本,此时余下资金284元; 第三种方案:购文化衫25件,相册25本,此时余下资金275元; 所以第一种方案用于购买教师纪念品的资金更充足.
沪教版初中数学中考总复习
知识点梳理
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重点题型(常考知识点)巩固练习
中考总复习:平面直角坐标系与一次函数、反比例函数
--知识讲解(基础)
【考纲要求】
⒈结合实例,了解常量、变量和函数的概念,体会“变化与对应”的思想;
⒉会确定函数自变量的取值范围,即能用三种方法表示函数,又能恰当地选择图象去描述两个变量之间的关系;
⒊理解正比例函数、反比例函数和一次函数的概念,会画他们的图象,能结合图象讨论这些函数的基本性质,能利用这些函数分析和解决有关的实际问题.
【知识网络】
【考点梳理】
考点一、平面直角坐标系 1.平面直角坐标系
平面内两条有公共原点且互相垂直的数轴构成了平面直角坐标系,坐标平面内一点对应的有序实数对叫做这点的坐标.在平面内建立了直角坐标系,就可以把“形”(平面内的点)和“数”(有序实数对)紧密结合起来.
2.各象限内点的坐标的特点、坐标轴上点的坐标的特点 点P(x,y)在第一象限;
点P(x,y)在第二象限; 点P(x,y)在第三象限; 点P(x,y)在第四象限;
点P(x,y)在x轴上,x为任意实数; 点P(x,y)在y轴上,y为任意实数;
点P(x,y)既在x轴上,又在y轴上x,y同时为零,即点P坐标为(0,0). 3.两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征
点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x与y相等;
点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数. 4.和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征
位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同; 位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同. 5.关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征
点P与点p′关于x轴对称横坐标相等,纵坐标互为相反数; 点P与点p′关于y轴对称纵坐标相等,横坐标互为相反数; 点P与点p′关于原点对称横、纵坐标均互为相反数. 6.点P(x,y)到坐标轴及原点的距离 (1)点P(x,y)到x轴的距离等于; (2)点P(x,y)到y轴的距离等于; (3)点P(x,y)到原点的距离等于. 要点诠释:
(1)注意:x轴和y轴上的点,不属于任何象限; (2)平面内点的坐标是有序实数对,当时,(a,b)和(b,a)是两个不同点的坐标.
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考点二、函数 1.函数的概念
设在某个变化过程中有两个变量x、y,如果对于x在某一范围内的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与它相对应,那么就说y是x的函数,x叫做自变量.
2.自变量的取值范围
对于实际问题,自变量取值必须使实际问题有意义.对于纯数学问题,自变量取值应保证数学式子有意义.
3.表示方法
⑴解析法;⑵列表法;⑶图象法. 4.画函数图象
(1)列表:列表给出自变量与函数的一些对应值;
(2)描点:以表中每对对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点;
(3)连线:按照自变量由小到大的顺序,把所描各点用平滑的曲线连接起来. 要点诠释:
(1)在某一变化过程中,可以取不同数值的量叫做变量,数值保持不变的量叫做常量; (2)确定自变量取值范围的原则:①使代数式有意义;②使实际问题有意义.
考点三、几种基本函数(定义→图象→性质) 1.正比例函数及其图象性质
(1)正比例函数:如果y=kx(k是常数,k≠0),那么y叫做x的正比例函数. (2)正比例函数y=kx( k≠0)的图象: 过(0,0),(1,K)两点的一条直线. (3)正比例函数y=kx(k≠0)的性质
①当k>0时,图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大; ②当k<0时,图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小 . 2.一次函数及其图象性质
(1)一次函数:如果y=kx+b(k,b是常数,k≠0),那么y叫做x的一次函数. (2)一次函数y=kx+b(k≠0)的图象
(3)一次函数y=kx+b(k≠0)的图象的性质
一次函数y=kx+b的图象是经过(0,b)点和点的一条直线. ①当k>0时,y随x的增大而增大; ②当k<0时,y随x的增大而减小.
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要点诠释:
(1)当b=0时,一次函数变为正比例函数,正比例函数是一次函数的特例;
(2)确定一个正比例函数,就是要确定正比例函数定义式(k0)中的常数k.
确定一个一次函数,需要确定一次函数定义式(k0)中的常数k和b. 解这类问题的一般方法是待定系数法.
3.反比例函数及其图象性质
(1)定义:一般地,形如(为常数,)的函数称为反比例函数.
三种形式: (k≠0)或(k≠0)或xy=k(k≠0).
(2)反比例函数解析式的特征:
①等号左边是函数,等号右边是一个分式.分子是不为零的常数(也叫做比例系数),分母中含有自变量,且指数为1; ②比例系数;
③自变量的取值为一切非零实数; ④函数的取值是一切非零实数. (3)反比例函数的图象
①图象的画法:描点法
列表(应以O为中心,沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数); 描点(由小到大的顺序); 连线(从左到右光滑的曲线). ②反比例函数的图象是双曲线,(为常数,)中自变量,函数值,所以双曲线是不经过原点,断开的两个分支,延伸部分逐渐靠近坐标轴,但是永远不与坐标轴相交.
③反比例函数的图象是轴对称图形(对称轴是和)和中心对称图形(对称中心是坐标原点). ④反比例函数()中比例系数的几何意义是:过双曲线()上任意点引轴、轴的垂线,所得矩形面积为.
(4)反比例函数性质:
反比例 函数 k的符号 k>0 k<0 图像 性质 ①x的取值范围是x0, y的取值范围是y0; ②当k>0时,函数图像的两个分支分别 在第一、三象限.在每个象限内,y 随x 的增大而减小. ①x的取值范围是x0, y的取值范围是y0; ②当k<0时,函数图像的两个分支分别 在第二、四象限.在每个象限内,y 随x 的增大而增大.
(5)反比例函数解析式的确定:
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利用待定系数法(只需一对对应值或图象上一个点的坐标即可求出) (6)“反比例关系”与“反比例函数”:
成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数中的两个变量必成反比例关系. 要点诠释:
(1)用待定系数法求解析式(列方程[组]求解);
(2)利用一次(正比例)函数、反比例函数的图象求不等式的解集.
【典型例题】
类型一、坐标平面有关的计算
1. 已知点A(a,-5),B(8,b),根据下列要求确定a,b的值. (1)A,B两点关于y轴对称; (2)A,B两点关于原点对称; (3)AB∥x轴;
(4)A,B两点都在一、三象限的角平分线上. 【思路点拨】
(1)关于y轴对称,y不变,x变为相反数;
(2)关于原点对称,x变为相反数,y变为相反数; (3)AB∥x轴,即两点的纵坐标不变即可;
(4)在一、三象限两坐标轴夹角的平分线上的点的横纵坐标相等,即可得出a,b. 【答案与解析】
(1)点A(a,-5),B(8,b)两点关于y轴对称,则a=-8且b=-5. (2)点A(a,-5),B(8,b)两点关于原点对称,则a=-8且b=5. (3)AB∥x轴,则a≠8且b=-5.
(4)A,B两点都在一、三象限的角平分线上,则a=-5且b=8.
【总结升华】 运用对称点的坐标之间的关系是解答本题的关键.在一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相等,在二、四象限角平分线上的点的横纵坐标互为相反数. 举一反三:
【变式】已知点A的坐标为(-2,-1).
(1)如果B为x轴上一点,且,求B点的坐标;
(2)如果C为y轴上的一点,并且C到原点的距离为3,求线段AC的长; (3)如果D为函数y=2x-1图象上一点,,求D点的坐标. 【答案】
(1)设B(x,0),由勾股定理得.解得x1=-5,x2=1. 经检验x1=-5,x2=1均为原方程的解.
∴ B点的坐标为(-5,0)或(1,0).
(2)设C(0,y),∵ OC=3,∴ C点的坐标为(0,3)或(0,-3). ∴ 由勾股定理得;或.
(3)设D(x,2x-1),AD=,由勾股定理得.解得,. 经检验,,均为原方程的解.
∴ D点的坐标为(,)或(-1,-3).
2.已知某一函数图象如图所示.
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(1)求自变量x的取值范围和函数y的取值范围; (2)求当x=0时,y的对应值; (3)求当y=0时,x的对应值; (4)当x为何值时,函数值最大; (5)当x为何值时,函数值最小;
(6)当y随x的增大而增大时,求x的取值范围; (7)当y随x的增大而减小时,求x的取值范围. 【思路点拨】
本题主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用.要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件,结合实际意义得到正确的结论. 【答案与解析】
(1)x的取值范围是-4≤x≤4,y的取值范围是-2≤y≤4; (2)当x=0时,y=3;
(3)当y=0时,x=-3或-1或4; (4)当x=1时,y的最大值为4; (5)当x=-2时,y的最小值为-2;
(6)当-2≤x≤1时,y随x的增大而增大;
(7)当-4≤x≤-2或1≤x≤4时,y随x的增大而减小. 【总结升华】本题主要是培养学生的识图能力. 举一反三:
【变式1】下图是韩老师早晨出门散步时,离家的距离y与时间x的函数图象.若用黑点表示韩老师家的位置,则韩老师散步行走的路线可能是( )
【答案】理解题意,读图获取信息是关键,由图可知某段时间内韩老师离家距离是常数,联想到韩老师
是在家为圆心的弧上散步,分析四个选项知D项符合题意. 答案:D
【高清课程名称:平面直角坐标系与一次函数 高清: 406069 :例1】
【变式2】下列图形中的曲线不表示y是x的函数的是( ).
【答案】C.
类型二、一次函数
3.(2015?盘锦)盘锦红海滩景区门票价格80元/人,景区为吸引游客,对门票价格进行动态管理,非节假日打a折,节假日期间,10人以下(包括10人)不打折,10人以上超过10人的部分打b折,设游客为x人,门票费用为y元,非节假日门票费用y1(元)及节假日门票费用y2(元)与游客x(人)之间的函数关系如图所示. (1)a= ,b= ;
(2)直接写出y1、y2与x之间的函数关系式;
(3)导游小王6月10日(非节假日)带A旅游团,6月20日(端午节)带B旅游团到红海滩景区旅游,两团共计50人,两次共付门票费用3040元,求A、B两个旅游团各多少人?
【思路点拨】(1)根据函数图象,用购票款数除以定价的款数,计算即可求出a的值;用第11人到20人的购票款数除以定价的款数,计算即可求出b的值;
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(2)利用待定系数法求正比例函数解析式求出y1,分x≤10与x>10,利用待定系数法求一次函数解析式求出y2与x的函数关系式即可;
(3)设A团有n人,表示出B团的人数为(50﹣n),然后分0≤n≤10与n>10两种情况,根据(2)的函数关系式列出方程求解即可. 【答案与解析】
解:(1)由y1图象上点(10,480),得到10人的费用为480元, ∴a=×10=6;
由y2图象上点(10,800)和(20,1440),得到20人中后10人费用为640元, ∴b=×10=8; (2)设y1=k1x,
∵函数图象经过点(0,0)和(10,480), ∴10k1=480, ∴k1=48, ∴y1=48x;
0≤x≤10时,设y2=k2x,
∵函数图象经过点(0,0)和(10,800), ∴10k2=800, ∴k2=80, ∴y2=80x,
x>10时,设y2=kx+b,
∵函数图象经过点(10,800)和(20,1440), ∴, ∴,
∴y2=64x+160; ∴y2=;
(3)设B团有n人,则A团的人数为(50﹣n), 当0≤n≤10时,80n+48×(50﹣n)=3040, 解得n=20(不符合题意舍去),
当n>10时,800+64×(n﹣10)+48×(50﹣n)=3040, 解得n=30,
则50﹣n=50﹣30=20.
答:A团有20人,B团有30人.
【总结升华】本题考查了一次函数的应用,主要利用了待定系数法求一次函数解析式,准确识图获取必要的信息并理解打折的意义是解题的关键,(3)要注意分情况讨论. 举一反三:
【高清课程名称:平面直角坐标系与一次函数 高清: 406069 :例6】 【变式1】
(1)直线y=2x+1向下平移2个单位,再向右平移2个单位后的直线的解析式是_____ ___. (2)直线y=2x+1关于x轴对称的直线的解析式是___ _____; 直线y=2x+l关于y轴对称的直线的解析式是___ ______; 直线y=2x+1关于原点对称的直线的解析式是____ _____.
(3)如图所示,已知点C为直线y=x上在第一象限内一点,直线y=2x+1交y轴于点A,交x轴于
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B,将直线AB平移后经过(3,4)点,则平移后的直线的解析式是__ ______.
【答案】
(1)y=2x-5;
(2)y=-2x-1,y=-2x+1,y=2x-1; (3)y=2x-2.
【变式2】某地夏天旱情严重.该地10号、15号的人日均用水量的变化情况如图所示.若该地10号、15号的人均用水量分别为18千克和15千克,并一直按此趋势直线下降.当人日均用水量低于10千克时,政府将向当地居民送水.那么政府应开始送水的号数为( )
A.23 B.24 C.25 D.26 【答案】
解析:设图中直线解析式为y=kx+b, 将(10,18),(15,15)代入解析式得 解得 ∴. 由题意知,,解得,∴送水号数应为24. 答案:B
类型三、反比例函数
4.(2015?安顺)如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象交于A(2,3)、B(﹣3,n)两点.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式;
(2)若P是y轴上一点,且满足△PAB的面积是5,直接写出OP的长.
【思路点拨】
(1)用待定系数法即可确定出反比例函数解析式;再将B坐标代入反比例解析式中求出n的值,确定出B坐标,根据A与B坐标即可确定出一次函数解析式;
(2)如图所示,对于一次函数解析式,令x=0求出y的值,确定出C坐标,得到OC的长,三角形ABP面积由三角形ACP面积与三角形BCP面积之和求出,由已知的面积求出PC的长,即可求出OP的长. 【答案与解析】 解:(1)∵反比例函数的图象经过点A(2,3), ∴m=6.
∴反比例函数的解析式是y=,
∵B点(﹣3,n)在反比例函数y=的图象上, ∴n=﹣2,
∴B(﹣3,﹣2),
∵一次函数y=kx+b的图象经过A(2,3)、B(﹣3,﹣2)两点, ∴, 解得:,
∴一次函数的解析式是y=x+1;
(2)对于一次函数y=x+1,令x=0求出y=1,即C(0,1),OC=1, 根据题意得:S△ABP=PC×2+PC×3=5, 解得:PC=2,
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则OP=OC+CP=1+2=3或OP=CP﹣OC=2﹣1=1.
【总结升华】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题,涉及的知识有:待定系数法求函数解析式,坐标与图形性质,以及三角形的面积求法,熟练掌握待定系数法是解本题的关键. 举一反三:
【变式】已知正比例函数(为常数,)的图象与反比例函数(为常数,)的图象有一个交点的横坐标是2. (1)求两个函数图象的交点坐标;
(2)若点,是反比例函数图象上的两点,且,试比较的大小. 【答案】
(1)由题意,得,
解得.
所以正比例函数的表达式为,反比例函数的表达式为. 解,得.由,得. 所以两函数图象交点的坐标为(2,2),. (2)因为反比例函数的图象分别在第一、三象限内, 的值随值的增大而减小, 所以当时,. 当时,. 当时,因为,,所以.
类型四、函数综合应用
5.如图,直线(>0)与双曲线(>0)在第一象限的一支相交于A、B两点,与坐标轴交于C、D两点,P是双曲线上一点,且.
(1)试用、表示C、P两点的坐标;
(2)若△POD的面积等于1,试求双曲线在第一象限的一支的函数解析式; (3)若△OAB的面积等于,试求△COA与△BOD的面积之和. 【思路点拨】
(1)根据直线的解析式求得点D的坐标,再根据等腰三角形的性质即可求得点P的横坐标,进而根据双曲线的解析式求得点P的纵坐标;
(2)①要求双曲线的解析式,只需求得xy值,显然根据△POD的面积等于1,即可求解;
②由①中的解析式可以进一步求得点B的纵坐标,从而求得直线的解析式,然后求得点B的坐标,即可计算△COA与△BOD的面积之和. 【答案与解析】
(1)C(0,),D(,0) ∵PO=PD ∴, ∴P(,)
(2)∵,有,化简得:=1 ∴(>0) (3)设A(,),B(,),由得:
,又得,
即得,再由得, 从而,,从而推出,所以.
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故
【总结升华】利用面积建立方程求解析式中的字母参数是常用方法.求两函数图像的交点坐标,即解由
它们的解析式组成的方程组. 举一反三:
【变式1】如图所示是一次函数y1=kx+b和反比例函数的图象,观察图象写出y1>y2时x的取值范围
________.
【答案】
利用图象比较函数值大小时,要看对于同一个自变量的取值,哪个函数图象在上面,哪个函数的函数值就大,当y1>y2时,-2<x<0或x>3. 答案:-2<x<0或x>3
【变式2】已知函数,m为何值时,
(1)y是x的正比例函数,且y随x的增大而增大? (2)函数的图象是位于第二、四象限的双曲线? 【答案】
(1)要符合题意,m需满足 解得 ∴ m=1.
(2)欲符合题意,m需满足 解得 ∴ .
6.已知直线 (n是不为零的自然数).当n=1时,直线与x轴和y轴分别交于点A1和B1,设△A1OB1(其中O是平面直角坐标系的原点)的面积为S1;当n=2时,直线与x轴和y轴分别交于点A2和B2,设△A2OB2的面积为S2,…,依此类推,直线与x轴和y轴分别交于点An和Bn,设△AnOBn的面积为Sn.
(1)求的面积S1;
(2)求S1+S2+S3+…+S6的面积. 【思路点拨】
此题是一道规律探索性题目,先根据函数解析式的通项公式得出每一个函数解析式,画出图象,总结出规律,便可解答. 【答案与解析】
解:直线,∴ ,.
(1).
(2)由得,
【总结升华】借助直觉思维或对问题的整体把握运用归纳、概括、推理等思想获得合理的猜测.
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中考总复习:平面直角坐标系与一次函数、反比例函数
—巩固练习(基础)
【巩固练习】
一、选择题
1. 下列图形中的曲线不表示y是x的函数的是( ) 2.(2015?南平)直线y=2x+2沿y轴向下平移6个单位后与x轴的交点坐标是( ) A.(﹣4,0) B.(﹣1,0) C.(0,2) D.(2,0)
3.若正比例函数y=(1-2m)x的图象经过点A(x1,y1)和点B(x2,y2),当x1﹤x2时,y1>y2,则m的取值范围是( )
A.m<O
B.m>0 C.m< D.m>
4.已知正比例函数与反比例函数的图象有一个交点的坐标为,则它的另一个交点的坐标是( )
A. B. C. D.
5.若直线y=kx+b经过一、二、四象限,则直线y=bx+k不经过第( )象限. A.一 B.二 C.三 D.四 6.反比例函数图象上有三个点,,,其中, 则,,的大小关系是( ) A. B. C. D.
二、填空题
7.已知y与x+1成正比例,当x=5时,y=12,则y关于x的函数关系式是 .
8.从-2,-1,1,2这四个数中,任取两个不同的数作为一次函数y=kx+b的系数k,b,则一次函数 y=kx+b的图象不经过第四象限的概率是________.
9.已知直线y=-2x+m不经过第三象限,则m的取值范围是_________. 10.过点P(8,2)且与直线y=x+1平行的一次函数解析式为_________.
11.如图,点A(x1,y1)、B(x2,y2)都在双曲线上,且,;分别过点A、B向x轴、y轴作垂线段,垂
足分别为C、D、E、F,AC与BF相交于G点,四边形FOCG的面积为2,五边形AEODB的面积为14,那么双曲线的解析式为 . 12.(2015?达州)在直角坐标系中,直线y=x+1与y轴交于点A,按如图方式作正方形A1B1C1O、A2B2C2C1、A3B3C3C2…,A1、A2、A3…在直线y=x+1上,点C1、C2、C3…在x轴上,图中阴影部分三角形的面积从左到右依次记为S1、S2、S3、…Sn,则Sn的值为 (用含n的代数式表示,n为正整数).
三、解答题
2
13.已知一次函数y=(3-k)x-2k+18.
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(1)k为何值时,它的图象经过原点?
(2)k为何值时,它的图象经过点(0,-2)? (3)k为何值时,它的图象平行于直线y=-x? (4)k为何值时,y随x的增大而减小? 14. 某企业信息部进行市场调研发现:
信息一:如果单独投资A种产品,则所获利润yA(万元)与投资金额x(万元)之间存在正比例函数关系:yA=kx,并且当投资5万元时,可获得利润2万元;
信息二:如果单独投资B种产品,则所获利润yB(万元)与投资金额x(万元)之间存在二次函数关系:
2
yB=ax+bx,并且当投资2万元时,可获利润2.4万元;当投资4万元时,可获利润3.2万元. (1)请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数的表达式;
(2)如果企业同时对A、B两种产品共投资10万元,请你设计一个能获得最大利润的投资方案,并求出按此方案能获得的最大利润是多少.
15.小张骑车往返于甲、乙两地,距甲地的路程y(km)与时间x(h)的函数图象如图所示.
(1)小张在路上停留________h,他从乙地返回时骑车的速度为km/h.
(2)小李与小张同时从甲地出发,按相同路线匀速前往乙地,小李到乙地停止,途中小李与小张共同相遇3次.请在图中画出小李距甲地的路程y(km)与时间x(h)的函数的大致图象.
(3)小王与小张同时出发,按相同的路线前往乙地,距甲地的路程y(km)与时间x(h)的函数关系为 y=12x+10,小王与小张在途中共相遇几次?请你计算出第一次相遇的时间.
16.(2015?湖北)如图,已知反比例函数的图象与一次函数y=ax+b的图象相交于点A(1,4)和点B(n,﹣2).
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)当一次函数的值小于反比例函数的值时,直接写出x的取值范围.
【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】C;
【解析】 考查函数的定义. 2.【答案】D;
【解析】直线y=2x+2沿y轴向下平移6个单位后解析式为y=2x+2﹣6=2x﹣4, 当y=0时,x=2,
因此与x轴的交点坐标是(2,0),故选:D. 3.【答案】D;
【解析】本题考查正比例函数的图象和性质,因为当x1<x2时,y1>y2,说明y随x的增大而减小,
所以1-2m﹤O,∴m>,故正确答案为D.
4.【答案】A;
【解析】通常我们求交点坐标的方法是将两个函数解析式联立方程组,来求交点坐标 所以需要先通过待定系数法求出正比例函数与反比例函数的
解析式,将代入两个函数解析式求得
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,解得或,另一交点坐标为
5.【答案】B;
【解析】∵直线y=kx+b经过一、二、四象限,∴对于直线y=bx+k,
∵∴图像不经过第二象限,故应选B.
6.【答案】B;
【解析】该题有三种解法:解法①,画出的图象,然后在图象上按要求描出三个已知点,便可得到
的大小关系;解法②,特殊值法,将三个已知点(自变量x选特殊值)代入解析式,计算后可得到的大小关系;解法③,根据反比例函数的性质,可知y1,y2都小于0,而y3>0,且在每个象限内,y值随x值的增大而减小,而x1<x2,∴y2<y1<0.故,故选B.
二、填空题 7.【答案】y=2x+2;
【解析】设y关于x的函数关系式为y=k(x+1).
∵当x=5时,y=12, ∴12=(5+1)k,∴k=2.
∴y关于x的函数关系式为y=2x+2.
8.【答案】; 【解析】
.
∴ 一次函数图象不经过第四象限的概率是. 9.【答案】m≥0;
【解析】提示:应将y=-2x+m的图像的可能情况考虑周全. 10.【答案】y=x-6; 【解析】设所求一次函数的解析式为y=kx+b.
∵直线y=kx+b与y=x+1平行,∴k=1,
∴y=x+b.将P(8,2)代入,得2=8+b,b=-6,∴所求解析式为y=x-6. 11.【答案】;
【解析】本题考查反比例函数的面积不变性,由四边形FODB的面积=四边形EOCA的面积=k ,又因为五
边形AEODB的面积=四边形FODB的面积+四边形EOCA的面积-四边形FOCG的面积+三角形ABG的面积,所以14=2k-2+4,因此k=6.
12.【答案】 22n﹣3;
【解析】∵直线y=x+1,当x=0时,y=1,当y=0时,x=﹣1, ∴OA1=1,OD=1, ∴∠ODA1=45°, ∴∠A2A1B1=45°, ∴A2B1=A1B1=1, ∴S1=×1×1=, ∵A2B1=A1B1=1,
1
∴A2C1=2=2,
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∴S2=×(2)=2
2
同理得:A3C2=4=2,…,
223
S3=×(2)=2
n﹣122n﹣3
∴Sn=×(2)=2
2n﹣3
故答案为:2.
三、解答题
13.【答案与解析】
解:(1)图象经过原点,则它是正比例函数. ∴∴k=-3.
∴当k=-3时,它的图象经过原点.
(2)该一次函数的图象经过点(0,-2).
2
∴-2=-2k+18,且3-k≠0, ∴k=±
∴当k=±时,它的图象经过点(0,-2) (3)函数图象平行于直线y=-x, ∴3-k=-1, ∴k=4.
∴当k=4时,它的图象平行于直线x=-x. (4)∵随x的增大而减小, ∴3-k﹤O. ∴k>3.
∴当k>3时,y随x的增大而减小.
14.【答案与解析】
解:(1)当x=5时,yA=2,2=5k,k=0.4, ∴ yA=0.4x.
当x=2时,yB=2.4;当x=4时,yB=3.2. ∴ 解得 ∴ .
(2)设投资B种商品x万元,则投资A种商品(10-x)万元,获得利润W万元,根据题意可得
22
W=-0.2x+1.6x+0.4(10-x)=-0.2x+1.2x+4,
2
∴ W=-0.2(x-3)+5.8,
当投资B种商品3万元时,可以获得最大利润5.8万元.
∴ 投资A种商品7万元,B种商品3万元,这样投资可以获得最大利润5.8万元.
15.【答案与解析】 (1)1,30
(2)所画图象如图所示,要求图象能正确反映起点终点.
(3)由函数的图象可知,小王与小张在途中相遇2次,并在出发后2到4小时之间第一次相遇. 当2≤x≤4时,y=20x-20, 由 得.
1
2
1
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答:小王与小张在途中第一次相遇的时间为h.
16.【答案与解析】 解:(1)∵反比例函数的图象过点A(1,4), ∴4=,即m=4,
∴反比例函数的解析式为:y=.
∵反比例函数y=的图象过点B(n,﹣2), ∴﹣2=, 解得:n=﹣2 ∴B(﹣2,﹣2).
∵一次函数y=ax+b(k≠0)的图象过点A(1,4)和点B(﹣2,﹣2), ∴, 解得.
∴一次函数的解析式为:y=2x+2;
(2)由图象可知:当x<﹣2或0<x<1时,一次函数的值小于反比例函数的值.
沪教版初中数学中考总复习
知识点梳理
重点题型(常考知识点)巩固练习
中考总复习:锐角三角函数综合复习—知识讲解(基础)
【考纲要求】
1.理解锐角三角函数的定义、性质及应用,特殊角三角函数值的求法,运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题.题型有选择题、填空题、解答题,多以中、低档题出现;
2.命题的热点为根据题中给出的信息构建图形,建立数学模型,然后用解直角三角形的知识解决问题.
【知识网络】
【考点梳理】
考点一、锐角三角函数的概念
如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A所对的边BC记为a,叫做∠A的对边,也叫做∠B的邻边,∠B所对的边AC记为b,叫做∠B的对边,也是∠A的邻边,直角C所对的边AB记为c,叫做斜边.
锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sinA,即; 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cosA,即; 锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA,即. 同理;;.
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要点诠释:
(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的,反映了直角三角形边与角的关系,是两条线段的比值.角的度数确定时,其比值不变,角的度数变化时,比值也随之变化.
(2)sinA,cosA,tanA分别是一个完整的数学符号,是一个整体,不能写成,,,不能理解成sin与∠A,cos与∠A,tan与∠A的乘积.书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”,但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF),其正切应写成“tan∠AEF”,不能写成“tanAEF”;另外,、、常写成、、. (3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值,不因这个角不在某个三角形中而不存在. (4)由锐角三角函数的定义知:
当角度在0°<∠A<90°之间变化时,,,tanA>0.
考点二、特殊角的三角函数值
利用三角函数的定义,可求出30°、45°、60°角的各三角函数值,归纳如下: 锐角 30° 45° 60° 1 要点诠释:
(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值,它的另一个应用就是:如果知道了一个锐角的三角函数值,就可以求出这个锐角的度数,例如:若,则锐角. (2)仔细研究表中数值的规律会发现:
、、的值依次为、、,而、、的值的顺序正好相反,、、的值依次增大,其变化规律可以总结为:
当角度在0°<∠A<90°之间变化时,
①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小), ②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大). 考点三、锐角三角函数之间的关系 如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°.
(1)互余关系:,; (2)平方关系:; (3)倒数关系:或; (4)商数关系:. 要点诠释:
锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出,常应用在三角函数的计算中,计算时巧用这些关系式可使运算简便.
考点四、解直角三角形
在直角三角形中,由已知元素(直角除外)求未知元素的过程,叫做解直角三角形. 在直角三角形中,除直角外,一共有5个元素,即三条边和两个锐角.
设在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,则有: ①三边之间的关系:a2+b2=c2(勾股定理).
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②锐角之间的关系:∠A+∠B=90°. ③边角之间的关系: ,,, ,,.
④,h为斜边上的高. 要点诠释:
(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°),是已知的值.
(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式,没有包括其他关系(如不等关系). (3)对这些式子的理解和记忆要结合图形,可以更加清楚、直观地理解. 考点五、解直角三角形的常见类型及解法 已知条件 由求∠A, 两直角边(a,b) 两 边 斜边,一直角边(如c,a) Rt△ABC 一 边 一 角 一直角边 和一锐角 锐角、邻边 (如∠A,b) 锐角、对边 (如∠A,a) 斜边、锐角(如c,∠A) ∠B=90°-∠A,, ∠B=90°-∠A,, ∠B=90°-∠A, 由求∠A, ∠B=90°-∠A, ∠B=90°-∠A,, 解法步骤 要点诠释:
1.在遇到解直角三角形的实际问题时,最好是先画出一个直角三角形的草图,按题意标明哪些元素是已知的,哪些元素是未知的,然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.
2.若题中无特殊说明,“解直角三角形”即要求出所有的未知元素,已知条件中至少有一个条件为边.
考点六、解直角三角形的应用
解直角三角形的知识应用很广泛,关键是把实际问题转化为数学模型,善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键. 解这类问题的一般过程是:
(1)弄清题中名词、术语的意义,如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念,然后根据题意画出几何图形,建立数学模型.
(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系,把实际问题转化为解直角三角形的问题.
(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形. (4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义,得出实际问题的解. 拓展:
在用直角三角形知识解决实际问题时,经常会用到以下概念: (1)坡角:坡面与水平面的夹角叫做坡角,用字母表示.
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坡度(坡比):坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度,用字母表示,则,如图,坡度通常写成=∶的形式.
(2)仰角、俯角:视线与水平线所成的角中,视线中水平线上方的叫做仰角,在水平线下方的叫做俯角,如图.
(3)方位角:从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角,如图①中,目标方向PA,PB,PC的方位角分别为是40°,135°,245°.
(4)方向角:指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角,叫做方向角,如图②中的目标方向线OA,OB,OC,OD的方向角分别表示北偏东30°,南偏东45°,南偏西80°,北偏西60°.特别如:东南方向指的是南偏东45°,东北方向指的是北偏东45°,西南方向指的是南偏西45°,西北方向指的是北偏西45°.
要点诠释:
1.解直角三角形实际是用三角知识,通过数值计算,去求出图形中的某些边的长或角的大小,最好画出它的示意图.
2.非直接解直角三角形的问题,要观察图形特点,恰当引辅助线,使其转化为直角三角形或矩形来解.例如:
3.解直角三角形的应用题时,首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义),然后正确画出示意图,进而根据条件选择合适的方法求解.
【典型例题】
类型一、锐角三角函数的概念与性质
1.如图,在4×4的正方形网格中,tanα=( )
(A)1 (B)2 (C) (D)
【思路点拨】把∠α放在一个直角三角形中,根据网格的长度计算出∠α的对边和邻边的长度. 【答案】B;
【解析】根据网格的特点:设每一小正方形的边长为1,可以确定∠α的对边为2,邻边为1,然后利用
正切的定义, 故选B.
【总结升华】本题考查锐角三角函数的定义及运用,可将其转化到直角三角形中解答,锐角的正弦为对边比斜边,余弦为邻边比斜边,正切为对边比邻边. 举一反三:
【变式】在Rt△ABC中,∠C=90°,若AC=2BC,则sinA的值是( ) (A) (B)2 (C) (D) 【答案】选C.因为∠C=90°,,所以.
类型二、特殊角的三角函数值
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2.已知a=3,且,以a、b、c为边长组成的三角形面积等于( ). A.6 B.7 C.8 D.9
【思路点拨】根据题意知求出b、c的值,再求三角形面积. 【答案】A;
【解析】根据题意知 解得
所以a=3,b=4,c=5,即,其构成的三角形为直角三角形,且∠C=90°, 所以.
【总结升华】
利用非负数之和等于0的性质,求出b、c的值,再利用勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形,注意tan45°的值不要记错. 举一反三: 【变式】 计算:. 【答案】原式.
3.如图所示,在△ABC中,∠BAC=120°,AB=10,AC=5,求sinB·sinC的值.
【思路点拨】
为求sin B,sin C,需将∠B,∠C分别置于直角三角形之中,另外已知∠A的邻补角是60°,若要使其充分发挥作用,也需要将其置于直角三角形中,所以应分别过点B、C向CA、BA的延长线作垂线,即可顺利求解.
【答案与解析】
解:过点B作BD⊥CA的延长线于点D,过点C作CE⊥BA的延长线于点E.
∵∠BAC=120°,∴∠BAD=60°.
∴AD=AB·cos60°=10×=5; BD=AB·sin60°=10×=. 又∵CD=CA+AD=10, ∴, ∴.
同理,可求得. ∴.
【总结升华】由于锐角的三角函数是在直角三角形中定义的,因此若要求某个角的三角函数值,一般可以通过作垂线等方法将其置于直角三角形中.
举一反三:
【变式】如图,机器人从A点,沿着西南方向,行了个单位,到达B点后观察到原点O在它的南偏东60°的方向上,则原来A的坐标为__________.(结果保留根号). 【答案】
类型三、解直角三角形及应用
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【:锐角三角函数综合复习 ID:408468 播放点:例3】
4.在△ABC中,∠A=30°,BC=3,AB=,求∠BCA的度数和AC的长. 【思路点拨】
由于∠A是一个特殊角,且已知AB,故可以作AC边上的高BD(如图所示),可求得.由于此题的条件是“两边一对角”,且已知角的对边小于邻边,因此需要判断此题的解是否唯一,要考虑对边BC与AC边上的高BD的大小,而,所以此题有两解. 【答案与解析】
解:作BD⊥AC于D.
(1)C1点在AD的延长线上.
在△ABC1中,,, ∴.
∴∠C1=60°.
由勾股定理,可分别求得,. ∴AC1=AD+DC1=. (2)C2点在AD上.
由对称性可得,∠BC2D=∠C1=60°, .
∴∠BC2A=120°,.
综上所述,当∠BCA=60°时,AC=6;当∠BCA=120°时,AC=3. 【总结升华】
由条件“两边一对角”确定的三角形可能不是唯一的,需要考虑第三边上的高的大小判断解是否唯一.
【:锐角三角函数综合复习 ID:408468 播放点:例4】 5.(2015?茂名)如图,一条输电线路从A地到B地需要经过C地,图中AC=20千米,∠CAB=30°,∠CBA=45°,因线路整改需要,将从A地到B地之间铺设一条笔直的输电线路. (1)求新铺设的输电线路AB的长度;(结果保留根号)
(2)问整改后从A地到B地的输电线路比原来缩短了多少千米?(结果保留根号)
【思路点拨】
(1)过C作CD⊥AB,交AB于点D,在直角三角形ACD中,利用锐角三角函数定义求出CD与AD的长,在直角三角形BCD中,利用锐角三角函数定义求出BD的长,由AD+DB求出AB的长即可;
(2)在直角三角形BCD中,利用勾股定理求出BC的长,由AC+CB﹣AB即可求出输电线路比原来缩短的千米数.
【答案与解析】 解:(1)过C作CD⊥AB,交AB于点D,
在Rt△ACD中,CD=AC?sin∠CAD=20×=10(千米),AD=AC?cos∠CAD=20×=10(千米), 在Rt△BCD中,BD===10(千米), ∴AB=AD+DB=10+10=10(+1)(千米), 则新铺设的输电线路AB的长度10(+1)(千米);
(2)在Rt△BCD中,根据勾股定理得:BC==10(千米), ∴AC+CB﹣AB=20+10﹣(10+10)=10(1+﹣)(千米),
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